音楽の同型性

数学、より具体的には微分幾何学において、音楽同型（または正準同型）は、リーマン多様体または擬リーマン多様体の接線束と余接束との間の、その計量テンソルによって誘導される同型である。シンプレクティック多様体にも同様の同型が存在する。音楽という用語は、音楽記譜記号（フラット）と（シャープ）の使用を指す。^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$${\displaystyle \flat}$${\displaystyle \sharp}$

リッチ計算の表記法では、この考え方は指数の上げ下げとして表現されます。

ポアソン多様体などの特定の特殊な応用では、関係は特異点において同型にならない場合があり、そのため、これらのケースでは、は技術的には準同型のみになります。

線型代数では、有限次元ベクトル空間はその双対空間と同型だが、正準同型ではない。一方、非退化双線型形式を与えられた有限次元ベクトル空間は、その双対空間と正準同型である。正準同型は次のように与えられる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle V\to V^{*}}$

${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$。

の非退化は、まさに上記の写像が同型であることを意味します。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

例としては、 であり、 はドット積です。 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

音楽同型は、（擬）リーマン多様体の接バンドルと余接バンドルに対するこの同型とその逆の大域バージョンです。これらは、任意の点pにおいて、内積 が与えられたpにおけるMの接空間に上記の同型を適用したベクトルバンドルの標準同型です。 ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle g_{p}}$

すべてのパラコンパクト多様体は（非正準的に）リーマン計量を付与できる ため、音楽同型は、パラコンパクト多様体上のベクトル束がその双対に（非正準的に）同型であることを示します。

( M , g )を (擬似) リーマン多様体とする。各点pにおいて、写像g _{p は}接空間T _p M上の非退化双線型形式である。vがT _p Mのベクトルである場合、その平坦部は共ベクトルである。

${\displaystyle v^{\flat }=g_{p}(v,\cdot )}$

Tで^∗
_pM 。これは点p を保存する滑らかな写像なので、滑らかなベクトル束 の射を定義します。計量の非退化により、各点に 逆写像があり${\displaystyle \flat :\mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}$${\displaystyle \flat}$${\displaystyle \sharp}$

${\displaystyle g_{p}(\alpha ^{\sharp },v)=\alpha (v)}$

Tにおけるαについて^∗
_pMとv をT _p Mに代入します。このベクトルはαのシャープと呼ばれます。シャープ マップは滑らかなバンドル マップです。 ${\displaystyle \alpha^{\sharp}}$${\displaystyle \sharp :\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}$

平坦と鋭いは滑らかなベクトル束の相互逆同型であり、したがって、M内の各pに対して、 T _p MとTの間に相互逆ベクトル空間同型が存在する。 ^∗
_pM .

フラットマップとシャープマップは、各点に適用することでベクトル場と共ベクトル場に適用できます。したがって、 Xがベクトル場、ωが共ベクトル場の場合、

${\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cdot )}$

そして

${\displaystyle g(\omega ^{\sharp },X)=\omega (X)}$。

{ e _i } が接線バンドル T M の移動接線フレーム（滑らかなフレームも参照）であり、移動コフレーム（余接バンドルの移動接線フレーム。コフレームも参照）{ e i }が双対フレーム（双対基底も参照）であるとします。すると、対称かつ非退化の2^共変テンソル場である擬リーマン計量は、アインシュタインの総和記法を使用して、このコフレームに関して局所的にg = g _ij e ⁱ ⊗ e ^jと表記できます。 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$

ベクトル場X = X ⁱ e _iが与えられ、 g _ij X ⁱ = X _jと表記されると、その平坦部は

${\displaystyle X^{\flat }=g_{ij}X^{i}\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\mathbf {e} ^{j}}$。

これをインデックスを下げると言います。

同様に、共ベクトル場ω = ω _i e ^{i が}与えられ、 g ^ij ω _i = ω ^jと表記すると、そのシャープは

${\displaystyle \omega ^{\sharp }=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j}}$、

ここで、g ^{ij は}逆計量テンソルの成分です（ g _ijの逆行列の要素によって与えられます）。共ベクトル体のシャープを取ることは、インデックスを上げると呼ばれます。

音楽同型性は、バンドルにも拡張できる。 $${\displaystyle \bigotimes ^{k}{\rm {T}}M,\qquad \bigotimes ^{k}{\rm {T}}^{*}M.}$$

どのインデックスを上げるか下げるかを指定する必要があります。たとえば、(0, 2)テンソル場X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^jを考えます。2番目のインデックスを上げると、 (1, 1)テンソル場 が得られます。$${\displaystyle X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.}$$

外積代数の文脈では、音楽演算子の拡張は⋀ Vとその双対⋀上に定義される。^∗
Vは、表記法を少し誤れば同じものと表記でき、これもまた相互に逆である: ^[3] によって定義される $${\displaystyle \flat :{\bigwedge }V\to {\bigwedge }^{*}V,\qquad \sharp :{\bigwedge }^{*}V\to {\bigwedge }V,}$$$${\displaystyle (X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },\qquad (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.}$$

この拡張では、♭ はpベクトルをp 共ベクトルにマッピングし、♯ はp共ベクトルをpベクトルにマッピングしますが、完全に反対称なテンソルのすべてのインデックスは同時に増加または減少するため、インデックスを指定する必要はありません。 $${\displaystyle Y^{\sharp }=(Y_{i\dots k}\mathbf {e} ^{i}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{k})^{\sharp }=g^{ir}\dots g^{kt}\,Y_{i\dots k}\,\mathbf {e} _{r}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{t}.}$$

より一般的には、バンドル メトリックが付与されたベクトル バンドルとその双対の間には、音楽同型性が常に存在します。

(0, 2)型テンソル場X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^jが与えられたとき、計量テンソルgを通るXのトレースを次のように 定義する。$${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij}\,{\bf {e}}^{i}\otimes {\bf {e}}_{k})=g^{ij}X_{ij}.}$$

計量テンソルは対称なので、トレースの定義は指数の選択に依存しないことに注意してください。

• 双対性（数学）
• インデックスの上げ下げ
• 双対空間 § 双線型積と双対空間
• ホッジスター演算子
• ベクトル束
• ♭と♯の記号について、フラット（音楽）とシャープ（音楽）

• Lee, JM (2003).滑らかな多様体入門. Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. ISBN 0-387-95448-1。
• Lee, JM (1997).リーマン多様体 - 曲率入門. Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol. 176. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6。
• Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016).クリフォード代数とスピノル入門.オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-878-292-6。