微分階数代数

数学、特にホモロジー代数、代数位相幾何学、代数幾何学において、微分次数代数（またはDG代数、DGA）は、位相空間をモデル化するためによく使用される代数構造です。特に、代数構造と互換性のある連鎖複素構造を持つ次数付き結合代数です。注目すべき例としては、多様体上の微分形式のde Rham 代数があります。DGA は、有理ホモトピー理論の開発にも広く使用されています。

を次数付き代数とします。が次数（ホモロジー次数）または次数（コホモロジー次数）の写像を備えている場合、 は微分次数付き代数であるといいます。 この写像は微分であり、（ の次数に応じて）連鎖複体または共連鎖複体の構造を与え、次数付きライプニッツ規則を満たします。 以下では、同次元の「次数」を で表します。 ${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle d\colon A\to A}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a\in A_{i}}$${\displaystyle |a|=i}$

明示的には、マップは ${\displaystyle d}$

微分次数付き拡大代数（または拡大DGA）は、基底環へのDG射を備えたDG代数である（この用語はアンリ・カルタンによる）。^[1]

圏論を使ってDGAをより抽象的に定義することができる。上の鎖複体の圏があり、これはしばしば と表記され、その対象は鎖複体であり、その射は鎖写像、すなわち微分と互換性のある写像である。鎖複体上の テンソル積は次のように定義できる。${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Ch} _{k}}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{i+j=n}V_{i}\otimes W_{j}}$

これは対称モノイドカテゴリになります。したがって、DGA は単に連鎖複体のカテゴリ内の モノイドオブジェクトです。${\displaystyle \operatorname {Ch} _{k}}$

次数付きベクトル空間間の線型写像は、すべての に対してであるとき、次数 nであるといわれます。(共)連鎖複体を考えるときは、 を満たす連鎖写像にのみ注目します。DGA のカテゴリの射は、次数 0 の連鎖写像です。 ${\displaystyle f:(A_{\bullet },d_{A})\to (B_{\bullet },d_{B})}$${\displaystyle f(A_{i})\subseteq B_{i+n}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f\circ d_{A}=d_{B}\circ f}$

任意の鎖状複体にはその相同性が伴う。 なので、 はのサブセットである。したがって、商を形成できる。 ${\displaystyle A_{\bullet}}$${\displaystyle d\circ d=0}$${\displaystyle \operatorname {im} (d:A_{i+1}\to A_{i})}$${\displaystyle \operatorname {ker} (d:A_{i}\to A_{i-1})}$

${\displaystyle H_{i}(A)=\operatorname {ker} (d:A_{i}\to A_{i-1})/\operatorname {im} (d:A_{i+1}\to A_{i})}$

これは 番目のホモロジー群と呼ばれ、これらすべてを合わせると次数付きベクトル空間を形成します。実際、これは次数付き代数です。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle H_{\bullet }(A)}$

同様に、任意のコチェーン複体にそのコホモロジーを関連付けることができる。すなわち、番目のコホモロジー群は次のように与えられる。 ${\displaystyle A^{\bullet}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle H^{i}(A)=\operatorname {ker} (d:A^{i}\to A^{i+1})/\operatorname {im} (d:A^{i-1}\to A^{i})}$

これらは再び次数付きベクトル空間を形成します。 ${\displaystyle H^{\bullet }(A)}$

可換微分次数代数（CDGA ）は、可換性の次数バージョンを満たす 微分次数代数である。すなわち、${\displaystyle (A_{\bullet },d,\cdot )}$

${\displaystyle a\cdot b=(-1)^{|a||b|}b\cdot a}$

同次要素の場合。数学でよく見られる DGA の多くは CDGA です。 ${\displaystyle a\in A_{i},b\in A_{j}}$

微分次数付きリー代数（DGLA）は、リー代数のDG類似体です。つまり、微分次数付きベクトル空間 と、演算 の組み合わせであり、リー代数の公理の次数付き類似体を満たします。${\displaystyle (L_{\bullet },d)}$${\displaystyle [,]:L_{i}\otimes L_{j}\to L_{i+j}}$${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{ij}[y,x]}$

DGLAの一例としては、通常のリー代数でテンソル化されたド・ラーム代数が挙げられる。DGLAは変形理論において頻繁に出現し、特性0の体上で「良い」変形問題が適切なDGLAのマウラー・カルタン要素によって記述される。^[2]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

DGA の射(それぞれ) が存在し、それが準同型で ある場合、 DGA は形式的であると言います。${\displaystyle A}$${\displaystyle A\to H_{\bullet }(A)}$${\displaystyle A\to H^{\bullet }(A)}$

まず、任意の次数付き代数は 、自明な微分を持つ DGA の構造、つまり を持つことに注目します。特に、任意の DGA のホモロジー/コホモロジーは、次数付き代数であるため、自明な DGA を形成します。 ${\displaystyle A=\bigoplus _{i}A_{i}}$${\displaystyle d=0}$

を体上の（非次数）ベクトル空間とする。テンソル代数は次数代数として定義される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T(V)}$

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{i\geq 0}T^{i}(V)=\bigoplus _{i\geq 0}V^{\otimes i}}$

ここで、慣例により を取ります。このベクトル空間は、テンソル積 によって与えられる乗算を持つ次数代数にすることができます。これは上の自由代数であり、 の元におけるすべての非可換多項式の代数として考えることができます。 ${\displaystyle T^{0}(V)=k}$${\displaystyle T^{i}(V)\otimes T^{j}(V)\to T^{i+j}(V)}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

テンソル代数にDGAの構造を与えるには次のようにすればよい。任意の線型写像を とする。すると、これは次式によって 次数のの微分に一意に拡張される。${\displaystyle f:V\to k}$${\displaystyle T(V)}$${\displaystyle -1}$

${\displaystyle d_{f}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i-1}v_{1}\otimes \cdots \otimes f(v_{i})\otimes \cdots \otimes v_{n}}$

右辺のマイナス符号は、 の次数 1 の要素 を が「飛び越える」ために発生するものと考えることができます。これは一般にKoszul 符号規則と呼ばれます。 ${\displaystyle d_{f}}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{i-1}}$${\displaystyle T(V)}$

この構成を微分次数付きベクトル空間に拡張することができます。 を微分次数付きベクトル空間、すなわち、および とします。ここではホモロジー次数付き DG ベクトル空間を扱っていますが、この構成はコホモロジー次数付き DG ベクトル空間でも同様に機能します。次に、テンソル代数にDG 構造を V に拡張する DGA 構造を与えることができます。これは次のように表されます。 ${\displaystyle (V_{\bullet },d_{V})}$${\displaystyle d:V_{i}\to V_{i-1}}$${\displaystyle d^{2}=0}$${\displaystyle T(V)}$

${\displaystyle d(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{|v_{1}|+\ldots +|v_{i-1}|}v_{1}\otimes \cdots \otimes d_{V}(v_{i})\otimes \cdots \otimes v_{n}}$

これは前の場合と似ていますが、 の要素は の次数 1 に制限されず、任意の次数にすることができます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle T(V)}$

前の場合と同様に、ベクトル空間上に自由CDGAを構成することもできる。次数付きベクトル空間が与えられたとき、その上の自由次数付き可換代数を次のように定義する。 ${\displaystyle V_{\bullet }}$

${\displaystyle S(V)=\operatorname {Sym} \left(\bigoplus _{i=2k}V_{i}\right)\otimes \bigwedge \left(\bigoplus _{i=2k+1}V_{i}\right)}$

ここで、 は対称代数を表し、 は外積代数を表します。DG ベクトル空間(ホモロジー的またはコホモロジー的に次数付け) から始めると、 が一意に CDGA となる ように に拡張できます。${\displaystyle \operatorname {Sym} }$${\displaystyle \bigwedge }$${\displaystyle (V_{\bullet },d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S(V)}$${\displaystyle (S(V),d)}$

を多様体とします。すると、上の微分形式は と表記され、自然に DGA の構造を持ちます。次数は形式の次数で与えられ、乗算はウェッジ積であり、外微分は微分になります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)}$

これらは導来変形理論を含む幅広い応用がある。^[3]ド・ラームコホモロジーも参照。

の係数を持つ位相空間の特異コホモロジーはDG 代数である。微分は短完全列に関連付けられたボクシュタイン準同型で与えられ、積はカップ積で与えられる。この微分次数代数は、カルタンセミナーでアイレンバーグ–マクレーン空間のコホモロジーを計算するために使用された。^{[4] [5]}${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0}$

可換代数と代数幾何学で広く使われている微分次数代数の基礎的な例の 1 つが、コシュル複体です。これは、完全な交差の平坦な解決の構築など、その応用範囲が広いためであり、導出の観点からは、導出臨界軌跡を表す導出代数を与えます。

DGAが最小であるとは、 ${\displaystyle ({\mathcal {A}}^{\bullet },d,\cdot )}$

多くの場合、鎖複合体に含まれる重要な情報はそのコホモロジーです。したがって、考慮すべき自然な写像は、コホモロジー上で同型性を誘導するものですが、DGA 全体では同型性がない可能性があります。このような写像を準同型性と呼びます。

すべての単純連結DGAは最小モデルを許容する。^[6]

DGAが極小モデルを許容する場合、それは非一意同型性を除いて一意である。^[7]

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