4ベクトル

特殊相対性理論において、4元ベクトル（または4元ベクトル、ローレンツベクトルと呼ばれることもある）^[1]は、ローレンツ変換によって特定の方法で変換される4つの成分を持つオブジェクトです。具体的には、4元ベクトルは、ローレンツ群の標準表現の表現空間として考えられる4次元ベクトル空間の要素であり、（⁠1/2⁠、⁠1/2⁠ ）表現。ユークリッドベクトルとは大きさの決定方法が異なります。この大きさを保存する変換はローレンツ変換であり、これには空間回転とブースト（一定速度による別の慣性基準フレームへの変更）が含まれます。^{[2] ：ch1}

4元ベクトルは、例えば、ミンコフスキー空間としてモデル化された時空内の位置x ^μ、粒子の4元運動量p ^μ 、時空内の点xにおける電磁気的 4元ポテンシャルA ^μ ( x )の振幅、およびディラック代数内のガンマ行列によって張られる部分空間の要素を記述します。

ローレンツ群は4×4行列Λで表現できる。ローレンツ変換の作用は、慣性系に関する直交座標を持つ列ベクトルとしてみなされる一般反変4元ベクトルX（上の例のような）に対して次のように与えられる。

$${\displaystyle X'=\Lambda X,}$$

（行列乗算）ここでプライムオブジェクトの成分は新しいフレームを参照します。反変ベクトルとして与えられた上記の例に関連して、対応する共変ベクトル x _μ、p _μ、およびA _μ ( x )もあります。これらは規則に従って変換されます。

$${\displaystyle X'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\textrm {T}}X,}$$

ここで、^{T は}行列の転置を表します。この規則は上記の規則とは異なります。これは、標準表現の双対表現に対応します。ただし、ローレンツ群の場合、任意の表現の双対は元の表現と同等です。したがって、共変インデックスを持つオブジェクトも 4 ベクトルです。

特殊相対論における、 4元ベクトルではない、行儀のよい4成分オブジェクトの例は、ビスピノルを参照してください。これは同様に定義されますが、違いは、ローレンツ変換による変換規則が標準表現以外の表現で与えられることです。この場合、規則はX ′ = Π(Λ) Xとなり、Π(Λ)はΛ以外の4×4行列です。同様のことが、ローレンツ変換による行儀のよい、より少ないまたはより多い成分を持つオブジェクトにも当てはまります。これらには、スカラー、スピノル、テンソル、スピノルテンソルが含まれます。

この記事では、特殊相対性理論の文脈で 4 次元ベクトルについて考察します。4 次元ベクトルの概念は一般相対性理論にも適用されますが、この記事で述べられている結果の一部は一般相対性理論の修正を必要とします。

この記事の表記法は、 3 次元ベクトルの場合は小文字の太字、3 次元単位ベクトルの場合はハット、 4 次元ベクトルの場合は大文字の太字(4 次元勾配を除く)、テンソル インデックス表記です。

4ベクトル Aは「時間的」成分と3つの「空間的」成分を持つベクトルであり、さまざまな同等の表記法で書くことができる。^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right )\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{ i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\end{aligned}}}$$

ここで、A ^αは大きさの成分、E _{α は}基底ベクトルの成分です。ベクトルを作成するには両方とも必要であり、A ^αが単独で見られる場合、それは厳密にベクトルの 成分を指すことに注意してください。

上の添え字は反変成分を示します。ここで、標準的な規則では、ラテン添え字は空間成分の値を取るのでi = 1, 2, 3 となり、ギリシャ添え字は空間成分と時間成分の値を取るのでα = 0, 1, 2, 3 となり、合計規則で使用されます。時間成分と空間成分の分割は、1 つの 4 元ベクトルと他のテンソル量の縮約を決定するときに役立ちます。たとえば、内積のローレンツ不変量を計算する場合 (以下に例を示します)、または添え字を上げ下げする場合などです。

特殊相対論では、空間的基底E ₁、E ₂、E ₃と成分A ¹、A ²、A ^{3は、多くの場合、}直交座標の基底と成分です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z}\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$$

もちろん、球面極座標などの他の基底や成分も使用できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{\phi }\right)\ \&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{\phi }\mathbf {E} _{\phi }\\\end{aligned}}}$$

または円筒極座標、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{z})\\&=A_{ t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{整列}}}$$

または他の直交座標、あるいは一般曲線座標でもかまいません。座標ラベルは常にラベルとして添え字が付けられ、数値を取るインデックスではないことに注意してください。一般相対性理論では、局所基底の局所曲線座標を使用する必要があります。幾何学的には、4 次元ベクトルは矢印として解釈できますが、それは空間内ではなく時空間内です。相対性理論では、矢印はミンコフスキー図(時空図とも呼ばれる) の一部として描画されます。この記事では、4 次元ベクトルを単にベクトルと呼びます。

基底を列ベクトルで表すのも慣例です。

$${\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$

となることによって：

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

共変座標と反変座標の関係は、ミンコフスキー 計量テンソル(計量と呼ばれる) ηを介して表され、次のように インデックスを上げたり下げたりします。

$${\displaystyle A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\,,}$$

さまざまな同等の表記法では、共変成分は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{aligned}}}$$

ここで、下がったインデックスは共変であることを示します。直交座標の場合のように、多くの場合、計量は対角ですが(線要素を参照)、一般の曲線座標ではそうではありません。

基底は行ベクトルで表すことができます。

$${\displaystyle \mathbf {E} ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$ となることによって： $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}}$$

上記の規則の理由は、内積がスカラーであることです。詳細については以下を参照してください。

2つの慣性または回転参照フレームが与えられた場合、4元ベクトルはローレンツ変換行列 Λに従って変換される量として定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} }$$

インデックス表記では、反変成分と共変成分はそれぞれ次のように変換されます。 ここで、行列Λは行μと列 νに 成分Λ ^μ _νを持ち、行列( Λ ⁻¹ ) ^Tは行μと列 νに 成分Λ _μ ^{ν を}持ちます。 $${\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }A^{\nu }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }}$$

この変換定義の性質に関する背景については、テンソルを参照してください。すべての 4 次元ベクトルは同じように変換され、これは 4 次元の相対論的テンソルに一般化できます。特殊相対論を参照してください。

単位ベクトルによって定義された軸を中心に固定角度θで回転した2つのフレームの場合:

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3}\right)\,,}$$

ブーストがない場合、行列Λの成分は次のように表される: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=1\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=0\\\Lambda _{ij}&=\left(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\right)\cos \theta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin \theta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\end{aligned}}}$$

ここで、δ _ijはクロネッカーのデルタ、ε _{ijk は}3次元の レヴィ・チヴィタ記号です。4次元ベクトルの空間的成分は回転しますが、時間的成分は変化しません。

z軸のみの回転の場合、ローレンツ行列の空間部分はz軸を中心とした回転行列に簡約されます。

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .}$$

一定の相対 3 速度v (4 速度ではありません。下記参照) で移動する 2 つのフレームの場合、相対速度をcの単位で次のように表して定義すると便利です。

$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.}$$

回転がない場合、行列Λは次式で与えられる成分を持つ: ^[5] ここでローレンツ因子は次式で定義され 、δ _{ij は}クロネッカーのデルタである。純粋な回転の場合とは異なり、ブースト下では空間的成分と時間的成分が混合される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}=\Lambda _{ji}&=(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\frac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,}$$

x方向のみのブーストの場合、行列は次のように簡約される。^{[6] [7]}

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

ラピディティϕの表現は 双曲関数で表されます。 $${\displaystyle \gamma =\cosh \phi }$$

このローレンツ行列は、ブーストが4 次元時空における双曲回転であることを示しています。これは、上記の 3 次元空間における円回転に類似しています。

4元ベクトルは、 3次元のユークリッドベクトルと同じ線形特性を持ちます。これらは通常のエントリワイズ方式で加算できます。 同様に、スカラーλによるスカラー乗算はエントリワイズで次のように定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)=\left(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3}\right)}$$ $${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda \left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left(\lambda A^{0},\lambda A^{1},\lambda A^{2},\lambda A^{3}\right)}$$

減算は加算の逆演算であり、次のように定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} +(-1)\mathbf {B} =\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+(-1)\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)=\left(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3}\right)}$$

ミンコフスキーテンソル η _{μν を}2つの4元ベクトルAとBに適用し、その結果をドット積表記で書くと、アインシュタイン表記を使用して次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }B^{\nu }\mathbf {E} _{\mu }\cdot \mathbf {E} _{\nu }=A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$$

特殊相対論では、基底ベクトルのドット積はミンコフスキー計量であり、ユークリッド空間のクロネッカー デルタとは対照的です。定義を行列形式で書き直すと便利です。 この場合、上記のη _{μν は}、正方行列としてのミンコフスキー計量のμ行ν列の要素です。ミンコフスキー計量はユークリッド計量ではありません。不定値であるためです (計量シグネチャ を参照)。計量テンソルはAまたはBの成分を上げたり下げたりできるため、他のいくつかの式を使用できます。 Aの反変/共変成分とBの共変/反変成分については、次のようになります。したがって、 行列表記では次のように なります 。一方、共変成分のAとB については、次のようになります。 上記と同様の行列式で。 $${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\eta _{00}&\eta _{01}&\eta _{02}&\eta _{03}\\\eta _{10}&\eta _{11}&\eta _{12}&\eta _{13}\\\eta _{20}&\eta _{21}&\eta _{22}&\eta _{23}\\\eta _{30}&\eta _{31}&\eta _{32}&\eta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }}$$$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{\mu }\eta ^{\mu \nu }B_{\nu }}$$

ミンコフスキー テンソルを 4 元ベクトルAとそれ自身に適用すると、次の式が得られます。 これは、場合によっては、ベクトルの長さの 2 乗またはその負の値と見なすことができます。 $${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }}$$

標準基底(基本的には直交座標)における計量テンソルの一般的な選択肢を 2 つ示します。直交座標を使用する場合、計量の空間的部分の対角部分に沿ってスケール係数が存在することになりますが、一般曲線座標の場合、計量の空間的部分全体に、使用される曲線基底に依存するコンポーネントが存在することになります。

(+−−−)メトリックシグネチャでは、インデックスの合計を評価すると次のようになります。 一方、行列形式では次が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}}$$$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$$

特殊相対論では、 ある基準系で次の式を取ることが繰り返し登場します 。ここで、 C はこの基準系での内積の値です。また、 別の基準系では、この基準系での内積の値C ′ です。内積は不変なので、これらは等しくなければなりません。 つまり、 $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}=C}$$$${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}=C'}$$$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '}$$$${\displaystyle C=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}}$$

相対性理論における物理量は 4 元ベクトルであることを考慮すると、この式は「保存則」のように見えるが、「保存」は含まれていない。ミンコフスキー内積の主な意義は、任意の 2 つの 4 元ベクトルについて、その値がすべての観測者に対して不変であるということであり、座標を変更しても内積の値は変化しない。4 元ベクトルの成分はフレームごとに変化する。AとA ′はローレンツ変換によって接続され、BとB ′ も同様であるが、内積はすべてのフレームで同じである。それでも、このタイプの式は、成分の大きさをローレンツ変換を明示的に実行せずに決定できるため、保存則と同等に相対論的計算で利用される。具体的な例としては、4 元運動量ベクトルから導出されるエネルギーと運動量の関係におけるエネルギーと運動量が挙げられる(以下も参照)。

この署名には次の内容が含まれています。 $${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}}$$

符号(+−−−)を用いて、4次元ベクトルは、の場合は空間的ベクトル、の場合は時間的ベクトル、の場合はヌルベクトルに分類できます。 ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}$

一部の著者はη を反対の符号で定義しており、その場合は (−+++) メトリック署名を持ちます。この署名で合計を評価すると、次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}}$$

行列形式は次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =\left({\begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{matrix}}\right)}$$

この場合、1 つのフレームで次の点に注意してください。

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-C}$$

一方、別の例では:

$${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}=-C'}$$

となることによって：

$${\displaystyle -C=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}}$$

これは、 AとBに関して、Cの上記の式と同等です。どちらの規則でも機能します。上記の 2 つの方法で定義されたミンコフスキー計量では、共変と反変の 4 ベクトル成分の唯一の違いは符号であるため、符号はどの符号規則が使用されているかによって異なります。

我々は持っています：

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =-\left(A^{0}\right)^{2}+\left(A^{1}\right)^{2}+\left(A^{2}\right)^{2}+\left(A^{3}\right)^{2}}$$

署名(−+++)により、4次元ベクトルは、の場合は空間的、の場合は時間的、の場合はヌルとして分類できます。 ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}$

ミンコフスキー テンソルの適用は、多くの場合、 1 つのベクトルの双対ベクトルが他のベクトルに与える影響として表現されます。

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =A^{*}(\mathbf {B} )=A{_{\nu }}B^{\nu }.}$$

ここで、A _νは、双対基底におけるAの双対ベクトルA *の成分であり、Aの共変座標と呼ばれ、元のA ^ν成分は反変座標と呼ばれます。

特殊相対論（一般相対論ではない）では、スカラーλ （不変）に関する 4 次元ベクトルの微分は、それ自体が 4 次元ベクトルである。4次元ベクトルの微分d Aをとり、それをスカラーの微分dλで割ることも有用である。

$${\displaystyle {\underset {\text{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset {\text{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset {\text{differential}}{d\lambda }}}$$

ここで反変成分は次の通りです。

$${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3}\right)}$$

共変成分は次のようになります。

$${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3}\right)}$$

相対論的力学では、4 次元ベクトルの微分をとり、固有時間の微分で割ることがよくあります(下記参照)。

ミンコフスキー空間内の点は、時間と空間の位置であり、「イベント」、または位置 4 ベクトル、4 位置、または4 位置と呼ばれることもあります。これは、4 つの座標のセットによって何らかの参照フレームで記述されます。

$${\displaystyle \mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} \right)}$$

ここで、r は3次元空間の 位置ベクトルです。r が同じフレーム内の座標時間 t の関数である場合、つまりr = r ( t )である場合、これはtが変化するときの一連のイベントに対応します。定義R ⁰ = ctは、すべての座標が同じ次元(長さ) と単位 ( SIではメートル) を持つことを保証します。^{[8] [9] [10] [11]}これらの座標は、イベントの 位置4ベクトルの要素です。

変位4 ベクトルは、 2 つのイベントをリンクする「矢印」として定義されます。

$${\displaystyle \Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} \right)}$$

世界線上の微分4位置については、ノルム表記法を使用して次のように表すことができます。

$${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}\,,}$$

微分線要素d sと微分固有時間増分 d τ を定義しますが、この「ノルム」は次のようになります。

$${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,}$$

となることによって：

$${\displaystyle (cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.}$$

物理現象を考えるとき、微分方程式が自然に生じます。しかし、関数の空間および時間の微分を考えるとき、これらの微分がどの基準フレームに関して取られるかは不明です。時間微分は固有時間 に関して取られることが合意されています。固有時間は不変量であるため、任意の 4 次元ベクトルの固有時間微分はそれ自体が 4 次元ベクトルであることが保証されます。次に、この固有時間微分と別の時間微分との関係を見つけることが重要です (慣性基準フレームの座標時間tを使用)。この関係は、上記の微分不変時空間隔を取り、( cdt ) ²で割って次の値を得ること によって得られます。${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \left({\frac {cd\tau }{cdt}}\right)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\right)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,}$$

ここで、u = d r / dt は、座標x、y、z、座標時間tと同じフレームで測定された物体の座標 3-速度であり、

$${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$

はローレンツ因子です。これは座標時間と固有時間の微分の間の便利な関係を提供します。

$${\displaystyle dt=\gamma (\mathbf {u} )d\tau \,.}$$

この関係はローレンツ変換における時間変換からも見ることができます。

この微分を適用することで、相対性理論における重要な 4 元ベクトルを定義できます。 ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

偏微分は線形演算子であることを考慮すると、偏時間微分∂ / ∂ tと空間勾配∇ から4 次勾配を形成できます。標準基底を使用すると、インデックス表記と省略表記では、反変成分は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\right)\\&=(\partial ^{0},\,-\partial ^{1},\,-\partial ^{2},\,-\partial ^{3})\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{1}\partial ^{1}-\mathbf {E} _{2}\partial ^{2}-\mathbf {E} _{3}\partial ^{3}\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{i}\partial ^{i}\\&=\mathbf {E} _{\alpha }\partial ^{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,-\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\\&=\mathbf {E} _{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\nabla \\\end{aligned}}}$$

基底ベクトルが成分の前に置かれていることに注意してください。これは、基底ベクトルの導関数を取ることと、単に偏導関数がこの 4 ベクトルの成分であることを示すことの混乱を防ぐためです。共変成分は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {E} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {E} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {E} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\nabla \right)\\&=\mathbf {E} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla \\\end{aligned}}}$$

これは演算子なので、「長さ」はありませんが、演算子とそれ自身の内積を評価すると、別の演算子が得られます。

$${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\frac {{\partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}-\nabla ^{2}}$$

ダランベール演算子と呼ばれる。

粒子の 4 元速度は次のように定義され ます。

$${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} \right),}$$

幾何学的には、U は粒子の世界線に接する正規化されたベクトルです。4 次元位置の微分を使用して、4 次元速度の大きさを得ることができます。

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX_{\mu }}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\,,}$$

つまり、あらゆる物体の4元速度の大きさは常に一定の定数です。

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}}$$

標準は次のとおりです。

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$

となることによって：

$${\displaystyle c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$

これはローレンツ因子の定義に帰着します。

四元速度の単位は、SIでは m/s、幾何化単位系では 1です。四元速度は反変ベクトルです。

4 加速度は次のように表されます。

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right).}$$

ここで、a = d u / dtは座標 3 次元加速度です。U の大きさは定数なので、 4 次元加速度は 4 次元速度に直交します。つまり、4 次元加速度と 4 次元速度のミンコフスキー内積はゼロです。

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d\tau }}\left(U^{\mu }U_{\mu }\right)=0\,}$$

これはすべての世界線に当てはまります。4 次元加速度の幾何学的な意味は、ミンコフスキー空間における世界線の 曲率ベクトルです。

静止質量（または不変質量）m _{0 の}質量を持つ粒子の場合、四元運動量は次のように表されます。

$${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}$$

ここで、運動する粒子の全エネルギーは次のようになります。

$${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2}}$$

そして相対論的運動量全体は次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }$$

4 元運動量の内積を自身ととると、次のようになります。

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}}$$

そしてまた:

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$$

これによってエネルギーと運動量の関係が導かれます。

$${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$$

この最後の関係は相対論的力学に役立ち、相対論的量子力学と相対論的量子場理論に不可欠であり、いずれも素粒子物理学に応用されています。

粒子に作用する4 元力は、ニュートンの運動の第 2 法則における 3 元運動量の時間微分としての 3 元力と同様に定義されます。

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {P}{c}},\mathbf {f} \right)}$$

ここでPは粒子を動かすために伝達される力であり、fは粒子に作用する3次力である。一定不変質量m ₀の粒子の場合、これは次式に等しい。

$${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right)\right)}$$

4 元力から導かれる不変量は次のとおりです。

$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0}$$

上記の結果から。

4次元熱流束ベクトル場は、流体の局所座標系における3次元熱流束ベクトル場qと本質的に類似している。 ^[12]

$${\displaystyle \mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}},\nabla T\right)}$$

ここで、Tは絶対温度、k は熱伝導率です。

重粒子のフラックスは^[13] で表され、 ここでnは重粒子流体の局所静止系における重粒子の数密度（重粒子の場合は正の値、反重粒子の場合は負の値）、Uは上記と同じ4元速度場（流体の）である。 $${\displaystyle \mathbf {S} =n\mathbf {U} }$$

4エントロピーベクトルは次のように定義される: ^[14] ここでsはバリオンあたりのエントロピー、Tは流体の局所静止系における絶対温度である。 ^[15]$${\displaystyle \mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}}$$

電磁気学における 4 ベクトルの例には次のものがあります。

電磁4元電流（より正確には4元電流密度）^[16]は、電流密度jと電荷密度ρ から形成されることで定義されます 。 $${\displaystyle \mathbf {J} =\left(\rho c,\mathbf {j} \right)}$$

定義される電磁4元ポテンシャル（より正確には4元EMベクトルポテンシャル）は、 ベクトルポテンシャルaとスカラーポテンシャルϕ から形成されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} \right)}$$