角加速度

角加速度
一般的な記号	α
SI単位	ラジアン/秒2
SI基本単位では	秒−2
座標変換における動作	擬似ベクトル
寸法	${\displaystyle {\mathsf {T}}^{-2}}$

物理学において、角加速度（記号α、アルファ）は、角速度の時間変化率です。 2 種類の角速度、スピン角速度と軌道角速度に続いて、それぞれの種類の角加速度は、スピン角加速度（回転軸が物体の重心と交差する剛体に関係する）と軌道角加速度（点粒子と外部軸に関係する）です。

角加速度は、角度/時間の二乗という物理的次元を持ち、 SI単位系のラジアン/秒の二乗（rad ⋅ s ^-2）で測定される。2次元では、角加速度は擬似スカラーであり、角速度が反時計回りに増加するか時計回りに減少する場合は符号が正とされ、角速度が時計回りに増加するか反時計回りに減少する場合は符号が負とされる。3次元では、角加速度は擬似ベクトルである。^[1]

剛体の場合、角加速度は正味の外部トルクによって発生します。ただし、非剛体の場合はそうではありません。たとえば、フィギュアスケート選手は、腕と脚を内側に収縮させるだけで回転を加速できます (これにより角加速度が得られます)。これには外部トルクは関係ありません。

2次元では、軌道角加速度は、原点の周りの粒子の2次元軌道角速度が変化する速度です。任意の時点での 瞬間角速度ωは次のように表されます。

ω = v ⊥ r , {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}

ここで、は原点からの距離であり、は瞬間速度の横方向成分（つまり、位置ベクトルに垂直な成分）であり、慣例により反時計回りの動きの場合は正、時計回りの動きの場合は負になります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle v_{\perp }}$

したがって、粒子の瞬間角加速度αは^{[2]で与えられる。}

α = d d t ( v ⊥ r ) 。 {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).}

右辺を微分積分の積の法則を使って展開すると、次のようになる。

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.}$

粒子が原点の周りを円運動する特殊なケースでは、は接線加速度 となり、ゼロになる（原点からの距離は一定であるため）ため、上記の式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}$${\displaystyle a_{\perp }}$${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.}$

2 次元では、角加速度はプラスまたはマイナスの符号を持つ数値で、方向を示すものではありません。角速度が反時計回りに増加するか時計回りに減少する場合は、符号は慣例的に正とみなされ、角速度が時計回りに増加するか反時計回りに減少する場合は、符号は負とみなされます。角加速度は擬似スカラーと呼ばれることがあります。擬似スカラーとは、 1 つの軸を反転したり 2 つの軸を入れ替えたりするなどの パリティ反転によって符号が変わる数値です。

3次元では、軌道角加速度は3次元軌道角速度ベクトルが時間とともに変化する速度です。任意の時点での瞬間角速度ベクトルは次のように表されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},}$

ここで、は粒子の位置ベクトル、は原点からの距離、は速度ベクトルである。^[2]${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

したがって、軌道角加速度は次のように定義される ベクトルである。${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right).}$

この導関数を外積の積の法則と通常の商の法則を使って展開すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right).\end{aligned}}}$

は なので、第2項は と書き直すことができます。粒子の原点からの距離が時間とともに変化しない場合（円運動もその一部に含まれる）、第2項は消え、上記の式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }$${\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}.}$

上記の式から、この特殊なケースにおける横方向の加速度は次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} .}$

2 次元とは異なり、3 次元の角加速度は、角速度の変化と関連付けられる必要はありません。${\displaystyle \omega =|{\boldsymbol {\omega }}|}$粒子の位置ベクトルが空間内で「ねじれ」、瞬間的な角変位面が変化すると、角速度の方向の変化によって、依然として非ゼロの角加速度が生成されます。位置ベクトルが固定面に制限されている場合、この現象は発生しません。この場合、位置ベクトルは固定方向を持ち、その面に対して垂直になります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

角加速度ベクトルは、より正確には疑似ベクトルと呼ばれます。疑似ベクトルには、回転すると点の直交座標と同じように変換される 3 つの成分がありますが、反射すると直交座標のようには変換されません。

点粒子の正味トルクは擬似ベクトルとして定義される。

τ = r × F , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,}

粒子に働く正味の力はどこにあるか。 ^[3]${\displaystyle \mathbf {F} }$

トルクは力の回転類似物です。力がシステムの並進状態の変化を引き起こすのと同じように、トルクはシステムの回転状態の変化を引き起こします。粒子にかかる力は方程式 F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} } によって加速度に関連付けられているため、粒子にかかるトルクと角加速度を関連付ける同様の方程式を書くことができますが、この関係は必然的に複雑になります。^[4]

まず、上記の式にトルクを代入すると、 ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)=mr^{2}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}\right).}$

前のセクションから:

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }},}$

ここで、は軌道角加速度、は軌道角速度です。したがって、 ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}\left({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.}$

粒子の原点からの距離が一定である特別な場合（ ）では、上式の2番目の項は消え、上式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt}}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }},}$

これは の「回転類似体」として解釈することができ、ここで量（粒子の慣性モーメントとして知られる）は質量 の役割を果たします。しかし、 とは異なり、この方程式は任意の軌道には適用されず、原点の周りの球殻内に含まれる軌道にのみ適用されます。 ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$${\displaystyle mr^{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

• 角運動量
• 角周波数
• 角速度
• 陽気さ
• 回転加速度
• トルク