ウラジミール・アーノルド

ウラジミール・イゴレビッチ・アーノルド（またはアーノルド、ロシア語: Влади́мир И́горевич Арно́льд、IPA: [ vlɐˈdʲimʲɪr ˈiɡərʲɪvʲɪtɕ ɐrˈnolʲt ] ; 1937年6月12日 - 2010年6月3日) ^[¹^]^[²^]^[³^]は、ソビエトおよびロシアの数学者でした。彼は可積分系の安定性に関するコルモゴロフ・アーノルド・モーザーの定理で最もよく知られており、力学系の幾何学的理論、代数学、カタストロフィー理論、位相幾何学、実代数幾何学、シンプレクティック幾何学、微分方程式、古典力学、流体力学への微分幾何学的アプローチ、幾何解析、特異点理論など、 ADE分類問題の提起を含む多くの分野に貢献した。晩年には研究対象を離散数学へと移した。

彼の最初の主要な業績は、1957年に19歳でヒルベルトの第13問題を解いたことである。彼は、位相ガロア理論（教え子のアスコルド・ホヴァンスキーと共同）、KAM理論（アンドレイ・コルモゴロフ、ユルゲン・モーザーと共同）、シンプレクティック位相という3つの新しい数学分野を共同で創設した。

アーノルドは数学の普及者でもあった。講義やセミナー、そして（『古典力学の数学的方法』や『常微分方程式』などの）教科書や一般向けの数学書の著者として、彼は多くの数学者や物理学者に影響を与えた。^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}彼の著書の多くは英語に翻訳された。彼の教育観はブルバキのそれとは反対だった。

彼が残した物議を醸す、そしてよく引用される格言は「数学は物理学の中で実験が安価な分野である」である。^{[ 3 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}また、「発見はめったに正しい人物に帰属されない」というアーノルドの原則も彼にちなんで名付けられている。^{[ 1 ]}

アーノルドは1961年から1986年までモスクワ国立大学、1986年からステクロフ数学研究所、1993年からパリ・ドーフィン大学で勤務した。 ^{[ 8 ]}彼はモスクワ独立大学の創設者の一人だった。^{[ 9 ]}

アーノルドは、 1982年の第1回クラフォード賞（ルイス・ニーレンバーグと共同受賞）、2001年のウルフ賞（数学部門）、2008年のショー賞（ルドウィグ・ファデーエフと共同受賞）など、数々の主要な賞を受賞している。

若いころ

ウラジーミル・イゴレヴィチ・アーノルドは、1937年6月12日にソビエト連邦ウクライナ・ソビエト社会主義共和国のオデッサ（現在のウクライナ、オデッサ）で生まれた。彼の父は、数学教育の業績で知られる数学者で、1920年代後半にエミー・ネーターから代数学を学んだイゴール・ウラジーミロヴィチ・アーノルド（1900年 - 1948年）である。 ^[¹^]彼の母は、ユダヤ人の美術史家であるニーナ・アレクサンドロヴナ・アーノルド（1909年 - 1986年、旧姓イサコヴィチ）である。^[³^]

学生時代、アーノルドは父親に、なぜ2つの負の数を掛け合わせると正の数になるのかと尋ねたことがあり、父親は実数の体の性質と分配法則の保存に関する答えを与えた。アーノルドはこの答えに深く失望し、生涯にわたって公理的方法への嫌悪感を抱くようになった。 ^[¹⁰^]^[¹¹^]アーノルドが13歳のとき、エンジニアであった叔父のニコライ・B・ジトコフ^[¹²^]が、微積分とそれが物理現象を理解するためにどのように使用できるかについて彼に話した。これが数学への興味を掻き立てるきっかけとなり、彼は父親が残した数学の本、レオンハルト・オイラーやシャルル・エルミートの著作などを読み始めた。^[¹³^]

アーノルドは1954年にモスクワ国立大学に入学した。 ^{[ 14 ]}彼の教師の中には、AN コルモゴロフ、IM ゲルファント、LS ポントリアギン、パベルアレクサンドロフがいた。^{[ 15 ]}モスクワ国立大学でアンドレイコルモゴロフの学生であり、まだ十代だったアーノルドは、1957年に、任意の多変数連続関数は有限個の2変数関数で構成できることを示し、それによってヒルベルトの第13問題を解決した。^{[ 16 ]}これはコルモゴロフ-アーノルド表現定理である。

数学的作業

アーノルドは1961年にアンドレイ・コルモゴロフを指導教官として博士号を取得した（論文： 2変数連続関数の重ね合わせによる3変数連続関数の表現について）。^{[ 17 ]}

彼は1990年にソビエト連邦科学アカデミー（ 1991年以降はロシア科学アカデミー）の会員となった。^{[ 18 ]}アーノルドは、シンプレクティック位相理論を独立した学問分野として確立した人物とみなすことができる。ハミルトンシンプレクティック同相写像とラグランジュ交点の固定点の数に関するアーノルド予想は、フローアホモロジーの発展の動機にもなった。^[¹⁹^]

アーノルドは亡くなるまでモスクワのステクロフ数学研究所とパリ・ドーフィーヌ大学で働いていました。彼は、リフカット・ボグダノフ、アレクサンダー・ギブンタール、ヴィクトル・ゴリュノフ、サビル・グセイン・ザーデ、エミール・ホロゾフ、ユリー・イリヤシェンコ、ボリス・ケシン、アスコルド・コバンスキー、ニコライ・ネホロシェフ、ボリス・シャピロ、アレクサンダー・ヴァルチェンコ、ヴィクトル・ヴァシリエフ、ウラジーミルを含む 46人の博士課程の学生を指導した。ザカリキン。^[²⁰^]

アーノルドは、力学系理論、カタストロフィー理論、トポロジー、代数幾何学、シンプレクティック幾何学、微分方程式、古典力学、流体力学、特異点理論に取り組んだ。 [ ^{4 ]ミシェル}・オーダンは彼を「最も広い意味での幾何学者」と評し、「彼は異なる分野間のつながりを非常に素早く見つけ出した」と述べた。^{[ 21 ]}

ヒルベルトの第13問題

ヒルベルトの第13問題は、 3変数の連続関数はすべて、有限個の2変数の連続関数の合成として表現できるかどうかを問うものです。この問いに対する肯定的な答えは、1957年に当時19歳でアンドレイ・コルモゴロフの教え子であったアーノルドによって与えられました。コルモゴロフは前年、任意の多変数関数は有限個の3変数関数で構成できることを示していました。アーノルドはその後、この研究を発展させ、2変数関数のみが必要であることを示し、連続関数のクラスに関してヒルベルトの問いに答えました。^{[ 22 ]}

力学系

ユルゲン・モーザーとアーノルドは、コルモゴロフ（アンリ・ポアンカレの疑問に触発された）の考えを拡張し、現在コルモゴロフ・アーノルド・モーザーの定理（または「KAM理論」）として知られるものを生み出した。これは、摂動を受けたときの準周期運動（ほぼ積分可能なハミルトン系）の持続性に関するものである。KAM理論は、摂動にもかかわらず、そのような系が無限の期間にわたって安定であり得ることを示し、そのための条件を規定している。^{[ 23 ]}

1961年、彼はアーノルド舌を提唱した。これは、生物学的プロセスにおける酵素や基質の濃度など、振動量を伴うさまざまな自然現象で観察される。^{[ 24 ]}

1964年、アーノルドは確率的ウェブの最初の例であるアーノルドウェブを発表した。 ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

1974年、アーノルドはリウヴィル・アーノルドの定理を証明した。これは現在では古典的な結果であり、非常に幾何学的な性格を持つ。^[¹^]

1980年代、アーノルドはヒルベルトの第16問題を再構成し、その無限小版（ヒルベルト・アーノルド問題）を提案した。この問題は、その解決を求める数学者たちによる力学系理論における多くの深遠な研究を促した。^{[ 1 ]}

特異点理論

1965年、アーノルドはルネ・トムのカタストロフィー理論に関するセミナーに出席した。彼は後にそれについて次のように述べている。「私はトムに深く感謝している。1965年を通して私が頻繁に出席した高等科学研究所での彼の特異点セミナーは、私の数学の世界を大きく変えた。」 ^{[ 27 ]}この出来事の後、特異点理論はアーノルドと彼の学生たちの主要な関心事の1つとなった。^{[ 28 ]}この分野における彼の最も有名な成果の1つは、彼の論文「退化臨界点近傍の関数の正規形、A _k、D _k、E _kのワイル群、およびラグランジュ特異点」に含まれる単純特異点の分類である。^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}

流体力学

1966年、アーノルドは「無限次元リー群の微分幾何学と完全流体の流体力学への応用」という論文を発表し、回転する剛体のオイラー方程式と流体力学のオイラー方程式の両方に共通の幾何学的解釈を提示しました。これにより、これまで無関係と考えられていたトピックが結び付けられ、流れや乱流に関連する多くの問題に数学的な解決策がもたらされました。^[³²^]^[³³^]^[³⁴^]

実代数幾何学

1971年、アーノルドは「実平面代数曲線の楕円の配置、4次元滑らかな多様体の対合、および積分二次形式の算術について」^{[ 35 ]}を発表し、実代数幾何学に新たな息吹を吹き込んだ。その中で彼は、グドコフ予想と4次元トポロジーとの関連性を見出すことで、グドコフ予想の解決に向けて大きな進歩を遂げた。[ ³⁶^]^この予想は後に、V.A.ロクリンがアーノルドの研究に基づいて完全に解決した。 ^[³⁷^]^[³⁸^]

シンプレクティック幾何学

ハミルトンシンプレクティックの固定点の数と下位多様体のトポロジーを結びつけるアーノルド予想は、シンプレクティックトポロジーにおける多くの先駆的研究の動機となった。^[³⁹^]^[⁴⁰^]彼はまた、数学において未解決問題である近傍ラグランジュ予想も提唱した。 ^[⁴¹^]

ミシェル・オーダンによれば、シンプレクティック・トポロジーの誕生は1965年10月27日であり、これはアーノルドの論文「Sur une propriété topologique des Applications globalement canoniques de la mécanique classique」がパリ科学アカデミーに提出された日である。^{[ 42 ]}

トポロジー

ヴィクトル・ヴァシリエフによれば、アーノルドは「トポロジーそのもののためにトポロジーを研究することは比較的少なく」、トポロジーが役立つ可能性のある他の数学分野の問題に動機づけられていた。彼の貢献には、アーベル・ルフィニの定理のトポロジー形式の発明と、それに続くいくつかのアイデアの初期開発が含まれており、この研究は1960年代にトポロジー的ガロア理論の分野の創設につながった。 ^{[ 43 ]}^{[ 44 ]}

平面曲線の理論

マルセル・ベルガーによれば、アーノルドは平面曲線理論に革命をもたらした。^{[ 45 ]}彼は1990年代に滑らかな閉平面曲線の理論を発展させた。^{[ 46 ]}彼の貢献の中には、平面曲線の3つのアーノルド不変量、 J ⁺、J− ^、Stの導入がある。^{[ 47 ]}^{[ 48 ]}

離散数学

晩年、アーノルドの関心は離散数学へと移った。アナトリー・ヴェルシクによれば、彼は数論と組み合わせ論を研究し、これらのテーマに関する論文を約20本発表した。フェルマーの小定理の行列一般化に関するアーノルドの予想はこの時期に遡る。^[⁴⁹^]^[⁵⁰^]

他の

1995年、アーノルドは、平面上に置かれたときに安定平衡点と不安定平衡点がそれぞれ1つずつ存在する物体であるgömböcの存在を推測した。この推測は2006年にGábor Domokosによって証明された。 ^[⁵¹^]^[⁵²^]

古典力学において、アーノルドはシェル定理に関するアイザック・ニュートン、ピエール＝シモン・ラプラス、ジェームズ・アイボリーの結果を一般化し、それが代数的超曲面にも適用できることを示した。^[⁵³^]

代数幾何学において、アーノルドの奇妙な双対性は、鏡面対称性の最初の例の1つであった（K3曲面の場合）。^{[ 54 ]}

磁気流体力学において、アーノルドとEIコルキナは1983年にABC流れのダイナモ特性を調査した。^{[ 55 ]}

力学系理論におけるアーノルド複雑性[ ⁵⁶^]や偏微分方程式の解析におけるアーノルドの安定性定理^[⁵⁷^]は^、彼にちなんで名付けられている。

晩年と死

1999年、アーノルドはパリで深刻な自転車事故に遭い、外傷性脳損傷を負った。数週間後に意識を取り戻したが、記憶喪失になり、しばらくの間は病院で自分の妻さえ認識できなかった。^{[ 66 ]}その後、順調に回復した。^{[ 67 ]}

アーノルドは学生や同僚の間ではユーモアのセンスでも知られていた。例えば、学年の初めにモスクワで開かれたゼミで、いつものように新しい問題を提起していた時、彼はこう言った。

愚かな人間が、百人の賢者でも答えられないような質問をすることはよくあるという原則がある。この原則に従って、私はいくつかの問題を提起しようと思う。^{[ 68 ]}

アーノルドは2010年6月3日、73歳の誕生日の9日前にパリで急性膵炎により亡くなった^{[ 69 ]}^{[ 70 ]} 。彼は6月15日にモスクワのノヴォデヴィチ修道院に埋葬された^[⁷¹^]。

アーノルドの墓石には、彼の言葉と彼の発見に基づく数式が刻まれている。^{[ 1 ]}

ロシアのドミトリー・メドベージェフ大統領は、アーノルドの家族に送った電報の中で次のように述べた。

現代を代表する偉大な数学者の一人、ウラジーミル・アーノルドの死去は、世界科学にとって取り返しのつかない損失である。アーノルド院士が現代数学とロシア科学の威信にもたらした貢献は、どれほど高く評価しても過言ではない。
ウラジーミル・アーノルドにとって教育は特別な位置を占めており、彼は才能ある科学者たちを何世代にもわたって指導した、啓蒙的な指導者として大きな影響力を持っていた。
ウラジミール・アーノルドの記憶は、同僚、友人、教え子、そしてこの素晴らしい人物を知り、尊敬していたすべての人々の心に永遠に残るだろう。^{[ 72 ]}

栄誉と受賞歴

モスクワ数学会若手数学者賞（1958年）。^{[ 4 ]}
レーニン賞（1965年、アンドレイ・コルモゴロフと共同受賞）^{[ 62 ]} 「天体力学の研究に対して」。
クラフォード賞（1982年、ルイス・ニレンバーグと共同受賞）^{[ 73 ]}「非線形微分方程式の理論における卓越した業績に対して」^{[ 74 ]}
1983年に米国科学アカデミーの会員に選出された。 ^{[ 75 ]}
アメリカ芸術科学アカデミーの外国人名誉会員（1987年）^{[ 76 ]}
1988年にロンドン王立協会の外国人会員（ForMemRS）に選出された。^{[ 1 ]}
1990年にアメリカ哲学会の会員に選出された。 ^{[ 77 ]}
ロシア科学アカデミーのロバチェフスキー賞（1992年）^{[ 78 ]}
ハーベイ賞（1994年）、「力学系の安定性理論への基本的な貢献、特異点理論に関する先駆的な研究、解析学と幾何学への先駆的な貢献を称えて」^{[ 79 ]}
ダニー・ハイネマン数理物理学賞（2001年）、「力学、天体物理学、統計力学、流体力学、光学に重大な影響を与える写像の力学と特異点の理解への根本的な貢献に対して」^{[ 80 ]}
ウルフ賞数学部門（2001年）、「力学系、微分方程式、特異点理論を含む数学の多岐にわたる分野における深く影響力のある業績に対して」^{[ 81 ]}
ロシア連邦国家賞（2007年）^{[ 82 ]}「数学の発展への卓越した貢献に対して」。
数学科学分野のショウ賞（2008年、ルドウィグ・ファデーエフと共同受賞）、「数理物理学への広範かつ影響力のある貢献に対して」^{[ 83 ]}^{[ 84 ]}

小惑星10031 ウラダルノルダは、1981年にリュドミラゲオルギエヴナカラチキナによって彼の名にちなんで命名されました。^[⁸⁵^]

2015年に初めて発行されたアーノルド数学ジャーナルは、彼にちなんで名付けられました。^{[ 86 ]}

ロンドン研究所のアーノルド・フェローシップは、彼にちなんで名付けられている。^{[ 87 ]}^{[ 88 ]}

彼は1974年と1983年にそれぞれバンクーバーとワルシャワで開催された国際数学者会議で基調講演者を務めた。^[⁸⁹^]

フィールズ賞の選考漏れ

アーノルドは、数学者が受けられる最高の栄誉の1つである1974年のフィールズ賞にノミネートされたが、ソ連政府の干渉により受賞は取り消された。アーノルドは反体制派の迫害に公然と反対したため、影響力のあるソ連当局者と直接対立し、1970年代と1980年代のほとんどの間、ソ連からの出国を許されないなど、自身も迫害を受けた。^{[ 90 ]}^{[ 91 ]}

私生活

アーノルドはエレオノーラ・アーノルドと結婚していた。彼らにはイゴール・アーノルドとドミトリー・アーノルドという2人の子供がいた。^{[ 91 ]}

参考文献一覧

アーノルドは約700の研究論文と多くの書籍（10冊の大学教科書を含む）を執筆した。^{[ 92 ]}

1966年：アーノルド、ウラジミール（1966年）。「無限の寸法と流体パフェの流体力学的アプリケーションに関するグループの違い」(PDF)。フーリエ研究所の分析。16 (1): 319–361 .土井: 10.5802/aif.233。
1978: Dopolnitelnye glavy teorii obyknovennykh Differentsialnykh uravnenii (ロシア語で常微分方程式理論の追加章) Nauka (ISBN は含まれていません)
1978年：常微分方程式、MIT Press ISBN 0-262-51018-9[ ⁹³^]^[⁹⁴^]^[⁹⁵^]
1985年：アーノルド、VI；グセイン＝ザーデ、SM；ヴァルチェンコ、AN（1985）。微分可能な写像の特異点、第1巻：臨界点、焦線、波面の分類。数学モノグラフ。第82巻。ビルクハウザー。doi：10.1007 /978-1-4612-5154-5。ISBN 978-1-4612-9589-1。
1988: Arnold, VI; Gusein-Zade, SM; Varchenko, AN (1988). Arnold, V. I; Gusein-Zade, S. M; Varchenko, A. N (編).微分可能な写像の特異点、第 II 巻: 積分のモノドロミーと漸近解析. 数学モノグラフ。第83巻。Birkhäuser . doi : 10.1007/978-1-4612-3940-6 . ISBN 978-1-4612-8408-6。
1988: 6 世アーノルド (1988)。常微分方程式理論における幾何学的手法。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 250（第2版）。スプリンガー。土井: 10.1007/978-1-4612-1037-5。ISBN 978-1-4612-6994-6。^{[ 96 ]}
1989年：アーノルド、 VI （1989）。古典力学の数学的方法。大学院数学テキスト。第60巻（第2版）。シュプリンガー。doi ： 10.1007 / 978-1-4757-2063-1。ISBN 978-1-4419-3087-3。^{[ 97 ]}^{[ 98 ]}
1989: Арнольд、В. И.（1989年）。Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук - Первые заги математического анализа и теории катастроф。 М.: Наука . p. 98.ISBN 5-02-013935-1。
1989年：（A. Avezとの共著）『古典力学のエルゴード問題』、Addison-Wesley ISBN 0-201-09406-1。
1990年：ホイヘンスとバロー、ニュートンとフック：進化から準結晶までの数学解析とカタストロフィー理論の先駆者たち、エリック・J・F・プリムローズ訳、ビルクハウザー出版（1990年）ISBN 3-7643-2383-3[ ⁹⁹^]^[¹⁰⁰^]^[¹⁰¹^]
1991年：VI Arnol'd、「数学トリヴィウム」、Russian Math. Surveys、46:1（1991）、pp. 271–278。（1993年に続く：VI Arnol'd、「数学トリヴィウム II」、Russian Math. Surveys、48:1（1993）、pp. 217–232）。
1991年：アルノルド、ウラジーミル・イゴレビッチ（1991）。特異点理論とその応用。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9780521422802。
1995:平面曲線と焦線に関する位相不変量、^{[ 102 ]}アメリカ数学会 (1994) ISBN 978-0-8218-0308-0
1997年：アーノルド＝ゲルファント数学セミナー（アーノルド著・編集、IMゲルファント、ミハイル・スミルノフ、ウラジミール・S・レタフ編）、ビルクハウザー社、ISBN 978-1461241225
1998: 「数学の教授法について」（ロシア語）Uspekhi Mat. Nauk 53 (1998), no. 1(319), 229–234; Russian Math. Surveys 53(1): 229–236 に翻訳掲載。
1998年：流体力学における位相幾何学的手法（ボリス・ケシン共著）^{[ 103 ]} ISBN 978-0387949475
1999年：（ヴァレンティン・アフライモヴィッチとの共著）分岐理論とカタストロフィー理論Springer ISBN 3-540-65379-1
1999年：擬周期トポロジー（マキシム・コンツェヴィッチ、アントン・ゾリッチ共著）、アメリカ数学会。ISBN 978-0821820940
2001年：「Tsepniye Drobi」（ロシア語で「連続分数」）、モスクワ（2001年、2009年）。ISBN 978-5-94057-441-5
2002: 「Что такое математика?」 (数学とは何ですか?、ロシア語で) ISBN 978-5-94057-426-2。
2004: Teoriya Katastrof (大惨事理論、ロシア語^{[ 104 ]} )、第 4 版。モスクワ、論説-URSS (2004)、ISBN 5-354-00674-0。
2004年：ウラジミール・I・アーノルド編（2004年11月15日）。アーノルド問題集（第2版）。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-20748-1。^{[ 105 ]}
2004年：アーノルド、ウラジミール・I.（2004）。偏微分方程式に関する講義。Universitext。Springer。doi：10.1007 / 978-3-662-05441-3。ISBN 978-3-540-40448-4。^{[ 106 ]}^{[ 107 ]}
2007年：『昨日と遠い昔』、シュプリンガー（2007年）、ISBN 978-3-540-28734-6。
2013: Arnold, Vladimir I. (2013). Itenberg, Ilia; Kharlamov, Viatcheslav; Shustin, Eugenii I. (編). Real Algebraic Geometry . Unitext. Vol. 66. Springer . doi : 10.1007/978-3-642-36243-9 . ISBN 978-3-642-36242-2。^{[ 108 ]}
2014年：VI アーノルド（2014）。『自然の数学的理解：驚くべき物理現象とその数学者による理解に関するエッセイ』。アメリカ数学会。ISBN 978-1-4704-1701-7。
2015年：実験数学。アメリカ数学会（ロシア語からの翻訳、2015年）ISBN 978-0821894163
2015年：講義と問題：若き数学者への贈り物、アメリカ数学会、（ロシア語からの翻訳、2015年）ISBN 978-1470422592

全集

2010年：AB Givental、BA Khesin 、 JE Marsden、AN Varchenko、VA Vassilev、O. Ya. Viro、VM Zakalyukin（編）。著作集、第1巻：関数表現、天体力学、KAM理論（1957～1965年）。Springer ISBN 978-3642261329
2013年：AB Givental、BA Khesin、AN Varchenko、VA Vassilev、O. Ya. Viro（編）。『著作集第2巻：流体力学、分岐理論、代数幾何学（1965～1972年）』。Springer。ISBN 978-3642310317
2016: Givental, AB、Khesin, B.、Sevryuk, MB、Vassiliev, VA、Viro, OY (編) 『Collected Works, Volume III: Singularity Theory 1972–1979 』 Springer。ISBN 978-3662570173
2018: Givental, AB、Khesin, B.、Sevryuk, MB、Vassiliev, VA、Viro, OY (編)『Collected Works, Volume IV: Singularities in Symplectic and Contact Geometry 1980–1985 』 Springer。ISBN 978-3662561881
2023: Alexander B. Givental、Boris A. Khesin、Mikhail B. Sevryuk、Victor A. Vassiliev、Oleg Ya. Viro (編)『Collected Works, Volume VI: Dynamics, Combinatorics, and Invariants of Knots, Curves, and Wave Fronts 1992–1995』Springer。ISBN 978-3031048036
2025: Boris A. Khesin、Mikhail B. Sevryuk、Victor A. Vassiliev (編)『著作集第5巻：シンプレクティックトポロジー、交点のダイナミクス、およびカタストロフィー理論 1986–1991 』 Springer。ISBN 978-3031773945
2025: Boris A. Khesin、Mikhail B. Sevryuk、Victor A. Vassiliev (編) 『著作集第7巻：曲線の空間と特異点、数学的三位一体、数学教育 1996–1999 』 Springer。ISBN 978-3031774843

参考文献

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↑ Euler M. (2004). 「物理学の教育と学習における実験の役割」.国際物理学学校「エンリコ・フェルミ」論文集. 156 (物理教育研究). doi : 10.3254/978-1-61499-012-3-175 .
↑注: このフレーズは論争を巻き起こし、パロディまで生み出した。彼は弁明をArnol'd, Vladimir I (1999年12月31日)「数学と物理学: 母と娘か姉妹か?」Physics-Uspekhi 42 ( 12): 1205– 1217. Bibcode : 1999PhyU...42.1205A . doi : 10.1070/pu1999v042n12abeh000673 で書いた。
↑ 「VIArnold の履歴書」 .
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さらに読む

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Khesin, Boris; Tabachnikov, Serge (編集責任者). 「ウラジーミル・アーノルドの思い出」、アメリカ数学会報 、2012年4月、第59巻、第4号、 482-502ページ。
ボリス・A・ケシン、セルゲイ・L・タバチニコフ編（2014）。アーノルド：逆境に挑む。アメリカ数学会。ISBN 978-1-4704-1699-7。
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外部リンク

VIアーノルドのウェブページ
個人ウェブページ
VI アーノルドによる連分数に関する講義（2007年、SLMath（旧MSRI）より）
簡単な履歴書
数学の指導について（ 2017年4月28日にWayback Machineにアーカイブ済み）1997年の講演のテキストで、アーノルドの数学指導に関する見解を述べている。
平面曲線のトポロジー、波面、レジェンドリアン結び目、シュトゥルム理論、射影曲線の平坦化
5から15までの問題集（アーノルド著、学校生徒向けテキスト）は、IMAGINARYプラットフォームで入手可能です。
数学系譜プロジェクトのウラジミール・アーノルド
S・クタテラゼ著『アーノルドは逝った』（2010年6月4日）
В.Б.Демидовичем (2009)、МЕХМАТЯНЕ ВСПОМИНАЮТ 2: В.И.Арнольд、pp. 25–58 (ロシア語)
zbMATHデータベースにおける著者プロフィール
レオニード・ポルテロヴィッチとインナ・シェルバフ（2011年）。「VI アーノルド (1937–2010)」 DOI 10.1365/s13291-011-0027-6
SM Gusein-Zade、AN Varchenko (2011)「ウラジーミル・イゴレビッチ・アーノルド」、モスクワ数学会紀要（ロシア語からの翻訳）
YouTube動画：「ショウ賞数学部門2008」ショウ賞チャンネル

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[7] 注: このフレーズは論争を巻き起こし、パロディまで生み出した。彼は弁明をArnol'd, Vladimir I (1999年12月31日)「数学と物理学: 母と娘か姉妹か?」Physics-Uspekhi 42 ( 12): 1205– 1217. Bibcode : 1999PhyU...42.1205A . doi : 10.1070/pu1999v042n12abeh000673 で書いた。

[8] 「VIArnold の履歴書」 .

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