プルバック（差動ジオメトリ）

させて${\displaystyle \phi :M\to N}$滑らかな多様体間の滑らかな写像である${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$すると、 1形式の空間から関連する線形写像が存在する。${\displaystyle N}$（余接束の切断の線形空間）から 1 形式の空間へ${\displaystyle M}$この線形写像はプルバック（${\displaystyle \phi }$）であり、しばしば で表される。$\displaystyle \phi ^{*}}$より一般的には、任意の共変テンソル場、特に任意の微分形式 は、${\displaystyle N}$引き戻される可能性がある${\displaystyle M}$使用${\displaystyle \phi }$。

地図が${\displaystyle \phi }$が微分同相写像である場合、プルバックとプッシュフォワードを組み合わせることで、任意のテンソル場を変換できます。${\displaystyle N}$に${\displaystyle M}$あるいはその逆。特に、${\displaystyle \phi }$は、 の開部分集合間の微分同相写像である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$座標の変更（おそらく多様体上の異なるチャート間）として見なされる${\displaystyle M}$) の場合、プルバックとプッシュフォワードは、この主題に対するより伝統的な (座標に依存する) アプローチで使用される共変テンソルと反変テンソルの変換特性を記述します。

プルバックの背後にある考え方は、基本的にある関数と別の関数の事前合成の概念です。しかし、この考え方をさまざまな文脈で組み合わせることで、非常に複雑なプルバック操作を構築できます。この記事では、最も単純な操作から始め、それらを使用してより高度な操作を構築します。大まかに言えば、プルバック機構（事前合成を使用）は、微分幾何学におけるいくつかの構成を反変関数に変換します。

させて${\displaystyle \phi :M\to N}$（滑らかな）多様体間の滑らかな写像である${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$そして、${\displaystyle f:N\to \mathbb {R} }$は滑らかな関数です${\displaystyle N}$.そしてプルバック${\displaystyle f}$による${\displaystyle \phi }$滑らかな関数です${\displaystyle \phi ^{*}f}$の上${\displaystyle M}$定義される${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$同様に、${\displaystyle f}$は開集合上の滑らかな関数である${\displaystyle U}$で${\displaystyle N}$すると、同じ式で開集合上の滑らかな関数が定義される。 $\displaystyle \phi ^{-1}(U)$（層の言語では、プルバックは、上の滑らかな関数の層からの射を定義します。）${\displaystyle N}$直接画像へ${\displaystyle \phi }$滑らかな関数の層の${\displaystyle M}$）

より一般的に言えば、${\displaystyle f:N\to A}$は滑らかなマップです${\displaystyle N}$他の多様体へ${\displaystyle A}$、 それから${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$は滑らかなマップです${\displaystyle M}$に${\displaystyle A}$。

もし${\displaystyle E}$はベクトル束（または任意のファイバー束）である。${\displaystyle N}$そして${\displaystyle \phi :M\to N}$滑らかなマップである場合、プルバックバンドル${\displaystyle \phi ^{*}E}$はベクトル束（またはファイバー束）である${\displaystyle M}$その繊維が${\displaystyle x}$で${\displaystyle M}$は${\displaystyle (\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}}$。

この状況では、プリコンポジションはセクションに対するプルバック操作を定義します。${\displaystyle E}$： もし${\displaystyle s}$は、​${\displaystyle E}$以上${\displaystyle N}$、その後プルバックセクション${\displaystyle \phi ^{*}s=s\circ \phi }$は、${\displaystyle \phi ^{*}E}$以上${\displaystyle M}$。

Φ : V → W をベクトル空間VとWの間の線形写像とする(すなわち、Φ はL ( V , W )の要素であり、Hom( V , W )とも表記される)。

$${\displaystyle F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbf {R} }$$

W上の多重線形形式(テンソルとも呼ばれ、テンソル場と混同しないように注意が必要) のランク(0, s )を持つ。ここでs は積に含まれるWの因子の数である) とする。このとき、Φ によるFの引き戻し Φ ^∗ Fは、 Fと Φ を事前に合成することによって定義されるV上の多重線形形式である。より正確には、 V内のベクトルv ₁ , v ₂ , ..., v _sが与えられたとき、Φ ^∗ Fは次の式で定義される。

$${\displaystyle (\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),}$$

これはV上の多重線形形式です。したがって、Φ ^∗はW上の多重線形形式からV上の多重線形形式への(線形)演算子です。特別な場合として、FがW上の線形形式 (または (0,1)-テンソル) であり、F がWの双対空間であるW ^∗の要素である場合、Φ ^∗ FはV ^∗の要素となり、したがって Φ による引き戻しは、線形写像 Φ 自体とは逆方向に作用する双対空間間の線形写像を定義します。

$${\displaystyle \Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.}$$

テンソル的な観点からすると、プルバックの概念を任意のランクのテンソル、すなわち、W上の多重線形写像で、 Wのr個のコピーのテンソル積、つまりW ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ Wの値を取るものに拡張しようとするのは自然なことです。しかし、このようなテンソル積の要素は自然にはプルバックしません。代わりに、 V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ VからW ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ Wへのプッシュフォワード操作が次のように与えられます。

$${\displaystyle \Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r})。}$$

それにもかかわらず、このことから、Φ が可逆であれば、逆関数 Φ ^{−1によるプッシュフォワードを使用してプルバックを定義できることがわかる。これら 2 つの構成を組み合わせると、任意のランク}( r , s )のテンソルに対して、可逆線形マップに沿ったプッシュフォワード操作が得られる。

させて${\displaystyle \phi :M\to N}$滑らかな多様体間の滑らかな写像である。すると、${\displaystyle \phi }$書かれた$\displaystyle \phi _{*}}$、${\displaystyle d\phi }$、 または${\displaystyle D\phi }$はベクトル束射（上）である。${\displaystyle M}$接束から${\displaystyle TM}$の${\displaystyle M}$プルバックバンドルへ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$.の転置$\displaystyle \phi _{*}}$したがって、はバンドルマップです。${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$に${\displaystyle T^{*}M}$の余接束${\displaystyle M}$。

さて、${\displaystyle \alpha }$は、​${\displaystyle T^{*}N}$（1形式）${\displaystyle N}$）、そして事前に構成する${\displaystyle \alpha }$と${\displaystyle \phi }$引き戻しセクションを取得する${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$上記のバンドルマップを（ポイントごとに）このセクションに適用すると、次のプルバックが得られます。${\displaystyle \alpha }$による${\displaystyle \phi }$これは1形式です${\displaystyle \phi ^{*}\alpha }$の上${\displaystyle M}$定義される $${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X))}$$ のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle M}$そして${\displaystyle X}$で${\displaystyle T_{x}M}$。

前節の構成は、直ちにランクのテンソル束に一般化される。${\displaystyle (0,s)}$任意の自然数に対して${\displaystyle s}$: a${\displaystyle (0,s)}$多様体上のテンソル場${\displaystyle N}$はテンソル束の一部です${\displaystyle N}$その繊維は${\displaystyle y}$で${\displaystyle N}$多重線形空間${\displaystyle s}$-形式 $${\displaystyle F:T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .}$$ 取ることで${\displaystyle \phi }$滑らかな写像の（点ごとの）微分に等しい${\displaystyle \phi }$から${\displaystyle M}$に${\displaystyle N}$多線形状の引き戻しは、セクションの引き戻しと組み合わせることで引き戻しが得られます。${\displaystyle (0,s)}$テンソル場${\displaystyle M}$より正確には、${\displaystyle S}$は${\displaystyle (0,s)}$-テンソルフィールド${\displaystyle N}$すると、​${\displaystyle S}$による${\displaystyle \phi }$は${\displaystyle (0,s)}$-テンソル場${\displaystyle \phi ^{*}S}$の上${\displaystyle M}$定義される $${\displaystyle (\phi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{s}))}$$ のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle M}$そして${\displaystyle X_{j}}$で${\displaystyle T_{x}M}$。

共変テンソル場の引き戻しの特に重要なケースは、微分形式の引き戻しである。${\displaystyle \alpha }$差分${\displaystyle k}$-形態、すなわち、外側束の一部${\displaystyle \Lambda ^{k}(T^{*}N)}$（繊維方向の）交互の${\displaystyle k}$-フォーム${\displaystyle TN}$すると、${\displaystyle \alpha }$差分は${\displaystyle k}$-フォーム${\displaystyle M}$前のセクションと同じ式で定義される。 $${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{k}))}$$ のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle M}$そして${\displaystyle X_{j}}$で${\displaystyle T_{x}M}$。

微分形式の引き戻しには、非常に有用な2つの特性がある。

1. 微分形式の場合、ウェッジ積と互換性がある。${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$の上${\displaystyle N}$、$${\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\phi ^{*}\alpha \wedge \phi ^{*}\beta .}$$
2. 外部派生モデルと互換性があります${\displaystyle d}$： もし${\displaystyle \alpha }$微分形式は${\displaystyle N}$それから$${\displaystyle \phi ^{*}(d\alpha )=d(\phi ^{*}\alpha ).}$$

地図が${\displaystyle \phi }$多様体間の写像が微分同相写像、すなわち滑らかな逆写像を持つ場合、ベクトル場だけでなく1形式に対してもプルバックを定義でき、したがって拡張して、多様体上の任意の混合テンソル場に対しても定義できる。 $${\displaystyle \Phi =d\phi _{x}\in \operatorname {GL} \left(T_{x}M,T_{\phi (x)}N\right)}$$

反転すると $${\displaystyle \Phi ^{-1}=\left({d\phi _{x}}\right)^{-1}\in \operatorname {GL} \left(T_{\phi (x)}N,T_{x}M\right).}$$

一般的な混合テンソル場は、${\displaystyle \Phi }$そして${\displaystyle \Phi ^{-1}}$テンソルバンドルのテンソル積分解によると、${\displaystyle TN}$そして${\displaystyle T^{*}N}$。 いつ${\displaystyle M=N}$すると、プルバックとプッシュフォワードは、多様体上のテンソルの変換特性を記述する。${\displaystyle M}$従来の用語では、プルバックはテンソルの共変インデックスの変換特性を記述します。対照的に、反変インデックスの変換はプッシュフォワードによって与えられます。

前節の構成は、表現論的な解釈を持つ。${\displaystyle \phi }$は多様体からの微分同相写像である${\displaystyle M}$それ自体へ。この場合、導関数${\displaystyle d\phi }$は、${\displaystyle \operatorname {GM} (TM,\phi ^{*}TM)}$これにより、フレームバンドルに関連付けられたバンドルのセクションに引き戻し作用が生じます。${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$の${\displaystyle M}$一般線形群の表現によって${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$（どこ${\displaystyle m=\dim M}$)

リー微分を参照。ベクトル場によって定義される微分同相写像の局所的な 1 パラメータ群に前述の考え方を適用することにより、${\displaystyle M}$そして、パラメータに関して微分することにより、任意の関連する束上のリー微分の概念が得られる。

もし${\displaystyle \nabla }$ベクトル束上の接続（または共変微分）${\displaystyle E}$以上${\displaystyle N}$そして${\displaystyle \phi }$は滑らかなマップです${\displaystyle M}$に${\displaystyle N}$すると、引き戻し接続があります${\displaystyle \phi ^{*}\nabla }$の上${\displaystyle \phi ^{*}E}$以上${\displaystyle M}$条件によってのみ決定される $${\displaystyle \left(\phi ^{*}\nabla \right)_{X}\left(\phi ^{*}s\right)=\phi ^{*}\left(\nabla _{d\phi (X)}s\right).}$$

• プッシュフォワード（ディファレンシャル）
• プルバックバンドル
• 引き戻し（圏論）

• ヨスト、ユルゲン（2002）。リーマン幾何学と幾何解析。ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-42627-2。1.5節および1.6節を参照してください。
• アブラハム、ラルフ；マースデン、ジェロルド・E.（1978）。力学の基礎。ロンドン：ベンジャミン・カミングス。ISBN 0-8053-0102-X。セクション1.7および2.3を参照してください。