ブレード（形状）

幾何代数の研究では、 $k$ ブレードまたは単純 $k$ ベクトルは、スカラーとベクトルの概念を一般化して、単純 2 ベクトル、3 ベクトルなどを含めたものです。具体的には、 $k$ ブレードは、1 ベクトルの外積(非公式にはウェッジ積)として表すことができる $k$ ベクトルであり、次数が $k$ です。

詳細: ^[1]

0 ブレードはスカラーです。
1 ブレードはベクトルです。すべてのベクトルは単純です。
2 ブレードは単純な2 ベクトルです。2 ブレードの和も 2 ベクトルですが、必ずしも単純ではありません。2 ブレードは、2 つのベクトル $a$ と $b$ のウェッジ積として表すことができます。
$a\wedge b.$
3 ブレードは単純な 3 ベクトルです。つまり、3 つのベクトル $a$ 、 $b$ 、 $c$ のくさび積として表すことができます。
$a\wedge b\wedge c.$
$n$ 次元のベクトル空間において、 $n$ $- 1$ 次のブレードは擬ベクトル^[2]または反ベクトル^[3]と呼ばれる。
空間内の最高位の要素は擬スカラーと呼ばれ、 $n$ 次元の空間では $n$ ブレードと呼ばれます。^[4]
$n$ 次元のベクトル空間では、 $0 \leq$ $k$ $\leq$ $n$ に対して $kブレードを選択する際に$ $k (n - k)+1$ 次元の自由度があり、そのうちの1次元は全体的なスケーリング乗数である。^[5]

有限次元 $k$ のベクトル部分空間は、その部分空間の基底のすべての要素のくさび積として形成される $k$ ブレードによって表すことができます。 ^[6]実際、 $k$ ブレードは、スカラー因子を除けば、 $k$ 部分空間と自然に等価です。空間に体積形式(交代 $k$ 多重線型スカラー値関数) が与えられている場合、そのような $k$ ブレードは単位値を取るように正規化することができ、符号を除いて対応が一意になります。

例

2 次元空間では、スカラーは 0 ブレード、ベクトルは 1 ブレード、面積要素は 2 ブレードとして記述されます。この文脈では、これらは擬似スカラーと呼ばれ、通常のスカラーとは異なる 1 次元空間の要素です。

3 次元空間では、0 ブレードは再びスカラー、1 ブレードは 3 次元ベクトル、2 ブレードは方向付けられた領域要素です。この場合、3 ブレードは擬似スカラーと呼ばれ、スカラーに似た 1 次元ベクトル空間を形成する 3 次元の体積要素を表します。スカラーとは異なり、3 ブレードは座標変換関数のヤコビ行列式に従って変換されます。

参照

注記

^ Marcos A. Rodrigues (2000). 「§1.2 幾何代数: 概要」パターン認識と分類のための不変量. World Scientific. p. 3 ff . ISBN 981-02-4278-6。
^ William E Baylis (2004). 「§4.2.3 Cℓn の高次マルチベクトル: デュアル」。クリフォード (幾何) 代数とその応用に関する講義。ビルクハウザー。p. 100。ISBN 0-8176-3257-3。
^ Lengyel, Eric (2016).ゲームエンジン開発の基礎、第 1 巻: 数学。Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7。
^ John A. Vince (2008). コンピュータグラフィックスのための幾何代数. Springer. p. 85. ISBN 978-1-84628-996-5。
^ グラスマン多様体（次元に関する結果を含む）については、グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理、Wiley Classics Library、ニューヨーク：John Wiley＆Sons、ISBNがよい本です。 978-0-471-05059-9、MR 1288523次元性の証明は実に簡単です。kベクトルの外積を取り、これらに対して基本的な列演算 (ピボットを因数分解) を実行し、上位の k × k ブロックがの基本基底ベクトルになるまで続けます $。$ $次に$ $、$ $ウェッジ$ 積は、ピボットと下位の $k$ $\times ($ $n$ $-$ $k$ $)$ ブロックの積によってパラメーター化されます。また、スカラー乗数が除去されたグラスマン多様体の次元 $k$ $($ $n$ $-$ $k$ $)$ と比較してください。 $v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$ $\mathbb {F} ^{k}$
^ David Hestenes (1999). 古典力学の新しい基礎:物理学の基礎理論。Springer。p. 54。ISBN 0-7923-5302-1。

参考文献

David Hestenes 、Garret Sobczyk (1987)。「第 1 章: 幾何代数」。Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics。Springer。p. 1 ff。ISBN 90-277-2561-6。
クリス・ドラン＆アンソニー・ラセンビー（2003年）。物理学者のための幾何代数。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-48022-1。
A Lasenby、J Lasenby、R Wareham (2004) 「幾何代数を用いた幾何学への共変アプローチ技術レポート」ケンブリッジ大学工学部、ケンブリッジ、英国。
R Wareham、J Cameron、J Lasenby (2005)。「共形幾何代数のコンピュータビジョンとグラフィックスへの応用」。Hongbo Li、Peter J Olver、Gerald Sommer (編)。コンピュータ代数と幾何代数の応用。Springer。329 ページ以降。ISBN 3-540-26296-2。

外部リンク

特にコンピューター科学者向けの幾何代数の入門書。

[Rodrigues-1] Marcos A. Rodrigues (2000). 「§1.2 幾何代数: 概要」パターン認識と分類のための不変量. World Scientific. p. 3 ff . ISBN 981-02-4278-6。

[Baylis01-2] William E Baylis (2004). 「§4.2.3 Cℓn の高次マルチベクトル: デュアル」。クリフォード (幾何) 代数とその応用に関する講義。ビルクハウザー。p. 100。ISBN 0-8176-3257-3。

[3] Lengyel, Eric (2016).ゲームエンジン開発の基礎、第 1 巻: 数学。Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7。

[Vince-4] John A. Vince (2008). コンピュータグラフィックスのための幾何代数. Springer. p. 85. ISBN 978-1-84628-996-5。

[5] グラスマン多様体（次元に関する結果を含む）については、グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理、Wiley Classics Library、ニューヨーク：John Wiley＆Sons、ISBNがよい本です。 978-0-471-05059-9、MR 1288523次元性の証明は実に簡単です。kベクトルの外積を取り、これらに対して基本的な列演算 (ピボットを因数分解) を実行し、上位の k × k ブロックがの基本基底ベクトルになるまで続けます $。$ $次に$ $、$ $ウェッジ$ 積は、ピボットと下位の $k$ $\times ($ $n$ $-$ $k$ $)$ ブロックの積によってパラメーター化されます。また、スカラー乗数が除去されたグラスマン多様体の次元 $k$ $($ $n$ $-$ $k$ $)$ と比較してください。 $v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$ $\mathbb {F} ^{k}$

[Hestenes-6] David Hestenes (1999). 古典力学の新しい基礎:物理学の基礎理論。Springer。p. 54。ISBN 0-7923-5302-1。