線形独立性

ベクトル空間の理論では、ベクトルの集合は線型独立とは、ベクトルの線型結合ない場合である線形従属。これらの概念は次元の定義の中心となる。^[1]

ベクトル空間は、線形独立ベクトルの最大数に応じて、有限次元または無限次元になります。線形従属の定義と、ベクトル空間内のベクトルのサブセットが線形従属であるかどうかを判断する機能は、ベクトル空間の次元を決定する上で重要です。

ベクトル空間Vのベクトル列は、すべてがゼロではないスカラーが存在し、 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,}$

ここで はゼロベクトルを表します。 ${\displaystyle \mathbf {0} }$

これは、少なくとも1つのスカラーが非ゼロであることを意味し、例えば、上記の式は次のように書くことができます。 ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{ k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k},}$

もし、もし${\displaystyle k>1,}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$${\displaystyle k=1.}$

したがって、ベクトルの集合は、そのうちの 1 つがゼロであるか、または他のベクトルの 線形結合である場合にのみ、線形従属となります。

ベクトルの列は線形従属でない場合、つまり方程式が ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}、}$

は、 に対してによってのみ満たされます。これは、シーケンス内のどのベクトルも、シーケンス内の残りのベクトルの線形結合として表すことができないことを意味します。言い換えると、ベクトルのシーケンスが線形独立であるのは、 をそのベクトルの線形結合として表現できるのが、すべてのスカラーがゼロになる自明な表現だけである場合です。^[2]さらに簡潔に言うと、ベクトルのシーケンスが線形独立であるのは、 をそのベクトルの線形結合として一意に表現できる 場合のみです。${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\textstyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

ベクトルのシーケンスに同じベクトルが 2 回含まれている場合、そのシーケンスは必然的に従属的です。ベクトルのシーケンスの線形従属性は、シーケンス内の項の順序に依存しません。これにより、有限のベクトル セットの線形独立性を定義することができます。有限のベクトル セットは、順序付けによって得られるシーケンスが線形独立である場合に線形独立です。言い換えると、多くの場合役立つ次の結果が得られます。

ベクトルのシーケンスが線形独立となるのは、同じベクトルが 2 回含まれず、そのベクトルの集合が線形独立である場合のみです。

空でない有限部分集合がすべて線形独立である場合、ベクトルの無限集合は線形独立です。逆に、線形従属である有限部分集合を含む場合、または同等に、集合内のあるベクトルが集合内の他のベクトルの線形結合である場合、ベクトルの無限集合は 線形従属です。

インデックス付きベクトル族は、同じベクトルが 2 度含まれず、そのベクトルの集合が線形独立である場合に、線形独立です。それ以外の場合、族は線形従属であると言われます。

線形独立で、あるベクトル空間にまたがるベクトルの集合は、そのベクトル空間の基底を形成します。たとえば、実数上のxのすべての多項式のベクトル空間は、基底として (無限の) 部分集合{1, x , x ² , ...}を持ちます。

• ${\displaystyle {\vec {u}}}$は独立しており、平面Pを定義します。${\displaystyle {\vec {v}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$これら 3 つは同じ平面内に含まれているため、相互に依存しています。${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {w}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$これらは互いに平行であるため、依存しています。${\displaystyle {\vec {j}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$、および は、互いに独立しており、 はそれらの線形結合ではないため、または同等に、共通の平面に属していないため、独立しています。 3 つのベクトルは 3 次元空間を定義します。${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$
• ベクトル（ヌルベクトル、つまり成分がゼロ）は従属的である。${\displaystyle {\vec {o}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle {\vec {o}}=0{\vec {k}}}$

ある場所の位置を説明する人は、「ここから北に 3 マイル、東に 4 マイルです」と言うかもしれません。これは、地理座標系が 2 次元ベクトル空間 (高度と地球表面の曲率を無視) と見なすことができるため、位置を説明するのに十分な情報です。さらに、「ここから北東に 5 マイルです」と言う人もいます。この最後の記述は正しいですが、位置を見つけるために必須ではありません。

この例では、「3 マイル北」のベクトルと「4 マイル東」のベクトルは線形独立です。つまり、北ベクトルは東ベクトルで説明できず、その逆も同様です。3 番目の「5 マイル北東」ベクトルは、他の 2 つのベクトルの線形結合であり、ベクトルのセットが線形従属的になります。つまり、平面上の特定の位置を定義するために 3 つのベクトルのうちの 1 つが不要になります。

また、高度を無視しない場合は、線形独立セットに 3 番目のベクトルを追加する必要があることに注意してください。一般に、 n次元空間 内のすべての位置を記述するには、 n個の線形独立ベクトルが必要です。

与えられたベクトル列の 1 つ以上のベクトルがゼロ ベクトルである場合、ベクトルは必然的に線形従属です (したがって、線形独立ではありません)。理由を確認するには、 が となるインデックス (つまり、 の要素)であるとします。次に とします(または、を他の任意の非ゼロ スカラーと等しくしても機能します)。次に、他のすべてのスカラーを とします(明示的には、これは以外の任意のインデックス(つまり、 の場合) に対して となり、したがって となることを意味します)。簡略化すると次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$${\displaystyle a_{i}:=1}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle a_{j}:=0}$${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

すべてのスカラーがゼロになるわけではないので（特に）、ベクトルが線形従属であることが証明されます。 ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$

結果として、ゼロベクトルは線形従属するベクトルの集合に属することはできません。

ここで、 のシーケンスの長さがである特別な場合（つまり の場合）を考えてみましょう。ちょうど 1 つのベクトルからなるベクトルのコレクションは、そのベクトルが 0 の場合にのみ線形従属です。明示的に、 が任意のベクトルである場合、シーケンス（長さ のシーケンス）が の場合にのみ線形従属です。または、コレクションがの場合にのみ線形独立です。${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}$

この例では、ある実数または複素数ベクトル空間からベクトルとがちょうど 2 つある特殊なケースを検討します。ベクトルと は、次の条件の少なくとも 1 つが当てはまる 場合にのみ線形従属です。${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$は のスカラー倍数である（明示的には、となるスカラーが存在することを意味する）または${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$は のスカラー倍数です（明示的には、となるスカラーが存在することを意味します）。${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$

の場合、 を設定すると、 が得られます(この等式は の値が何であっても成り立ちます)。これは、(1) がこの特定のケースで真であることを示しています。同様に、 の場合、 (2) が真です。なぜなら、 の場合(たとえば、両方がゼロベクトル に等しい場合)、 (1) と (2) は両方とも真です (両方に を使用して)。 ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle c:=0}$${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle c:=1}$

の場合、 はおよび の場合にのみ可能です。この場合、両辺に を掛けて と結論付けることができます。これは、およびの 場合、(1) が真であるときかつその場合に限り (2) が真であることを示しています。つまり、この特定のケースでは、(1) と (2) の両方が真である (そしてベクトルは線形従属である) か、そうでなければ (1) と (2) の両方が偽である (そしてベクトルは線形非従属である) かのどちらかです。ただし、代わりに の場合、との少なくとも 1 つは0 でなければなりません。さらに、 と の正確に 1 つがである(一方が 0 以外である) 場合、(1) と (2) の正確に 1 つが真である (他方は偽である)。 ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\textstyle {\frac {1}{c}}}$${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$

ベクトルと は、が のスカラー倍数ではなくがのスカラー倍数ではない場合に限り、線形従属です。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$

3つのベクトル： ベクトルの集合を考え、線形従属の条件は、次のようなゼロでないスカラーの集合を求める。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

または

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

この行列方程式を1行目から2行目を引くことで 減算すると、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

行の縮小を続けて、(i) 2行目を5で割り、(ii) 3を掛けて1行目に加算します。つまり、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

この式を変形すると次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

これは、およびによって定義できる非ゼロのa _{i が}存在することを示しています 。したがって、3 つのベクトルは線形従属です。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$

2つのベクトル: ここで、2つのベクトルの線形従属関係を考慮し、確認します。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

または

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

上記と同じ行削減により、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

これは、ベクトルとが線形独立であることを意味することを示しています。 ${\displaystyle a_{i}=0,}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2)}$

３つのベクトルが${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

線形従属関係にある行列方程式を形成する。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

この式を簡約すると、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

これを変形してv ₃について解くと、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.}$

この方程式は簡単に解けて、非ゼロのa _{i を}定義する。

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

ここで、 は任意に選択できます。したがって、ベクトルと は線形従属です。 ${\displaystyle a_{3}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$

別の方法は、ベクトルを列としてとることで形成される 行列の行列式がゼロでない場合にのみ、のベクトルが線形独立であるという事実に依存します。${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

この場合、ベクトルによって形成される行列は

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

列の線形結合は次のように書ける。

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

我々は、ある非ゼロベクトルΛに対してA Λ = 0であるかどうかに興味がある。これは、の行列式に依存し、それは ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

行列式はゼロではないので、ベクトルとベクトルは線形独立です。 ${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (-3,2)}$

それ以外の場合、座標のベクトルがあるとします。このとき、 Aはn × m行列で、Λ は要素を持つ列ベクトルであり、ここでもA Λ = 0に注目します。前に見たように、これは方程式のリストと同等です。の最初の行、つまり最初の方程式について考えます。方程式の完全なリストの任意の解は、縮小されたリストでも真でなければなりません。実際、⟨ i ₁ ,..., i _m ⟩が任意の行のリストである場合、方程式はそれらの行に対して真でなければなりません。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m<n.}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

さらに、逆もまた真である。つまり、ベクトルが線形従属であるかどうかをテストすることで テストできる。${\displaystyle m}$

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0}$

行のすべての可能なリストに対して成り立ちます。( の場合、上記のように、これには 1 つの行列式のみが必要です。 の場合、ベクトルは線形従属でなければならないという定理があります。) この事実は理論上は貴重ですが、実際の計算ではより効率的な方法が利用できます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle m>n}$

ベクトルの数が次元の数より多い場合、ベクトルは線形従属である。これは、上の3つのベクトルの例で示されている。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

と仮定し、自然基底ベクトル と呼ばれる内の次の要素を考えます。${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}$

それらは線形独立です。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$

を実変数のすべての微分可能関数のベクトル空間とします。このとき、の関数と は線形独立です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle t}$${\displaystyle e^{t}}$${\displaystyle e^{2t}}$${\displaystyle V}$

とが2つの実数であると 仮定し、${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

上記の式の一次導関数をとります。

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

のすべての値に対して、およびであることを示す必要があります。これを行うには、最初の式を 2 番目の式から減算して とします。 は、一部の に対してゼロではないため、にも従います。したがって、線形独立の定義によれば、およびは線形独立です。 ${\displaystyle t.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=0.}$${\displaystyle be^{2t}=0}$${\displaystyle e^{2t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle b=0.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle e^{t}}$${\displaystyle e^{2t}}$

ベクトルv ₁ , ..., v _n間の線形依存関係または線形関係は、 n個のスカラー成分を持つ組( a ₁ , ..., a _n )であり、

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

このような線形依存関係が少なくとも 1 つの非ゼロ成分とともに存在する場合、_{n 個のベクトルは線形従属です。v 1}、 ...、v n 間の線形依存関係はベクトル空間を_形成します。

ベクトルが座標で表現される場合、線形従属関係はベクトルの座標を係数とする同次線形方程式系の解です。したがって、線形従属関係のベクトル空間の基底はガウス消去法で計算できます。

ベクトルの集合は、集合内の少なくとも 1 つのベクトルが他のベクトルのアフィン結合として定義できる場合、アフィン従属であると言われます。それ以外の場合、集合はアフィン独立であると呼ばれます。任意のアフィン結合は線形結合であるため、すべてのアフィン従属集合は線形従属です。逆に、すべての線形独立集合はアフィン独立です。

それぞれサイズのベクトルの集合と、それぞれサイズの増加したベクトルの集合を考える。元のベクトルがアフィン独立であるのは、増加したベクトルが線形独立である場合に限ります。^{[3] : 256}${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$${\displaystyle n+1}$

ベクトル空間の２つのベクトル部分空間とが線型独立であるとは、^[4]より一般的には、の部分空間の 集合が線型独立であるとは、任意の添字に対して^[4]であるときである。 ベクトル空間がの直和であるとは、これらの部分空間が線型独立であり、${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\cap N=\{0\}.}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$${\displaystyle X}$${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$${\displaystyle i,}$${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$${\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.}$

• マトロイド – ベクトルの線形独立性の抽象化

• 「線形独立性」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• WolframMathWorld の線形従属関数。
• 線形独立性に関するチュートリアルとインタラクティブ プログラム。
• KhanAcademy での線形独立性の紹介。