ルベーグ測度

数学において、ルベーグ測度は、実数直線の部分集合に長さの概念を、ユークリッド平面の領域に面積の概念を、そして3次元以上のユークリッド空間の部分集合に体積の概念を割り当てる標準的な方法です。しばしば、${\displaystyle \lambda (\cdot )}$これは数学解析全体を通して使用され、特にルベーグ積分の定義や、「ほとんどどこでも」成り立つという記述、つまりルベーグ測度がゼロである集合を除いて成り立つという記述で使用されます。

ルベーグ測度は、通常の幾何学的長さ（または体積）を、可算和集合やその他の可算極限と互換性のある方法で拡張したものです。例えば、実数直線の可算部分集合はすべて、長さを持たない点の可算和集合であるため、ルベーグ測度はゼロになります。一方、多くの非可算集合も測度がゼロになります。この測度は、集合論の通常の公理の下で、実数直線（またはユークリッド空間）のすべての部分集合に定義されているわけではありません。この測度が適用される集合は、ルベーグ可測集合と呼ばれます。

ルベーグ測度を特徴づける一つの方法は、まずボレル集合、すなわち開区間の集合から可算個の和集合、補集合、積集合の操作によって得られるすべての集合上でルベーグ測度を定義することです。これにより、開区間に通常の長さが割り当てられ、区間の極限を取ったときに自然な性質が満たされます。次に、このボレル測度を完成させることで、つまり既に測度がゼロであるボレル集合のすべての部分集合に測度ゼロを割り当てることで、ルベーグ測度を得ることができます。

アンリ・ルベーグは1901年にこの尺度を記述し、その翌年にはルベーグ積分を記述した。どちらも1902年に彼の博士論文「積分、長さ、空気」の一部として発表された。 ^{[ 1 ]}

ルベーグ測度は、通常の長さ、面積、体積の拡張として導入できます。実数直線上では、次のような区間が出発点となります。${\displaystyle [a,b]}$、${\displaystyle (a,b)}$、 または${\displaystyle [a,b)}$長さが必要です${\displaystyle ba}$。 で$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$対応する基本集合は長方形の箱である $${\displaystyle B=I_{1}\times \cdots \times I_{n},}$$ それぞれ${\displaystyle I_{i}}$は区間です。このような箱の体積は $${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}|I_{i}|.}$$ ルベーグ測度に関連する構成として、ジョルダン含有量があります。これは、領域を長方形のボックスへの有限分割によって近似するものです。リーマン積分と同様に、領域を含む分割と、領域内に含まれる分割の差が任意に小さい場合、その集合はジョルダン可測であると言えます。ジョルダン測度は、ルベーグ測度ほど堅牢ではありません。なぜなら、有理数の集合のように、ジョルダン可測ではないかなり基本的な集合が存在するからです。

ルベーグ測度は、この割り当てを区間やボックスから、可算加法性の基本ルールを維持しながら、十分に大きなより複雑な集合のクラスに拡張します。${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$は互いに素な可測集合である。 $${\displaystyle \lambda \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda (E_{k}).}$$この要件は有限加法性 よりも強く、すべての部分集合が$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$通常の集合論的枠組みにおいて、ルベーグ測度を割り当てることができる。

この尺度の最初の領域はボレル集合の集合です。ボレル集合は$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$最小の形${\displaystyle \sigma }$-すべての開集合を含む代数。言い換えれば、可算和集合、可算積集合、および補集合を適用することによって開集合から得られる集合です。これには、開集合、閉集合、可算集合、区間、ボックス、および可算演算によってそれらから得られる他の多くの集合（たとえば、カントール三項集合）が含まれます。

ボレル部分集合には、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$これは、すべての長方形の箱に通常の体積を割り当て、平行移動に対して不変です。これはしばしばルベーグ測度のボレル版と呼ばれます。しかし、ボレル集合のみの測度であるため、完全ではありません。測度がゼロのボレル集合の部分集合は、それ自体がボレル集合であるとは限りません。

ルベーグ可測集合は、このボレル測度を完成させることによって得られます。つまり、ボレル集合に、測度がゼロのボレル集合のすべての部分集合と、そのような零集合によってボレル集合と異なるすべての集合を追加します。同等に、集合${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ボレル集合が存在する場合、それはルベーグ可測である。${\displaystyle B}$対称差 $${\displaystyle E\triangle B=(E\setminus B)\cup (B\setminus E)}$$ 測度はゼロです。${\displaystyle E}$は、ボレル測度として定義される。${\displaystyle B}$これは明確に定義されています。なぜなら、集合を空集合に置き換えても、その尺度は変わらないからです。

例えば、カントール集合はルベーグ測度ゼロのボレル集合です。したがって、カントール集合のすべての部分集合はルベーグ可測ですが、そのような部分集合すべてがボレル集合であるとは限りません。このように、ルベーグ可測集合はより大きな集合を形成します。${\displaystyle \sigma }$ボレル集合よりも代数的である。

任意の間隔で${\displaystyle I=[a,b]}$、 または${\displaystyle I=(a,b)}$セット内で${\displaystyle \mathbb {R} }$実数で、${\displaystyle \ell (I)=ba}$その長さを表す。任意の部分集合に対して。${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ルベーグ^外測度[ ^{2 ]}${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)}$は、下限として定義される。

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ は開区間の列であり、}}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$

上記の定義は、以下のように高次元に一般化できる。^{[ 3 ]}任意の直方体の場合${\displaystyle C}$これはデカルト積です${\displaystyle C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}}$開区間の${\displaystyle \operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})}$（実数の積）は、その体積を表す。任意の部分集合に対して、${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R^{n}} }$、

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of Cartesian products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.}$$

セット${\displaystyle E}$が次の条件を満たすとき、カラテオドリの基準を満たす。${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R^{n}} }$、 我々は持っています：

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{\complement }).}$$

ここ、${\displaystyle E^{\complement }}$は${\displaystyle E}$セット${\displaystyle E}$カラテオドリ基準を満たすものはルベーグ可測であると言われる。そのようなすべての集合は${\displaystyle E}$σ代数を形成する。

このような集合のルベーグ測度は、その集合のルベーグ外測度として定義さ れる。

${\displaystyle \lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)}$。

ZFCは、非可測集合が存在することを証明している。例としては、ヴィタリ集合が挙げられる。

• 任意の閉区間${\textstyle [a,b]}$実数の はルベーグ可測であり、そのルベーグ測度は長さである${\textstyle b-a}$開区間${\textstyle (a,b)}$2つの集合の差は端点のみで構成されているため、同じ尺度を持つ。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$それぞれ測度がゼロである。
• 区間の任意のデカルト積${\textstyle [a,b]}$そして${\textstyle [c,d]}$はルベーグ可測であり、そのルベーグ測度は${\textstyle (b-a)(d-c)}$対応する長方形の面積。
• さらに、すべてのボレル集合はルベーグ可測である。しかし、ボレル集合ではないルベーグ可測集合も存在する。^{[ 4 ] [ 5 ]}
• 可算な実数集合のルベーグ測度は0である。特に、代数的数の集合のルベーグ測度は0である。この集合は稠密であるにもかかわらず。${\displaystyle \mathbb {R} }$。
• カントール集合とリウヴィル数の集合は、ルベーグ測度が0である非可算集合の例である。
• 決定性公理が成り立つならば、すべての実数集合はルベーグ可測である。しかしながら、決定性は選択公理とは両立しない。
• ヴィタリ集合は、ルベーグ測度に関して測定不可能な集合の例である。その存在は選択公理に基づいている。
• オズグッド曲線は、正のルベーグ測度を持つ単純な平面曲線です^{[ 6 ]} （ペアノ曲線の構成を少し変更することで得られます）。ドラゴン曲線は、もう1つの珍しい例です。
• 行${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、 のために${\displaystyle n\geq 2}$は、ルベーグ測度がゼロです。一般に、すべての適切な超平面は、その周囲空間においてルベーグ測度がゼロです。
• n次元球の体積は、オイラーのガンマ関数を用いて計算できる。

ルベーグ尺度${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$以下の特性を持つ。

1. もし${\textstyle A}$区間の直積である${\displaystyle I_{1}\times I_{2}\times ...\times I_{n}}$、Aはルベーグ可測であり、${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdot _{\;\dots }\cdot |I_{n}|.}$
2. もし${\textstyle A}$は可算個の互いに素なルベーグ可測集合の和集合である。${\textstyle A}$それ自体はルベーグ可測であり、${\textstyle \lambda (A)}$これは、関係する可測集合の測度の合計（または無限級数）に等しい。
3. もし${\textstyle A}$がルベーグ可測ならば、その補集合もルベーグ可測である。
4. ${\textstyle \lambda (A)\geq 0}$全てのルベーグ可測集合に対して${\textstyle A}$。
5. もし${\textstyle A}$そして${\textstyle B}$ルベーグ可測であり、${\textstyle A}$は、${\textstyle B}$、 それから${\textstyle \lambda (A)\leq \lambda (B)}$（２の結果）
6. ルベーグ可測集合の可算和集合と共通部分はルベーグ可測である。（補集合と互いに素な可算和集合に関して閉じている集合族は、可算和集合に関して閉じている必要はないため、2と3の結果ではない。）${\displaystyle \{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}}$）
7. もし${\textstyle A}$は、​​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（あるいはボレル集合、距離空間を参照）${\textstyle A}$ルベーグ可測である。
8. もし${\textstyle A}$がルベーグ可測集合であるならば、それはルベーグ測度の意味で「近似的に開集合」であり、「近似的に閉集合」である。
9. ルベーグ可測集合は、包含する開集合と包含する閉集合の間に「挟み込む」ことができる。この性質は、ルベーグ可測性の代替定義として用いられてきた。より正確には、${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$がルベーグ可測であるのは、すべてのに対して が成り立つ場合かつその場合に限る。${\displaystyle \varepsilon >0}$開集合が存在する${\displaystyle G}$閉集合${\displaystyle F}$そのため${\displaystyle F\subset E\subset G}$そして${\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon }$[ ^{7 ]​}
10. ルベーグ可測集合は、包含するG _δ集合と包含するF _σの間に「挟み込む」ことができる。つまり、${\textstyle A}$がルベーグ可測であれば、 G _δ集合が存在する${\textstyle G}$そしてFσ_​${\textstyle F}$そのため${\textstyle F\subseteq A\subseteq G}$そして${\textstyle \lambda (G\setminus A)=\lambda (A\setminus F)=0}$。
11. ルベーグ測度は局所的に有限かつ内部的に正則であるため、ラドン測度である。
12. ルベーグ測度は空でない開集合上で厳密に正であり、したがってその台は全体である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。
13. もし${\textstyle A}$はルベーグ可測集合であり、${\textstyle \lambda (A)=0}$（空集合）ならば、すべての部分集合${\textstyle A}$もまた空集合である。さらに、 のすべての部分集合は${\displaystyle A}$測定可能である。
14. もし${\textstyle A}$はルベーグ可測であり、xは の要素である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、それから翻訳${\textstyle A}$による${\textstyle x}$定義される${\displaystyle A+x:=\{a+x:a\in A\}}$はルベーグ可測であり、 と同じ測度を持つ。${\textstyle A}$。
15. もし${\textstyle A}$はルベーグ可測であり、${\displaystyle \delta >0}$すると、${\displaystyle A}$による${\displaystyle \delta }$定義される${\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}}$はルベーグ可測であり、測度を持つ。${\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,(A).}$
16. より一般的に言えば、${\textstyle T}$は線形変換であり、${\textstyle A}$は測定可能な部分集合である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、 それから${\textstyle T(A)}$はルベーグ可測であり、測度は${\displaystyle \left|\det(T)\right|\lambda (A)}$。

上記すべては、簡潔に以下のように要約できます（ただし、最後の2つの主張は、以下の点と密接な関連があります）。

ルベーグ可測集合は、区間のすべての積を含むσ代数を形成し、${\displaystyle \lambda }$は、 σ代数上の唯一の完全な並進不変測度であり、${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.}$

ルベーグ測度はσ有限であるという性質も持っている。

サブセット${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$すべての​${\displaystyle \varepsilon >0}$、それはn個の区間の積で覆うことができ、その総体積は最大で${\displaystyle \varepsilon }$可算集合はすべて空集合である。

サブセット${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ハウスドルフ次元がn未満であれば、 n次元ルベーグ測度に関して零集合となる。ここでハウスドルフ次元は、ユークリッド距離に関するものである。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（またはそれと同等の任意の計量リプシッツ集合）。一方、集合の位相次元がn未満であっても、 n次元のルベーグ測度が正の値をとる場合がある。その例として、位相次元が 0 でありながら 1 次元のルベーグ測度が正の値をとるSmith–Volterra–Cantor 集合が挙げられる。

与えられた集合が${\textstyle A}$がルベーグ可測である場合、通常は「より良い」集合を見つけようとします。${\textstyle B}$これは以下とは異なります${\textstyle A}$ヌル集合によってのみ（対称差が${\textstyle (A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$（空集合）を示し、${\textstyle B}$開集合または閉集合からの可算和集合および積集合を用いて生成することができる。

ルベーグ測度の現代的な構成は、カラテオドリの拡張定理の応用である。その手順は以下のとおりである。

修理${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$箱の中に${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は、次の形式の集合です。$${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,}$$どこ${\displaystyle b_{i}\geq a_{i}}$、ここでの積記号はデカルト積を表します。この箱の体積は次のように定義されます。$${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.}$$任意の部分集合に対して${\displaystyle A}$の${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$外部尺度を定義することができる${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)}$による：$${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.}$$次に、集合を定義します。${\displaystyle A}$すべての部分集合に対して、ルベーグ可測であるとは、${\displaystyle S}$の${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、$${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.}$$これらのルベーグ可測集合はσ代数を形成し、ルベーグ測度は次のように定義される。${\displaystyle \lambda (A)=\lambda ^{\!*\!}(A)}$任意のルベーグ可測集合に対して${\displaystyle A}$。

ルベーグ可測でない集合の存在は、集合論の選択公理の結果であり、これは集合論の多くの従来の公理系とは独立している。この公理から導かれるヴィタリの定理は、集合の部分集合が存在することを述べている。${\displaystyle \mathbb {R} }$ルベーグ可測でない集合。選択公理を仮定すると、バナッハ・タルスキーのパラドックスのように、多くの驚くべき性質を持つ非可測集合が証明されている。

1970年、ロバート・M・ソロベイは、選択公理がない場合、ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組み内では、ルベーグ可測でない集合の存在は証明できないことを示した（ソロベイのモデルを参照）。^{[ 8 ]}

ボレル測度は、それが定義されている集合上ではルベーグ測度と一致しますが、ボレル測度可能な集合よりもルベーグ測度可能な集合の方がはるかに多く存在します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は自動的に局所有限ボレル測度であり、すべての局所有限ボレル測度が${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は必然的にルベーグ測度である。ボレル測度は並進不変であるが、完全ではない。

ハール測度は任意の局所コンパクト群上で定義でき、ルベーグ測度(${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$追加すると、局所的にコンパクトな群になります。

ハウスドルフ測度は、ルベーグ測度の一般化であり、以下の部分集合を測定するのに有用である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$nより低い次元の、例えば部分多様体、例えば曲面や曲線など${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$そしてフラクタル集合。ハウスドルフ測度はハウスドルフ次元の概念と混同してはならない。

ルベーグ測度の無限次元版は存在しないことが示される。

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