超代数

数学と理論物理学において、超代数とは${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-次数付き代数。^{[ 1 ]}つまり、可換環または可換体上の代数で、「偶数」と「奇数」の部分に分解され、次数を尊重した乗算演算子を持つものです。

接頭辞「super-」は、理論物理学における超対称性の理論に由来する。超代数とその表現である超加群は、超対称性を定式化するための代数的枠組みを提供する。このような対象の研究は、時に超線形代数と呼ばれる。超代数は、関連分野である超幾何学においても重要な役割を果たし、次数付き多様体、超多様体、超スキームの定義に用いられる。

させて${\displaystyle K}$可換環である。ほとんどの応用では、${\displaystyle K}$は、特性0の体である。${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$。

上の超代数${\displaystyle K}$は${\displaystyle K}$-モジュール${\displaystyle A}$直接和分解を用いて

${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$

双線形乗算と併せて${\displaystyle A\times A\to A}$そのため

${\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

ここで添え字は 2を法として読み取られる、つまり、それらは の要素として考えられます。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$。

スーパーリング、または${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$次数付き環は、整数環上の超代数である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$。

それぞれの要素${\displaystyle A_{i}}$それらは同質であると言われている。同質要素のパリティ${\displaystyle x}$、で示される${\displaystyle |x|}$、 であるかどうかに応じて 0 または 1 になります。${\displaystyle A_{0}}$または${\displaystyle A_{1}}$パリティ0の要素は偶数、パリティ1の要素は奇数と呼ばれる。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$両方とも均質であれば、製品も均質である。${\displaystyle xy}$そして${\displaystyle |xy|=|x|+|y|}$。

結合的超代数とは、乗法が結合的である超代数のことであり、単位元を持つ超代数とは、乗法的な単位元を持つ超代数のことである。単位元を持つ超代数における単位元は必ず偶数である。特に断りのない限り、本稿で扱う超代数はすべて結合的かつ単位元を持つものと仮定する。

可換超代数（または超可換代数）とは、可換性の次数付きバージョンを満たす代数のことである。具体的には、${\displaystyle A}$可換であるのは、

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy\,}$

すべての均質要素について${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$の${\displaystyle A}$通常の意味では可換であるが、超代数的な意味では可換ではない超代数が存在する。そのため、混同を避けるために、可換な超代数はしばしば超可換と呼ばれる。 ^{[ 2 ]}

その時${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$グレーディングは、${\displaystyle \mathbb {Z} }$- または${\displaystyle \mathbb {N} }$代数を偶数成分と奇数成分に次数付けすると、文献には2つの異なる（しかし本質的には同等の）符号規約が見られます。^{[ 3 ]}これらは「コホモロジー的符号規約」と「スーパー符号規約」と呼ばれます。これらは、対蹠点（2つの要素の交換）の振る舞い方が異なります。最初のケースでは、交換写像が存在します。

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{mn+pq}yx}$

どこ${\displaystyle m=\deg x}$度数（${\displaystyle \mathbb {Z} }$- または${\displaystyle \mathbb {N} }$-評価）${\displaystyle x}$そして${\displaystyle p}$平等。同様に、${\displaystyle n=\deg y}$の度合いは${\displaystyle y}$そして平等に${\displaystyle q.}$この慣例は、微分幾何学や微分位相幾何学などの従来の数学的設定でよく見られます。もう1つの慣例は、

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{pq}yx}$

パリティは次のように与えられます${\displaystyle p=m{\bmod {2}}}$そして${\displaystyle q=n{\bmod {2}}}$パリティ。これは物理学の教科書でよく見られるもので、同型性を追跡するためにパリティファンクターを適切に使用する必要がある。詳細な議論はピエール・ドリーニュによって提供されている。^{[ 3 ]}

• 可換環上の任意の代数${\displaystyle L}$は、純粋に偶数超代数とみなすことができる。${\displaystyle K}$つまり、${\displaystyle A_{1}}$自明な代数（要素が1つだけの代数）である。
• どれでも${\displaystyle \mathbb {Z} }$- または${\displaystyle \mathbb {N} }$次数付き代数は、次数を法2で読むことで超代数とみなすことができます。これには、テンソル代数や多項式環などの例が含まれます。${\displaystyle K}$。
• 特に、外部代数${\displaystyle K}$は超代数である。外積代数は、超可換代数の標準的な例である。
• 対称多項式と交代多項式は一緒に超代数を形成し、それぞれ偶数部分と奇数部分となる。これは「ロールアップ」によって得られるものではないことに注意する。${\displaystyle \mathbb {N} }$- 多項式の次数付き代数。次数は度数によって決まる。
• クリフォード代数は超代数の一種です。射影幾何代数のような低次元直交空間のクリフォード代数は、超代数に対する視覚的な直感を与えてくれます。奇数要素は回転反射などの空間の左右反転等長変換に対応し、偶数要素は回転やらせん運動などの左右対称性を保つ等長変換に対応します。
• すべての自己準同型の集合（${\displaystyle \mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)}$太字の部分${\displaystyle \mathrm {ホム} }$内部と呼ばれる${\displaystyle \mathrm {ホム} }$（すべての線形写像で構成される）超ベクトル空間は、合成に関して超代数を形成する。
• 要素が であるすべての正方スーパー行列の集合${\displaystyle K}$超代数を形成する。${\displaystyle M_{p|q}(K)}$この代数は、自由超加群の自己準同型の代数と同一視できる。${\displaystyle K}$階級${\displaystyle p|q}$そして、これはこの空間における上記の内部ホームです。
• リー超代数は、リー代数の次数付き類似物である。リー超代数は単位元がなく、結合法則も満たさない。しかし、リー超代数の普遍包絡代数の類似物を構成することは可能であり、それは単位元があり、結合法則を満たす超代数である。

超代数の定義は、可換超環上の超代数を含むように容易に一般化できる。上記の定義は、基底環が純粋偶数環である場合への特殊化である。

させて${\displaystyle R}$可換超環である。${\displaystyle R}$は${\displaystyle R}$-スーパーモジュール${\displaystyle A}$と共に${\displaystyle R}$双線形乗算${\displaystyle A\times A\to A}$それは採点基準を尊重します。ここでの双線形性とは、

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)}$

すべての均質要素について${\displaystyle r\in R}$そして${\displaystyle x,y\in A}$。

同様に、超代数を定義できる。${\displaystyle R}$スーパーリングとして${\displaystyle A}$超環準同型とともに${\displaystyle R\to A}$そのイメージはスーパーセンターにあります${\displaystyle A}$。

超代数を圏論的に定義することもできる。すべての${\displaystyle R}$-supermodules は、スーパーテンソル積の下でモノイド圏を形成します。${\displaystyle R}$単位オブジェクトとして機能する。結合的で単位元を持つ超代数${\displaystyle R}$は、の圏におけるモノイドとして定義できる。${\displaystyle R}$-スーパーモジュール。つまり、スーパー代数は${\displaystyle R}$-スーパーモジュール${\displaystyle A}$2つの（偶数）射を持つ

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}}$

通常の図式が可換である場合。

• Deligne, P. ; Morgan, JW (1999). 「超対称性に関するノート（ジョセフ・バーンスタインに倣って）」.量子場と弦：数学者のためのコース. 第 1巻. アメリカ数学会. pp. 41–97 . ISBN  0-8218-2012-5。
• Kac, VG ; Martinez, C.; Zelmanov, E. (2001).成長度1の次数付き単純ジョルダン超代数. AMSシリーズ紀要. 第 711巻. AMS書店. ISBN 978-0-8218-2645-4。
• Manin, YI (1997).ゲージ場理論と複素幾何学（第2 版）. ベルリン：シュプリンガー. ISBN 3-540-61378-1。
• Varadarajan, VS (2004).数学者のための超対称性入門. クーラント数学講義ノート. 第 11巻. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-3574-6。