超空間

超空間は、超対称性を示す理論の座標空間です。このような定式化では、通常の空間次元x、y、z 、... に加えて、座標が実数ではなくグラスマン数でラベル付けされた「反交換」次元もあります。通常の空間次元はボソンの自由度に対応し、反交換次元はフェルミオンの自由度に対応します。

「超空間」という言葉は、ジョン・ホイーラーが一般相対性理論の配置空間を説明するために、無関係の意味で初めて使用しました。たとえば、この用法は彼の 1973 年の教科書『重力』で見ることができます。

数学や物理学の文献では、超空間の類似した（しかし同等ではない）定義がいくつか使われており、現在も使われている。そのような用法の 1 つは、超ミンコフスキー空間の同義語として用いることである。^[1]この場合、通常のミンコフスキー空間を取り、それを反可換フェルミオン自由度で拡張し、ローレンツ群に関連付けられたクリフォード代数からの反可換ワイルスピノルとする。同様に、超ミンコフスキー空間は、超ポアンカレ代数をローレンツ群の代数で法として割った商として理解できる。そのような空間上の座標の典型的な表記は であり、上線は超ミンコフスキー空間が意図された空間であることを示すものである。 ${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

超空間は、超ベクトル空間の同義語としてもよく使用されます。これは、グラスマン代数から取得された追加の座標、つまりグラスマン数である座標方向を備えた通常のベクトル空間と見なされます。使用されている超ベクトル空間を構築するためのいくつかの規則があり、そのうちの2つはRogers ^{[2]とDeWitt [3]}によって説明されています。

「超空間」という用語の 3 番目の用法は、超多様体の同義語、つまり多様体の超対称一般化としての使用です。超ミンコフスキー空間と超ベクトル空間の両方が、超多様体の特殊なケースとして考えることができることに注意してください。

4 番目で、完全に無関係な意味は、一般相対性理論で短期間使用されましたが、これについては下部で詳しく説明します。

以下にいくつかの例を示します。最初のいくつかは、超空間の定義を超ベクトル空間と仮定しています。これはR ^{m | n}と表され、R ^{m を}偶数部分空間、R ^{n を}奇数部分空間とするZ ₂次ベクトル空間です。同じ定義がC ^m|nにも適用されます。

4 次元の例では、超空間を超ミンコフスキー空間としています。ベクトル空間に似ていますが、これには多くの重要な違いがあります。まず、これはアフィン空間であり、原点を表す特別な点はありません。次に、フェルミオン座標は、グラスマン数ではなく、クリフォード代数の反可換ワイルスピノルであるとされています。ここでの違いは、クリフォード代数はグラスマン数よりもかなり豊かで微妙な構造を持っていることです。したがって、グラスマン数は外代数の要素であり、クリフォード代数は外代数と同型ですが、スピン表現を構成するために使用される直交群およびスピン群との関係により、深い幾何学的重要性が与えられています。(たとえば、スピン群はリーマン幾何学の研究の通常の一部を形成しますが、^[4]通常の物理学の範囲や関心事からはまったく外れています。)

最小の超空間は、ボゾン方向もフェルミオン方向も含まない点である。他の自明な例としては、n次元実平面R ^{n が}ある。これは、n実ボゾン方向に拡張され、フェルミオン方向には拡張されないベクトル空間である。ベクトル空間R ^0|nは、n次元実グラスマン代数である。1 つの偶数方向と 1 つの奇数方向の空間R ^{1|1は、1873 年に}ウィリアム クリフォードによって導入された双対数空間として知られている。

N 個の 超電荷を持つ超対称量子力学は、多くの場合、超空間R ^{1|2 N}で定式化されます。超空間には、時間と同一視される1 つの実方向tと、 Θ _iと Θ ^* _iで張られるN 個の複素グラスマン方向が含まれます。ここで、i は1 からNまでです。

特別なケースN  = 1 について考えてみましょう。超空間R ^1|2は 3 次元ベクトル空間です。したがって、与えられた座標は、3 つの ( t、 Θ 、 Θ ^* ) として記述できます。座標は、tの段階的次数が偶数で、 Θ と Θ ^{*の段階的次数が奇数である}リー超代数を形成します。これは、このベクトル空間の任意の 2 つの要素の間に括弧を定義でき、この括弧は2 つの偶座標と 1 つの偶数と 1 つの奇数座標の交換子に簡約され、2 つの奇数座標では反交換子になることを意味します。この超空間はアーベル リー超代数であり、前述の括弧がすべて消えることを意味します。

${\displaystyle \left[t,t\right]=\left[t,\theta \right]=\left[t,\theta ^{*}\right]=\left\{\theta ,\theta \right\}=\left\{\theta ,\theta ^{*}\right\}=\left\{\theta ^{*},\theta ^{*}\right\}=0}$

ここで はaとbの交換子であり、はaとbの反交換子です。 ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \{a,b\}}$

このベクトル空間からそれ自身への関数を定義することができ、これは超場と呼ばれる。上記の代数関係は、超場をΘ と Θ ^*の冪級数として展開すると、 Θ ²  = Θ ^*2 = 0であるため、0 次と 1 次項のみが得られることを意味している。したがって、超場は、 2 つのグラスマン座標の 0 次と 1 次項を乗じた t の任意の関数として表すことができる。

${\displaystyle \Phi \left(t,\Theta ,\Theta ^{*}\right)=\phi (t)+\Theta \Psi (t)-\Theta ^{*}\Phi ^{*}(t)+\Theta \Theta ^{*}F(t)}$

超場は超空間の超対称性の表現であり、ボソン空間の回転群の表現である テンソルの概念を一般化します。

次にグラスマン方向の微分を定義する。これは超場の展開における第1次項をゼロ次項に取り、ゼロ次項を消滅させるものである。微分が反交換関係を満たすように符号規則を選択することができる。

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}\,,\Theta \right\}=\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}\,,\Theta ^{*}\right\}=1}$

これらの誘導体はスーパーチャージに組み立てられる可能性がある

${\displaystyle Q={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\Theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad Q^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}+i\Theta {\frac {\partial }{\partial t}}}$

その反交換子はそれらを超対称代数 のフェルミオン生成子として識別する

${\displaystyle \left\{Q,Q^{\dagger }\,\right\}=2i{\frac {\partial }{\partial t}}}$

ここで、i倍の時間微分は量子力学におけるハミルトニアン演算子である。Q とその随伴項は、互いに反交換する。超場 Φ の超対称性パラメータεによる超対称性変化は、次のように定義される。

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\Phi =(\epsilon ^{*}Q+\epsilon Q^{\dagger })\Phi .}$

この変化は、超場に対する Qの作用を使って評価できる。

${\displaystyle \left[Q,\Phi \right]=\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\,-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\Phi =\psi +\theta ^{*}\left(F-i{\dot {\phi }}\right)+i\theta \theta ^{*}{\dot {\psi }}.}$

同様に超空間上の 共変微分を定義することもできる。

${\displaystyle D={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad D^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}}$

これは超電荷と反交換し、間違った符号の超対称性代数を満たす。

${\displaystyle \left\{D,D^{\dagger }\right\}=-2i{\frac {\partial }{\partial t}}}$。

共変微分が超電荷と反交換するという事実は、超場の共変微分の超対称変換が、同じ超場の同じ超対称変換の共変微分に等しいことを意味します。したがって、テンソルからテンソルを構築するボゾン幾何学の共変微分を一般化すると、超空間共変微分は超場から超場を構築します。

物理学においておそらく最も研究されている具体的な超空間は、超ミンコフスキー空間、または と表記されることもある空間であり、これは4つの実ボゾン次元と4つの実グラスマン次元（フェルミオン次元またはスピン次元とも呼ばれる）の直和である。 ^[5]${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3|4}}$

超対称 量子場理論では、超対称代数と呼ばれるリー超代数の表現を提供する超空間に関心があります。超対称代数のボゾン部分はポアンカレ代数であり、フェルミオン部分はグラスマン数値成分を持つ スピノルを使用して構築されます。

このため、物理的応用では、超対称性代数の 4 つのフェルミオン方向への作用を考慮し、それらがポアンカレ部分代数の下でスピノルとして変換されるようにします。 4 次元には、3 つの異なる既約な 4 成分スピノルがあります。マヨラナ スピノル、左手ワイル スピノル、および右手ワイル スピノルです。CPT 定理は、ユニタリ、ポアンカレ不変理論 ( S 行列がユニタリ行列であり、同じポアンカレ生成子が漸近的な入力状態と出力状態に作用する理論)では、超対称性代数には左手と右手のワイル スピノルが同数含まれている必要があることを意味します。 ただし、各ワイル スピノルは 4 つの成分を持つため、ワイル スピノルを含めると 8 つのフェルミオン方向が必要になります。このような理論は拡張された超対称性を持つと言われ、そのようなモデルは多くの注目を集めています。たとえば、8つの超電荷と基本物質を持つ超対称ゲージ理論は、ネイサン・ザイバーグとエドワード・ウィッテンによって解決されました。ザイバーグ–ウィッテンゲージ理論を参照してください。ただし、このサブセクションでは4つのフェルミオン成分を持つ超空間を検討しているため、ワイルスピノルはCPT定理と一致しません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4}}$

注: 使用されている記号規則は多数あり、これはそのうちの 1 つにすぎません。

したがって、4つのフェルミオン方向はマヨラナスピノルとして変換されます。共役スピノルを形成することもできます。 ${\displaystyle \theta _{\alpha }}$

${\displaystyle {\bar {\theta }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ i\theta ^{\dagger }\gamma ^{0}=-\theta ^{\perp }C}$

ここで、は電荷共役行列であり、ガンマ行列を共役する場合、ガンマ行列は否定され転置されるという特性によって定義されます。最初の等式は の定義であり、2 番目の等式はマヨラナ スピノル条件 の結果です。共役スピノルは、 超空間 におけるの役割と同様の役割を果たしますが、上記の式で示されるマヨラナ条件により、 と は独立ではないことが課せられる点が異なります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\bar {\theta }}}$${\displaystyle \theta ^{*}=i\gamma _{0}C\theta }$${\displaystyle \theta ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1|2}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ^{*}}$

特に、過給機を構築するには

${\displaystyle Q=-{\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta }}}}+\gamma ^{\mu }\theta \partial _{\mu }}$

超対称性代数を満たす

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},Q\right\}C=2\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }C=-2i\gamma ^{\mu }P_{\mu }C}$

ここで、 は4 次運動量演算子です。共変微分は、スーパーチャージと同様に定義されますが、2 番目の項は否定され、スーパーチャージと反交換します。したがって、スーパー多重項の共変微分は、別のスーパー多重項です。 ${\displaystyle P=i\partial _{\mu }}$

を持つスーパーチャージのセットを持つことは可能ですが、これは のすべての値に対して可能というわけではありません。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle Q^{I}}$${\displaystyle I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

これらの超電荷は合計スピン次元の並進運動を生成し、それによって超空間を形成します。 ${\displaystyle 4{\mathcal {N}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}}$

「超空間」という言葉は、ミスナー、ソーン、ホイーラーの共著『重力』という本では、まったく異なる無関係な意味でも使われている。そこでは、一般相対性理論の配置空間、特に重力を幾何学力学とみなす考え方、つまり一般相対性理論を動的幾何学の一形態として解釈する考え方を指している。現代の用語では、この「超空間」という特定の概念は、数値シミュレーションなど、理論的および実際的なさまざまな設定でアインシュタイン方程式を解く際に使用されるいくつかの異なる形式主義の 1 つに表現されている。これには主にADM 形式主義、およびハミルトン・ヤコビ・アインシュタイン方程式とホイーラー・デウィット方程式を取り巻く概念が含まれる。

• カイラル超空間
• 調和超空間
• 射影的超空間
• 超ミンコフスキー空間
• スーパーグループ
• リー超代数

• Duplij, Steven [ウクライナ語] ; Siegel , Warren; Bagger, Jonathan 編 (2005)、数学と物理学における超対称性と非可換構造の簡潔百科事典、ベルリン、ニューヨーク: Springer、ISBN 978-1-4020-1338-6（第2刷）