正確な順序

完全列とは、オブジェクト (たとえば、群、環、モジュール、およびより一般的にはアーベルカテゴリのオブジェクト)間の射の列であり、 1 つの射の像が次の射の核に等しくなります。

群論の文脈では、シーケンス

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {\ f_{1}\ }}\;G_{1}\;{\xrightarrow {\ f_{2}\ }}\;G_{2}\;{\xrightarrow {\ f_{3}\ }}\;\cdots \;{\xrightarrow {\ f_{n}\ }}\;G_{n}}$

群と群準同型の は、の場合に で完全で あるといわれます。 列が完全であるとは、すべての に対して のそれぞれで完全である場合、つまり、各準同型の像が次の準同型の核に等しい場合に言います。 ${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i})=\ker(f_{i+1})}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle 1\leq i<n}$

群と準同型のシーケンスは有限または無限のいずれかになります。

同様の定義は、他の代数構造にも適用できます。たとえば、ベクトル空間と線型写像の完全列、または加群と加群準同型の完全列があります。より一般的には、完全列の概念は、核と余核を持つ任意のカテゴリ、特にアーベルカテゴリで意味を持ち、広く使用されています。

定義を理解するには、シーケンスが群準同型であり、有限であり、自明なグループで始まるか終わる、比較的単純なケースを考えると役立ちます。伝統的に、これは単一の単位元とともに、0 (加法表記、通常はグループがアーベルの場合) または 1 (乗法表記) で表されます。

• シーケンス 0 → A → Bを考えます。左端のマップの像は 0 です。したがって、シーケンスが正確であるのは、右端のマップ ( AからBへ) が核 {0} を持つ場合のみです。つまり、そのマップが単射(単射、つまり 1 対 1)である場合のみです。
• 双対シーケンスB → C → 0 を考えます。右端のマップの核はCです。したがって、シーケンスが正確であるのは、左端のマップ ( BからCへ) の像がC全体である場合のみです。つまり、そのマップがエピモーフィズム(全射、または全射) である場合のみです。
• したがって、シーケンス 0 → X → Y → 0 が正確であるためには、 XからYへの写像が単射とエピモーフィズム（つまり、双射）の両方である場合が必要であり、したがって通常はXからYへの同型である（これはSetのような正確なカテゴリでは常に成り立つ）。

短完全シーケンスは、次の形式の完全シーケンスである。

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0.}$

上で確立したように、このような短い完全列に対して、fは単射であり、g はエピモーフィズムである。さらに、fの像はgの核に等しい。 AをBのサブオブジェクトとして考え、fがA をBに埋め込むと考え、C を対応する因子オブジェクト（または商）B / Aとして考え、g が同型を誘導すると 考えるとわかりやすい。

${\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)=B/\operatorname {ker} (g)}$

短い完全列

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0\,}$

準同型h  : C → B が存在し、合成g ∘ hがC上の恒等写像となるとき、 は分割されると呼ばれる。したがって、これらがアーベル群であれば、B はAとCの直和に同型である。

${\displaystyle B\cong A\oplus C.}$

一般的な完全列は、短完全列の特殊なケースと区別するために、長完全列と呼ばれることもあります。 ^[1]

長完全列は、次の意味で短完全列の族と同等である。長完全列が与えられたとき

${\displaystyle A_{0}\;\xrightarrow {\ f_{1}\ } \;A_{1}\;\xrightarrow {\ f_{2}\ } \;A_{2}\;\xrightarrow {\ f_{3}\ } \;\cdots \;\xrightarrow {\ f_{n}\ } \;A_{n},}$ （１）

n ≥ 2の場合、これを短いシーケンスに分割することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}0\rightarrow K_{1}\rightarrow {}&A_{1}\rightarrow K_{2}\rightarrow 0,\\0\rightarrow K_{2}\rightarrow {}&A_{2}\rightarrow K_{3}\rightarrow 0,\\&\ \,\vdots \\0\rightarrow K_{n-1}\rightarrow {}&A_{n-1}\rightarrow K_{n}\rightarrow 0,\\\end{aligned}}}$ （２）

ここで、任意の に対してである。構築により、シーケンス(2)はの点で正確である( (1)の正確さに関係なく)。さらに、(1)が長完全シーケンスであるための必要条件は、(2)がすべて短完全シーケンスである場合である。 ${\displaystyle K_{i}=\operatorname {im} (f_{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle K_{i}}$

短い完全シーケンスから長い完全シーケンスを再形成する方法の詳細については、織り合わせ補題を参照してください。

次のアーベル群のシーケンスを考えます。

${\displaystyle \mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\,\hookrightarrow }} \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

最初の準同型写像は、整数集合Zの各要素iをZの要素 2 iに写像します。2 番目の準同型写像は、 Zの各要素iを商群の要素jに写像します。つまり、 j = i mod 2です。ここで、フック矢印は、ZからZへの写像 2×が単射であることを示し、2 方向矢印はエピモーフィズム (写像 mod 2) を示します。単射の像 2 Z がエピモーフィズムの核であるため、これは正確なシーケンスです。本質的に「同じ」シーケンスは次のようにも記述できます。 ${\displaystyle \hookrightarrow}$${\displaystyle \twoheadrightarrow}$

${\displaystyle 2\mathbf {Z} \mathrel {\,\hookrightarrow } \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

この場合、単射は 2 n ↦ 2 nであり、恒等関数のように見えますが、奇数は 2 Zに属していないため、全射ではありません（つまり、エピモーフィズムではありません）。ただし、この単射による2 Zの像は、前のシーケンスで使用したn ↦ 2 nによるZの像とまったく同じZの部分集合です。この後者のシーケンスは、最初のオブジェクトの具体的な性質が前のものとは異なります。2 Z は、グループとしては同型ですが、 Zと同じ集合ではないためです。

最初のシーケンスは、単態性と重態性の特別な記号を使用せずに記述することもできます。

${\displaystyle 0\to \mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\longrightarrow }} \mathbf {Z} \longrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \to 0}$

ここで 0 は自明な群を表し、 ZからZへの写像は2 の乗算であり、Zから因数群 Z /2 Zへの写像は 2 を法とする整数の簡約によって与えられます。これは確かに正確なシーケンスです。

• 0 → Zの写像の像は{0} であり、 2 による乗算の核も {0} であるため、シーケンスは最初のZで正確です。
• 2 を掛け合わせた像は 2 Zであり、 2 を法として減算した核も 2 Zであるため、シーケンスは 2 番目のZで正確です。
• 2を法として縮小した像はZ /2 Zであり、ゼロ写像の核もZ /2 Zであるため、位置Z /2 Zではシーケンスは正確です。

最初と3番目のシーケンスは、 Zの無限の性質による特別なケースです。有限群を包含（つまり、単射）によってそれ自身の適切な部分群に写像することは不可能です。代わりに、最初の同型定理から生じるシーケンスは次のようになります。

${\displaystyle 1\to N\to G\to G/N\to 1}$

(ここでは、これらの群はアーベル群ではないと想定されているため、自明群と表記されます)。 ${\displaystyle 1,}$

有限群上の完全列のより具体的な例として、

${\displaystyle 1\to C_{n}\to D_{2n}\to C_{2}\to 1}$

ここで はn位の巡回群であり、は2 n位の二面体群であり、非可換群です。 ${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle D_{2n}}$

IとJを環Rの2つのイデアルとする。すると

${\displaystyle 0\to I\cap J\to I\oplus J\to I+J\to 0}$

はR加群の正確な列であり、加群準同型は の各要素xを直和の要素⁠ ⁠に写し、準同型はの各要素⁠ ⁠を⁠ ⁠に写します。 ${\displaystyle I\cap J\to I\oplus J}$${\displaystyle I\cap J}$${\displaystyle (x,x)}$ ${\displaystyle I\oplus J}$${\displaystyle I\oplus J\to I+J}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle I\oplus J}$${\displaystyle xy}$

これらの準同型写像は、同様に定義された準同型写像の制限であり、短完全列を形成する。

${\displaystyle 0\to R\to R\oplus R\to R\to 0}$

商モジュールに渡すと別の正確なシーケンスが生成される

${\displaystyle 0\to R/(I\cap J)\to R/I\oplus R/J\to R/(I+J)\to 0}$

分割補題は、短い完全列に対して

${\displaystyle 0\to A\;\xrightarrow {\ f\ } \;B\;\xrightarrow {\ g\ } \;C\to 0,}$以下の条件は同等です。

• 射t  : B → Aが存在し、t ∘ f はA上の恒等写像となる。
• g ∘ u がC上の恒等写像となるような射u : C → Bが存在する。
• B がf ( A )とu ( C )の直和となるような射u : C → Bが存在する。

非可換群の場合、分割補題は適用されず、最後の 2 つの条件間の同値性のみが与えられ、「直和」は「半直積」に置き換えられます。

どちらの場合も、そのような短い正確なシーケンスはを分割すると言えます。

蛇の補題は、 2つの正確な行を持つ可換図がどのようにより長い正確なシーケンスを生み出すかを示します。9つの補題は特別なケースです。

5つの補題は、長さが 5 の正確な行を持つ可換図式の中央の写像が同型となる条件を与えます。短い5 つの補題は、短い正確なシーケンスに適用されるその特別なケースです。

短完全列の重要性は、すべての完全列が複数の重なり合った短完全列を「織り合わせる」ことによって生じるという事実によって強調される。例えば、次の完全列を考えてみよう。

${\displaystyle A_{1}\to A_{2}\to A_{3}\to A_{4}\to A_{5}\to A_{6}}$

これは、カテゴリ C _kに次のようなオブジェクトが存在することを意味する。

${\displaystyle C_{k}\cong \ker(A_{k}\to A_{k+1})\cong \operatorname {im} (A_{k-1}\to A_{k})}$。

さらに、各射のコカーネルが存在し、シーケンス内の次の射の像と同型であると仮定します。

${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})}$

(これは、アーベル群などの任意のアーベルカテゴリを含む多くの興味深いカテゴリに当てはまりますが、正確なシーケンスを許容するすべてのカテゴリに当てはまるわけではなく、特に、c​​oker( f ) : G → H が H /im( f ) ではなく、H を im( f ) の共役閉包で割ったものであるグループのカテゴリには当てはまりません。)すると、すべての対角線が短い正確なシーケンスである可換図が得られます。 ${\displaystyle H/{\left\langle \operatorname {im} f\right\rangle }^{H}}$

この図でコカーネル条件に依存する部分は、オブジェクトと最後の射のペアだけです。が正確であるようなオブジェクトと射が存在する場合、 の正確さが保証されます。 再び群のカテゴリの例を取ると、im( f ) がH上の準同型の核であるという事実は、それが正規部分群であることを意味し、これはその共役閉包と一致します。したがって、coker( f ) は次の射の 像H /im( f ) と同型です。${\textstyle C_{7}}$${\textstyle A_{6}\to C_{7}\to 0}$${\displaystyle A_{k+1}}$${\displaystyle A_{k}\to A_{k+1}}$${\displaystyle A_{k-1}\to A_{k}\to A_{k+1}}$${\displaystyle 0\to C_{k}\to A_{k}\to C_{k+1}\to 0}$

逆に、重なり合う短い完全シーケンスのリストが与えられた場合、その中間の項は同様に完全シーケンスを形成します。

アーベル圏の理論では、短い完全列は、部分オブジェクトと因子オブジェクトについて話すための便利な言語としてよく使用されます。

拡張問題は、本質的には「短い完全数列の終項AとCが与えられた場合、中間項Bにはどのような可能性があるか」という質問です。グループのカテゴリでは、これは、どのグループB がA を正規部分群として、C を対応する因子グループとして持つかという質問に相当します。この問題は、グループの分類において重要です。外部自己同型群も参照してください。

正確なシーケンスでは、合成f _{i +1} ∘ f _{i は}A _{i を}A _{i +2}の 0にマッピングするため、すべての正確なシーケンスはチェーン複体であることに注意してください。さらに、A _iの要素のf _i像のみがf _{i +1}によって 0 にマッピングされるため、このチェーン複体のホモロジーは自明です。より簡潔に言うと、

正確なシーケンスは、まさに非環式であるチェーン複合体です。

したがって、任意の鎖複合体について、その相同性は、それが正確でない程度の尺度として考えることができます。

連鎖複体によってリンクされた一連の短完全列（つまり、連鎖複体の短完全列、または別の観点からは、短完全列の連鎖複体）を取ると、ジグザグ補題を適用して、ホモロジー上の長完全列（つまり、自然数でインデックス付けされた完全列）を導くことができます。これは、相対ホモロジーの研究における代数的位相幾何学で取り上げられます。マイヤー–ヴィエトリス列は別の例です。短完全列によって誘導される長完全列は、導来関手の特徴でもあります。

正確な関数は、正確なシーケンスを正確なシーケンスに変換する 関数です。

引用

出典

• スパニエ、エドウィン・ヘンリー（1995年）。代数的位相幾何学。ベルリン：シュプリンガー。p.179。ISBN 0-387-94426-5。
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995年）。可換代数：代数幾何学への視点から。シュプリンガー・フェアラーク・ニューヨーク。p.785。ISBN 0-387-94269-6。