外積代数の要素
多重線型代数 において 、 多重ベクトルは クリフォード数 または マルチター とも呼ばれ 、 [1] ベクトル空間 V の 外積代数 Λ( V ) の元である 。この代数は 次数付き 、 結合的 、 交代的で あり、次の形式の 単純な k ベクトル [2] （ 分解可能な k ベクトル [3] または k ブレード とも呼ばれる ）
の 線形結合で構成される。
ヴ
1
∧ ⋯ ∧
ヴ
け
、
{\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}
はV にあり ます 。
ヴ
1
、 … 、
ヴ
け
{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}
k ベクトルは、 k 次 同次な 線形結合です (すべての項は 同じ kの kブレードです)。著者によっては、「マルチベクトル」 は kベクトルか、外積代数の任意の要素 (潜在的に異なる kの値を持つ k ブレード の任意の線形結合 ) のいずれかになります。 [4]
微分幾何学 において 、 k ベクトルは接ベクトル空間 の外積のベクトルです 。つまり、 k ≥ 0 の 整数に対して、 k 個 の接ベクトル の 外積 の線形結合によって得られる反対称 テンソル です。 微分 k 形式は、接空間の 双対の外積代数の k ベクトルで あり 、接空間の外積代数の双対でもあります。
k = 0、1、2、3 の場合 、 k ベクトルはそれぞれ スカラー 、 ベクトル 、 2ベクトル 、 3 ベクトルと呼ばれることが多く、それぞれ 0形式、1形式、2形式、3形式 と双対です 。 [ 5 ] [6]
外装製品 マルチベクトルの構築に使用される外積（ウェッジ積とも呼ばれる）は、多重線型（各入力で線型）、結合性、交代性があります。つまり、 ベクトル空間 V内のベクトル u 、 v 、 w とスカラー α 、 β の場合、外積には次の特性があります。
入力の線形:
あなた
∧ （ α
ヴ
+ β
わ
） = α
あなた
∧
ヴ
+ β
あなた
∧
わ
;
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;}
連想:
（
あなた
∧
ヴ
） ∧
わ
=
あなた
∧ （
ヴ
∧
わ
） ;
{\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} );}
交互:
あなた
∧
あなた
= 0.
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.}
k ベクトルの外積 、またはそのような積の和 (単一の kの場合) は、 k 次多重ベクトル、または k ベクトルと呼ばれます。多重ベクトルの最大次数は、ベクトル空間 V の次元です 。
どちらかの入力が線形で交代性がある場合は、もう一方の入力も線形であることを意味します。外積の多重線形性により、多重ベクトルは V の基底ベクトルの外積の線形結合として表すことができます 。 V の k 個の基底ベクトル の 外積 は 、 次元 ( nk ）は n 次元ベクトル空間の外積代数である 。 [2]
面積と体積 n次元空間における k個 の別々のベクトル の外積から得られるkベクトルは、 ベクトル が張る k 平行四辺形 の投影された ( k −1) 体積を定義する成分を持つ。これら の 成分の二乗の和の平方根が k 平行四辺形の体積を定義する。 [2] [7]
次の例は、2 次元の 2 ベクトルが平行四辺形の面積を測定し、3 次元の 2 ベクトルの大きさも平行四辺形の面積を測定することを示しています。同様に、3 次元の 3 ベクトルは平行六面体の体積を測定します。
4 次元の 3 ベクトルの大きさが、これらのベクトルが張る平行六面体の体積を測定することは簡単に確認できます。
R におけるマルチベクトル 2 多重ベクトルの性質は、2次元ベクトル空間V = R 2 を考えることでわかる 。基底ベクトルを e 1 と e 2 とすると、 u と v は 次のように表される。
あなた
=
あなた
1
e
1
+
あなた
2
e
2
、
ヴ
=
ヴ
1
e
1
+
ヴ
2
e
2
、
{\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\ mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}
そして、多重ベクトル u ∧ v （バイベクトルとも呼ばれる）は次のように計算される。
あなた
∧
ヴ
=
|
あなた
1
ヴ
1
あなた
2
ヴ
2
|
（
e
1
∧
e
2
） 。
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ ( \mathbf {e} _{1}\ウェッジ \mathbf {e} _{2})。}
縦棒は行列の行列式を表します。これはベクトル u と vが張る平行四辺形の面積です。 u ∧ v の大きさがこの平行四辺形の面積です。 V は次元が 2 なので、基底二重ベクトル e 1 ∧ e 2 が Λ V の唯一の多重ベクトルである ことに注意してください 。
マルチベクトルの大きさと、ベクトルが張る面積または体積との関係は、すべての次元において重要な特徴です。さらに、この体積を計算するマルチベクトルの線形関数バージョンは、微分形式として知られています。
R におけるマルチベクトル 3 多重ベクトルのさらなる特徴は、3次元ベクトル空間V = R 3 を考えることによって明らかになる 。この場合、基底ベクトルを e 1 、 e 2 、 e 3 とすると、 u 、 v 、 w は次のように与えられる。
あなた
=
あなた
1
e
1
+
あなた
2
e
2
+
あなた
3
e
3
、
ヴ
=
ヴ
1
e
1
+
ヴ
2
e
2
+
ヴ
3
e
3
、
わ
=
わ
1
e
1
+
わ
2
e
2
+
わ
3
e
3
、
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {v} &=v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {w} &=w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},\end{整列}}}
そして、二ベクトル u∧v は 次のように計算される
。
あなた
∧
ヴ
=
|
あなた
2
ヴ
2
あなた
3
ヴ
3
|
（
e
2
∧
e
3
）
+
|
あなた
1
ヴ
1
あなた
3
ヴ
3
|
（
e
1
∧
e
3
）
+
|
あなた
1
ヴ
1
あなた
2
ヴ
2
|
（
e
1
∧
e
2
）
。
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left (\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1} \wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1} \ウェッジ\mathbf {e} _{2}\right)。
このバイベクトルの成分は、外積の成分と同じです。このバイベクトルの大きさは、その成分の二乗の合計の平方根です。
これは、二次元ベクトル u ∧ v の大きさが、 3 次元空間 V にあるベクトル u と v が張る平行四辺形の面積であることを示しています。二次元ベクトルの成分は、3 つの座標平面のそれぞれにおける平行四辺形の投影面積です。
Vは3次元なので、 Λ V には1つの基底3次元ベクトルがある ことに注意してください 。3次元ベクトルを計算します。
あなた
∧
ヴ
∧
わ
=
|
あなた
1
ヴ
1
わ
1
あなた
2
ヴ
2
わ
2
あなた
3
ヴ
3
わ
3
|
（
e
1
∧
e
2
∧
e
3
）
。
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right).}
これは、3つのベクトル u ∧ v ∧ w の大きさが、3つのベクトルu 、 v 、 w が張る平行六面体の体積であることを示しています 。
高次元空間では、成分の 3 ベクトルは平行六面体の体積を座標 3 空間に投影したもので、3 ベクトルの大きさは高次元空間にある平行六面体の体積です。
グラスマン座標 この節では、射影空間 Pn 上 の多重ベクトルについて考察する。多重ベクトルは、 グラスマン座標 と呼ばれる点の同次座標に似た性質を持つ直線、平面、超平面の便利な座標集合を提供する 。 [8]
実射影空間 P n 内の点は、ベクトル空間R n +1 の原点を通る直線として定義されます 。たとえば、射影平面 P 2は、 R 3 の原点を通る直線の集合です。したがって、 R n +1 上で定義された多重ベクトルは、 P n 上の多重ベクトルとして見ることができます 。
P n 上の多重ベクトルを見る便利な方法は、 P n の アフィン成分 でそれを調べることです。アフィン成分とは、 R n +1 の原点を通る直線と、選択された超平面 ( H: x n +1 = 1 など) との交点です。 R 3 の原点を通る直線は、 平面 E: z = 1と交差して、 z = 0 となる点 (無限遠点と呼ばれる) のみが欠けている射影平面のアフィンバージョンを定義します 。
マルチベクトルオン ポ 2 射影平面 のアフィン成分 E: z = 1の点は、座標 x = ( x , y , 1) を持ちます。2 点 p = ( p 1 , p 2 , 1) と q = ( q 1 , q 2 , 1)の線形結合は、 p と q を結ぶ線で E と交差する R 3 の平面を定義します 。多重ベクトル p ∧ q は 、 R 3 で次式で表される
平行四辺形を定義します。
p
∧
q
=
(
p
2
−
q
2
)
(
e
2
∧
e
3
)
+
(
p
1
−
q
1
)
(
e
1
∧
e
3
)
+
(
p
1
q
2
−
q
1
p
2
)
(
e
1
∧
e
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}
pを α p + β q に 置き換えると、この多重ベクトルに定数が乗算されることに注意してください。したがって、 p ∧ q の成分は、 R 3 の原点を通る平面の同次座標です 。
p と q を 通る直線上の 点の集合 x = ( x , y , 1)は、 p ∧ q で定義される平面 と平面 E: z = 1 との交点である。これらの点は x ∧ p ∧ q = 0 を満たす 。つまり、
x
∧
p
∧
q
=
(
x
e
1
+
y
e
2
+
e
3
)
∧
(
(
p
2
−
q
2
)
(
e
2
∧
e
3
)
+
(
p
1
−
q
1
)
(
e
1
∧
e
3
)
+
(
p
1
q
2
−
q
1
p
2
)
(
e
1
∧
e
2
)
)
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\wedge {\big (}(p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}){\big )}=0,}
これは直線の方程式に簡略化される。
λ
:
x
(
p
2
−
q
2
)
+
y
(
p
1
−
q
1
)
+
(
p
1
q
2
−
q
1
p
2
)
=
0.
{\displaystyle \lambda :x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})=0.}
この式は、α と β の実数値に対して
点 x = α p + β q によって満たされます。
直線 λ を定義する p ∧ q の 3 つの成分は、直線の グラスマン座標 と呼ばれます 。3 つの同次座標は点と直線の両方を定義するため、点の幾何学は射影平面の直線の幾何学と双対であると言われています。これは 双対性の原理 と呼ばれます。
マルチベクトルオン ポ 3 3次元射影空間 P 3は R 4 の原点を通るすべての直線から構成されます 。3次元超平面 H: w = 1 を点 x = ( x , y , z , 1)で定義される射影空間のアフィン成分とします。多重ベクトル p ∧ q ∧ r は R 4 内の平行六面体を定義し、 次のように表され
ます 。
p
∧
q
∧
r
=
|
p
2
q
2
r
2
p
3
q
3
r
3
1
1
1
|
e
2
∧
e
3
∧
e
4
+
|
p
1
q
1
r
1
p
3
q
3
r
3
1
1
1
|
e
1
∧
e
3
∧
e
4
+
|
p
1
q
1
r
1
p
2
q
2
r
2
1
1
1
|
e
1
∧
e
2
∧
e
4
+
|
p
1
q
1
r
1
p
2
q
2
r
2
p
3
q
3
r
3
|
e
1
∧
e
2
∧
e
3
.
{\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} ={\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}.}
pを α p + β q + γ r に置き換えると、この多重ベクトルに定数が乗算されることに注意してください 。したがって、 p ∧ q ∧ r の成分は、 R 4 の原点を通る 3 次元空間の同次座標です 。
アフィン成分 H: w = 1の平面は、 H と p ∧ q ∧ r で定義される 3 次元空間の交差にある 点 x = ( x , y , z , 1)の集合です。これらの点は x ∧ p ∧ q ∧ r = 0 を 満たします 。つまり、
x
∧
p
∧
q
∧
r
=
(
x
e
1
+
y
e
2
+
z
e
3
+
e
4
)
∧
p
∧
q
∧
r
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =0,}
これは平面の方程式に簡略化される。
λ
:
x
|
p
2
q
2
r
2
p
3
q
3
r
3
1
1
1
|
+
y
|
p
1
q
1
r
1
p
3
q
3
r
3
1
1
1
|
+
z
|
p
1
q
1
r
1
p
2
q
2
r
2
1
1
1
|
+
|
p
1
q
1
r
1
p
2
q
2
r
2
p
3
q
3
r
3
|
=
0.
{\displaystyle \lambda :x{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+y{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+z{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}=0.}
この式は、 α 、 β 、 γ の実数値に対して、点 x = α p + β q + γ r によって満たされます 。
平面 λ を定義する p ∧ q ∧ r の 4 つの成分は、平面の グラスマン座標 と呼ばれます 。4 つの同次座標は射影空間内の点と平面の両方を定義するため、点の幾何学は平面の幾何学と双対です。
2点を結ぶ直線: 射影空間では、 2点 p と qを 通る直線 λ は、アフィン空間 H: w = 1と R 4 の 平面 x = α p + β q の交点として見ることができます。多重ベクトル p ∧ qは 直線の同次座標を提供します
。
λ
:
p
∧
q
=
(
p
1
e
1
+
p
2
e
2
+
p
3
e
3
+
e
4
)
∧
(
q
1
e
1
+
q
2
e
2
+
q
3
e
3
+
e
4
)
,
=
|
p
1
q
1
1
1
|
e
1
∧
e
4
+
|
p
2
q
2
1
1
|
e
2
∧
e
4
+
|
p
3
q
3
1
1
|
e
3
∧
e
4
+
|
p
2
q
2
p
3
q
3
|
e
2
∧
e
3
+
|
p
3
q
3
p
1
q
1
|
e
3
∧
e
1
+
|
p
1
q
1
p
2
q
2
|
e
1
∧
e
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda :\mathbf {p} \wedge \mathbf {q} &=(p_{1}\mathbf {e} _{1}+p_{2}\mathbf {e} _{2}+p_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge (q_{1}\mathbf {e} _{1}+q_{2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4}),\\&={\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\p_{3}&q_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\p_{1}&q_{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}
これらは直線の
プルッカー座標 として知られていますが、グラスマン座標の例でもあります。
2つの平面の交点としての直線： 射影空間における 直線 μは、3級多重ベクトルによって定義される2つの平面 π と ρ の交点を形成する点 x の集合として定義することもできる。したがって、点 xは 線形方程式の解である。
μ
:
x
∧
π
=
0
,
x
∧
ρ
=
0.
{\displaystyle \mu :\mathbf {x} \wedge \pi =0,\mathbf {x} \wedge \rho =0.}
直線 μのプラッカー座標を得るためには、 ホッジスター演算子 [2] を使用して多重ベクトル π と ρを それらの双対点座標にマッピングする 。
e
1
=
⋆
(
e
2
∧
e
3
∧
e
4
)
,
−
e
2
=
⋆
(
e
1
∧
e
3
∧
e
4
)
,
e
3
=
⋆
(
e
1
∧
e
2
∧
e
4
)
,
−
e
4
=
⋆
(
e
1
∧
e
2
∧
e
3
)
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\star }(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{2}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),\mathbf {e} _{3}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{4}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}),}
それから
⋆
π
=
π
1
e
1
+
π
2
e
2
+
π
3
e
3
+
π
4
e
4
,
⋆
ρ
=
ρ
1
e
1
+
ρ
2
e
2
+
ρ
3
e
3
+
ρ
4
e
4
.
{\displaystyle {\star }\pi =\pi _{1}\mathbf {e} _{1}+\pi _{2}\mathbf {e} _{2}+\pi _{3}\mathbf {e} _{3}+\pi _{4}\mathbf {e} _{4},\quad {\star }\rho =\rho _{1}\mathbf {e} _{1}+\rho _{2}\mathbf {e} _{2}+\rho _{3}\mathbf {e} _{3}+\rho _{4}\mathbf {e} _{4}.}
したがって、直線 μ のPlücker座標は次のように与えられる。
μ
:
(
⋆
π
)
∧
(
⋆
ρ
)
=
|
π
1
ρ
1
π
4
ρ
4
|
e
1
∧
e
4
+
|
π
2
ρ
2
π
4
ρ
4
|
e
2
∧
e
4
+
|
π
3
ρ
3
π
4
ρ
4
|
e
3
∧
e
4
+
|
π
2
ρ
2
π
3
ρ
3
|
e
2
∧
e
3
+
|
π
3
ρ
3
π
1
ρ
1
|
e
3
∧
e
1
+
|
π
1
ρ
1
π
2
ρ
2
|
e
1
∧
e
2
.
{\displaystyle \mu :({\star }\pi )\wedge ({\star }\rho )={\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{3}&\rho _{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{1}&\rho _{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{2}&\rho _{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.}
直線の 6 つの同次座標は 2 点の結合または 2 つの平面の交差から得られるため、その直線は射影空間において自己双対であると言われます。
クリフォード製品 WKクリフォードは、 多重ベクトルとベクトル空間上で定義された 内積 を組み合わせて、通常の複素数とハミルトンの 四元数 を含む超複素数の一般的な構成を得た。 [9] [10]
2つのベクトルu と vの 間のクリフォード積は、 外積と同様に双線型かつ結合的であり、さらに多重ベクトル uvが クリフォードの関係によって内積 u ⋅ v に結合されているという追加の特性を持つ。
u
v
+
v
u
=
2
u
⋅
v
.
{\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathbf {u} =2\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}
クリフォードの関係は、直交するベクトルに対しては反交換性を保つ。これは、 R n における互いに直交する単位ベクトル e i , i = 1, ..., n からわかる 。クリフォードの関係は、
e
i
e
j
+
e
j
e
i
=
2
e
i
⋅
e
j
=
δ
i
,
j
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{i,j},}
これは基底ベクトルが互いに反交換であることを示している。
e
i
e
j
=
−
e
j
e
i
,
i
≠
j
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i},\quad i\neq j=1,\ldots ,n.}
外積とは対照的に、ベクトルとそれ自身とのクリフォード積はゼロではない。これを確認するには、積を計算してみよう。
e
i
e
i
+
e
i
e
i
=
2
e
i
⋅
e
i
=
2
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=2,}
その結果
e
i
e
i
=
1
,
i
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=1,\quad i=1,\ldots ,n.}
クリフォード積を用いて構築された多重ベクトルの集合は、 クリフォード代数 と呼ばれる結合代数を生成する。異なる性質を持つ内積は、異なるクリフォード代数を構築するために使用できる。 [11] [12]
幾何代数 k-ブレード という用語は 、クリフォード代数から幾何微積分 （1984） [13] で使用されました。
マルチベクトルは幾何代数として知られる物理学の数学的定式化において中心的な役割を果たしている。 デイビッド・ヘステネス によれば、
[非スカラー] k ベクトルは 、0ベクトル（スカラー）とは対照的に「方向性」を持つことを強調するために、 kブレード または単に ブレードと呼ばれることもあります。 [14] 2003年に、 C. DoranとA. Lasenbyは、スカラーとベクトルの集合の外積として表される多重ベクトルを表す用語としてブレードを使用しました。ここでは、「任意の多重ベクトルはブレードの和として表すことができる」という文によって、スカラーは暗黙的に0ブレードとして定義されています。 [ 15]
幾何代数学 では、多重ベクトルは、 スカラー 、 ベクトル 、2ベクトル の和など、異なる等級の k ブレード の和として定義されます。 [16] k 等級の成分のみの和は k ベクトル [17] または 同次多重 ベクトルと呼ばれます 。 [18]
空間内の最高位の要素は 擬スカラー と呼ばれます。
与えられた要素がk 次同次である場合 、それは k ベクトルですが、必ずしも k ブレードであるとは限りません。そのような要素は、 k ベクトルの外積として表すことができる場合、 k ブレードです。4 次元ベクトル空間によって生成される幾何代数は、例を使用してこの点を説明します。1 つは XY 平面から取られ、もう 1 つは ZW 平面から取られた任意の 2 つのブレードの合計は、2 ブレードではない 2 ベクトルを形成します。次元 2 または 3 のベクトル空間によって生成される幾何代数では、2 ブレードのすべての合計は、単一の 2 ブレードとして表すことができます。
例
実外積代数における n 次元の幾何学的解釈 。n = 0 (符号付き点)、1 (有向線分またはベクトル)、2 (有向平面要素)、3 (有向体積)。n ベクトルの外積は、任意の n 次元 形状 (例: n 平行四辺形 、 n 楕円 体 )として視覚化できます 。大きさ ( 超体積 ) と方向は、 その ( n − 1) 次元境界上の方向と内部がどちら側にあるかによって定義されます。 [ 19] [20] 体積形式 がある場合（ 内積 と方向が与えられている場合など ）、擬似ベクトルと擬似スカラーはベクトルとスカラーと同一視できます。これは ベクトル計算 では日常的に行われていることですが、体積形式がない場合、任意の選択を行わずにこれを行うことはできません。
物理空間の代数 （(3+1)-時空のモデルとして使用されるユークリッド 3 次元空間の幾何学的代数） では、スカラーとベクトルの和は パラベクトル と呼ばれ、時空内の点を表します（ベクトルは空間、スカラーは時間）。
バイベクトル 双 ベクトルは、 接空間 とそれ自身との 反対称 テンソル積 の要素です 。
幾何代数 において も、 バイベクトルは2つのベクトルの 楔積 から生じる2級要素（2次元ベクトル）であり 、 ベクトルが 有向線分であるの と同様に、幾何学的には 有向領域 である。aと b が 2つのベクトルである場合、バイベクトル a ∧ b は
ノルム は 面積であり、次のように表される。
‖
a
∧
b
‖
=
‖
a
‖
‖
b
‖
sin
(
ϕ
a
,
b
)
{\displaystyle \left\|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\,\sin(\phi _{a,b})}
a 方向: その領域が存在する平面、つまり、 a と b が線形独立である限り、 それらによって決定される平面。 元のベクトルが乗算される順序によって決定される方向 (2 つのうち)。 二重ベクトルは擬似ベクトル に接続され 、幾何代数で回転を表すために使用されます。
双ベクトルはベクトル空間 Λ 2 V の元である（ここで Vは 次元 V = n の有限次元ベクトル空間である）ので、このベクトル空間上の 内積を 次のように定義するのは理にかなっている 。まず、任意の元 F ∈ Λ 2 V をΛ 2 V の基底 ( e i ∧ e j ) 1 ≤ i < j ≤ n で表すと、
F
=
F
a
b
e
a
∧
e
b
(
1
≤
a
<
b
≤
n
)
,
{\displaystyle F=F^{ab}\mathbf {e} _{a}\wedge \mathbf {e} _{b}\quad (1\leq a<b\leq n),}
ここでは アインシュタインの総和規則 が使用されています。
ここ
で、写像 G : Λ 2 V × Λ 2 V → Rを定義し、
G
(
F
,
H
)
:=
G
a
b
c
d
F
a
b
H
c
d
,
{\displaystyle G(F,H):=G_{abcd}F^{ab}H^{cd},}
数字の集合です
。
G
a
b
c
d
{\displaystyle G_{abcd}}
アプリケーション 双ベクトルは、例えば 電磁場の分類 など、物理学において多くの重要な役割を果たします。
参照
参考文献
^ John Snygg (2012)、 Clifford の幾何代数を用いた微分幾何学への新しいアプローチ 、Birkhäuser、p. 5 §2.12 ^ abcd Harley Flanders (1989)[1963] 微分形式とその物理科学への応用、§ 2.1 p ベクトル の空間、5～7ページ、 Dover Books ^ ウェンデル・フレミング (1977) [1965] 多変数関数 、第7.5節 マルチベクトル、295ページ、 ISBN 978-1-4684-9461-7 ^ エリー・カルタン『 スピノルの理論 』16 ページでは、同次ベクトル、特に単純なベクトルのみを考慮し、それらを「多重ベクトル」（総称して）または p ベクトル（具体的に）と呼んでいます。 ^ William M Pezzaglia Jr. (1992) 。 「 マクスウェル 方程式の特性超曲面のクリフォード代数導出」。Julian Ławrynowicz (編)。 数学的構造の変形 II。Springer。p . 131 ff。ISBN
0-7923-2576-1 したがって、3Dでは、擬似 ベクトル を2ベクトル 、 擬似スカラー を3ベクトル の交互項として関連付けます 。
^ Baylis (1994). 物理科学における理論的方法: Maple を使用した問題解決入門 V. Birkhäuser. p. 234、脚注を参照 。ISBN
0-8176-3715-X 。
^ GE Shilov, Linear Algebra 、(訳: RA Silverman)、Dover Publications、1977年。 ^ WVD Hodge と D. Pedoe、「代数幾何学の方法」第 1 巻、ケンブリッジ大学出版局、1947 年 ^ WK Clifford、「双四元数の予備的スケッチ」、Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381–395 ^ WK Clifford, Mathematical Papers （R. Tucker編）、ロンドン：Macmillan、1882年。 ^ JM McCarthy、「理論運動学入門」、pp.62-5、MIT Press 1990。 ^ O. Bottema と B. Roth、理論運動学、North Holland Publ. Co.、1979 年 ^ David Hestenes & Garret Sobczyk (1984) Clifford Algebra to Geometric Calculus 、p. 4、D. Reidel ISBN 90-277-1673-0 ^ David Hestenes (1999)[1986] New Foundations for Classical Mechanics、34ページ、 D. Reidel ISBN 90-277-2090-8 ^ C. Doran と A. Lasenby (2003) 物理学者のための幾何代数 、87 ページ、 ケンブリッジ大学出版局 ISBN 9780511807497 ^ Marcos A. Rodrigues (2000)。「§1.2 幾何代数 : 概要」。 パターン 認識と分類のための不変量 。World Scientific。p. 3 ff。ISBN 981-02-4278-6 。 ^ R Wareham、J Cameron、J Lasenby (2005)。「コンピュータビジョンとグラフィックスにおける共形幾何代数の応用」。Hongbo Li、 Peter J. Olver 、Gerald Sommer (編)。 コンピュータ代数と幾何代数の応用 。Springer。p. 330。ISBN 3-540-26296-2 。 ^ エドゥアルド・バイロ＝コロッチャノ (2004)。 「クリフォード幾何代数: コンピューター ビジョン、ロボット工学、学習のための有望なフレームワーク」。アルベルト・サンフェリューの場合。ホセ・フランシスコ・マルティネス・トリニダード。ヘスス・アリエル・カラスコ・オチョア（編）。 パターン認識、画像分析、応用の進歩 。スプリンガー。 p. 25.ISBN 3-540-23527-2 。 ^ R. ペンローズ (2007). 現実への道 . ヴィンテージ本. ISBN 978-0-679-77631-4 。 ^ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitation . WH Freeman & Co. p. 83. ISBN 0-7167-0344-0 。
