交互多線マップ

数学、特に多重線形代数において、交代多重線形写像とは、すべての引数が同じベクトル空間（例えば、双線形形式や多重線形形式）に属する多重線形写像であり、引数の任意の2つが等しい場合にゼロとなる写像のことである。これは可換環上の加群に直接一般化できる。

交代化（または交代化）の概念は、すべての引数が同じ空間に属する任意の多重線形写像から交代多重線形写像を導出するために使用されます。

させて${\displaystyle R}$可換環であり、${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$モジュール${\displaystyle R}$. 形式の多重線形マップ${\displaystyle f:V^{n}\to W}$以下の同等の条件を満たす場合、それは交代的であると言われる。

1. 存在するときはいつでも${\textstyle 1\leq i\leq n-1}$そのため${\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}$それから${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}
2. 存在するときはいつでも${\textstyle 1\leq i\neq j\leq n}$そのため${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$それから${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$[ ^{1 ] [ 3 ]​}

させて${\displaystyle V,W}$は同じ体上のベクトル空間である。すると、次の形式の多重線形写像が得られる。${\displaystyle f:V^{n}\to W}$以下の条件を満たす場合、それは交代的である。

• もし${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$線形従属である場合${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$。

リー代数において、リー括弧は交代双線形写像である。行列の行列式は、行列の行または列の多重線形交代写像である。

コンポーネントが${\displaystyle x_{i}}$交代多重線形マップの は、${\displaystyle x_{i}+cx_{j}}$いかなる場合でも${\displaystyle j\neq i}$そして${\displaystyle c}$ベースリングで${\displaystyle R}$そうすれば、そのマップの値は変更されません。^{[ 3 ]}

すべての交代多重線形写像は反対称である^{[ 4 ]}、つまり^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ for any }}1\leq i\leq n-1,}$$ または同等に、 $${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ for any }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},}$$ どこ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$は次数 の置換群を表す${\displaystyle n}$そして${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$は​​${\displaystyle \sigma }$[ ^{5 ]} もし^​${\displaystyle n!}$ベースリング内のユニットです${\displaystyle R}$すると、すべての反対称${\displaystyle n}$多重線形式は交代形式です。

形式の多重線形写像が与えられた場合${\displaystyle f:V^{n}\to W,}$交互多線マップ${\displaystyle g:V^{n}\to W}$定義される $${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}$$ は、​${\displaystyle f}$。

不動産

• の交代${\displaystyle n}$-多重線形交代マップは${\displaystyle n!}$それ自体を繰り返す。
• 対称写像の交替はゼロである。
• 双線形写像の交代化は双線形である。特に、任意のコサイクルの交代化は双線形である。この事実は、格子上の第2コホモロジー群を、格子上の交代双線形形式の群と同一視する上で重要な役割を果たす。

• 交代代数
• 双線形写像
• 外積代数 § 交代多重線形形式
• 地図（数学）
• 多重線形代数
• 多線図
• 多重線形形式
• 対称化

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• ダミット、デイビッド S.、フット、リチャード M. (2004).抽象代数学（第 3 版）. ワイリー.
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