線形部分空間

ベクトル空間V = R ³ (実数体R上の実座標空間) において、W をVに含まれるベクトルのうち最後の成分が 0 であるすべてのベクトルの集合とする。このとき、 WはVの部分空間である。

証拠：

1. Wの要素uとvが与えられた場合、それらはu = ( u ₁ , u ₂ , 0)およびv = ( v ₁ , v ₂ , 0)と表すことができます。すると、u + v = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0+0) = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0)となります。したがって、u + vもWの要素です。
2. Wの要素uとRの要素cが与えられたとき、u = ( u ₁ , u ₂ , 0)とすると、cu = ( cu ₁ , cu ₂ , c 0) = ( cu ₁ , cu ₂ , 0)となります。したがって、cuもWの要素です。

再び体Rとするが、今度はベクトル空間Vをデカルト平面R ²とする。WをR ^{2の点 (} x , y ) の集合でx = yとなるものとする。するとWはR ²の部分空間となる。

証拠：

1. p = ( p ₁ , p ₂ )およびq = ( q ₁ , q ₂ )をWの要素、つまりp ₁ = p ₂かつq ₁ = q ₂を満たす平面上の点とします。すると、 p + q = ( p ₁ + q ₁ , p ₂ + q ₂ )と_なります。p 1 = p ₂かつq ₁ = q ₂なので、p ₁ + q ₁ = p ₂ + q ₂となり、p + qはWの要素となります。
2. p = ( p ₁ , p ₂ )をWの要素、つまりp ₁ = p ₂となる平面上の点とし、c をRのスカラーとする。するとc p = ( cp ₁ , cp ₂ )となる。p 1 = p 2 なので、 cp 1 ₌ cp 2_となり、c _pはWの_要素となる。

一般に、実座標空間R ⁿの任意の部分集合で、同次線形方程式系によって定義されるものは、部分空間となる。（例 I の方程式はz  =  0 であり、例 II の方程式はx  = yであった。） 

再び体Rを考えますが、今度はベクトル空間VをRからRへのすべての関数の集合R ^Rとします。C( R ) を連続関数からなる部分集合とします。すると C( R ) はR ^Rの部分空間になります。

証拠：

1. 微積分学から、0 ∈ C( R ) ⊂ R ^Rであることがわかっています。
2. 微積分学から、連続関数の和は連続関数であることがわかっている。
3. 繰り返しになりますが、微積分学から、連続関数と数の積は連続関数であることがわかっています。

以前と同じ体とベクトル空間を維持しつつ、今度は微分可能な関数の集合 Diff( R )を考えます。以前と同様の議論により、これも部分空間であることが示されます。

これらのテーマを拡張した例は、関数解析においてよく見られる。

n個の変数を持つ任意の同次線形方程式系の解集合は、座標空間K ⁿの部分空間である。 $${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.}$$

例えば、方程式を満たす すべてのベクトル( x、y、z ) (実数または有理数上) の集合$${\displaystyle x+3y+2z=0\quad {\text{および}}\quad 2x-4y+5z=0}$$ は1次元部分空間です。より一般的に言えば、n個の独立な関数の集合が与えられたとき、 K ^kにおける部分空間の次元は、n個の関数の合成行列であるAの零集合の次元になります。

有限次元空間では、同次線形方程式系は単一の行列方程式として記述できる。

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

この方程式の解の集合は、行列の零空間として知られています。例えば、上述の部分空間は、行列の零空間です。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.}$

K ⁿのすべての部分空間は、何らかの行列の零空間として記述できます（詳細は下記の§ アルゴリズムを参照）。

同次線形パラメトリック方程式系によって記述されるK ⁿの部分集合は部分空間である。

${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&&a_{22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1}t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for some }}t_{1},\ldots ,t_{m}\in K\right\}.}$

例えば、方程式によってパラメータ化されたすべてのベクトル ( x、y、z ) の集合  

${\displaystyle x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}}$

Kが数体（実数や有理数など）である場合、はK ³の 2 次元部分空間である。 ^{[注 2 ]}

線形代数では、媒介変数方程式の系は単一のベクトル方程式として記述できる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.}$

右側の式は、ベクトル(2,  5,  −1)と(3,  −4, 2)の線形結合と呼ばれます。これらの2つのベクトルは、結果として得られる部分空間を張る と言われます。

一般に、ベクトルv ₁、v ₂、... 、v _kの線形結合は、次の形式の任意のベクトルである。    

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.}$

考えられるすべての線形結合の集合をスパンと呼びます。

${\displaystyle {\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.}$

ベクトルv ₁ ,  ...  , v _{k が}n個の成分を持つ場合、それらのスパンはK ⁿの部分空間になります。幾何学的には、スパンは点v ₁ , ... , v _kによって決定されるn次元空間の原点を通る平面です。    

例

R ³の xz 平面は、次の式でパラメータ化できます。

${\displaystyle x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.}$

xz平面は部分空間として、ベクトル(1,  0,  0)と(0,  0,  1)によって張られます。xz平面上のすべてのベクトルは、これら2つのベクトルの線形結合として表すことができます。

${\displaystyle (t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}}$

幾何学的には、これは、 xz 平面上のすべての点が、まず(1, 0, 0)の方向に一定距離移動し、次に(0, 0, 1) の方向に一定距離移動することで原点から到達できるという事実に対応します。  

有限次元空間における線形媒介変数方程式系は、単一の行列方程式として表すこともできる。

${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}$

この場合、部分空間はベクトルxのすべての可能な値から構成されます。線形代数では、この部分空間は行列Aの列空間（または像）として知られています。これはまさに、 Aの列ベクトルによって張られるK ⁿの部分空間です。

行列の行空間とは、その行ベクトルによって張られる部分空間のことです。行空間は、零空間の直交補空間であるため、興味深い空間と言えます（下記参照）。

一般に、k 個のパラメータによって決定されるK ⁿの部分空間(またはk個のベクトルによって張られる部分空間) の次元は k です。ただし、この規則には例外があります。たとえば、³つのベクトル (1, 0, 0)、(0, 0, 1)、および (2, 0, 3) によって張られる K 3 の部分空間は、 xz平面そのものであり、平面上の各点はt ₁、t ₂、t ₃の無限に多くの異なる値によって記述されます。      

一般に、ベクトルv ₁ ,  ...  , v _{k は}、次の場合に線形独立であると呼ばれます。 

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}}$

( t ₁ , t ₂ , ... , t _k ) ≠ ( u ₁ , u ₂ , ... , u _k ) の場合。^{[注 3 ]} v ₁ , ..., v _{k が}線形独立である 場合、スパン内のベクトルの座標t ₁ , ..., t _{kは一意に決定されます。}         

部分空間Sの基底とは、スパンがSとなるような線形独立なベクトルの集合です。基底の要素数は常に部分空間の幾何学的次元に等しくなります。部分空間のスパン集合から冗長なベクトルを削除することで、任意のスパン集合を基底に変換できます（詳細は下記の「アルゴリズム」の項を参照）。

例

S を方程式で定義される R ⁴の部分空間とする。

${\displaystyle x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.}$

すると、ベクトル(2,  1,  0,  0)と(0,  0,  5, 1)はS の基底となる。特に、上記の式を満たすすべてのベクトルは、2つの基底ベクトルの線形結合として一意に表すことができる。

${\displaystyle (2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).}$

部分空間Sは 2 次元です。幾何学的には、R ⁴内の点 (0,  0,  0,  0)、(2,  1,  0,  0)、および (0,  0,  5,  1) を通る平面です。

集合論における包含関係は、（任意の次元の）すべての部分空間の集合上の半順序を指定する。

部分空間は、より次元の低い部分空間には含まれない。dim U = k (有限数) で、U ⊂ Wである場合、dim W = kとなるのはU = Wの場合のみである。          

ベクトル空間Vの部分空間UとWが与えられたとき、それらの共通部分U ∩ W := { v ∈ V : vはUとWの両方の要素である} もまたVの部分空間である。^{[ 10 ]}        

証拠：

1. vとwをU  ∩ Wの要素とする。すると、vとwはUとWの両方に属する。Uは部分空間なので、 v + wはUに属する。同様に、Wは部分空間なので、v + wはWに属する。したがって、v + wはU ∩ Wに属する。         
2. v をU  ∩ Wに属するものとし、c をスカラーとする。すると、v はUとW の両方に属する。U と W は部分空間なので、c vはUとWの両方に属する。  
3. UとWはベクトル空間なので、 0は両方の集合に属します。したがって、0はU  ∩ Wに属します。 

すべてのベクトル空間Vに対して、集合 { 0 }とV自体はVの部分空間である。^{[ 11 ] [ 12 ]}

UとWが部分空間である場合、それらの和は部分空間である^{[ 13 ] [ 14 ]}$${\displaystyle U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

例えば、2つの直線の和は、それら両方を含む平面である。和の次元は次の不等式を満たす。 $${\displaystyle \max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).}$$

ここで、最小値は一方の部分空間が他方の部分空間に含まれる場合にのみ発生し、最大値は最も一般的なケースです。交差の次元と合計は、次の式で関係付けられます。^{[ 15 ]}$${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).}$$

部分空間の集合は、任意の2つの部分空間間の唯一の共通部分が自明な部分空間である場合に独立である。直和は独立部分空間の和であり、次のように表される。${\displaystyle U\oplus W}$同等の言い換えとしては、直和は、すべての部分空間が和のスパンに寄与するという条件の下で部分空間和である。^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

直和の次元${\displaystyle U\oplus W}$これは部分空間の和と同じですが、自明な部分空間の次元はゼロなので短縮できます。^{[ 20 ]}

$${\displaystyle \dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)}$$

演算の交差と和によって、すべての部分空間の集合は有界モジュラー束になります。ここで、最小要素である部分空間 {0}は和演算の単位元であり、最大の要素である同一の部分空間Vは交差演算の単位元です。

もし${\displaystyle V}$は内部積空間であり、${\displaystyle N}$は、${\displaystyle V}$、次に、の直交補空間${\displaystyle N}$、と表記される${\displaystyle N^{\perp }}$、は再び部分空間である。^{[ 21 ]}もし${\displaystyle V}$有限次元であり、${\displaystyle N}$は部分空間であり、その次元は${\displaystyle N}$そして${\displaystyle N^{\perp }}$補完関係を満たす${\displaystyle \dim(N)+\dim(N^{\perp })=\dim(V)}$^{[ 22 ]}さらに、 どのベクトルもそれ自身と直交しないので、${\displaystyle N\cap N^{\perp }=\{0\}}$そして${\displaystyle V}$は直接合計です${\displaystyle N}$そして${\displaystyle N^{\perp }}$^{[ 23 ]} 直交補空間を2回適用すると、元の部分空間が返される。${\displaystyle (N^{\perp })^{\perp }=N}$すべての部分空間に対して${\displaystyle N}$[ ^{24 ]​}

この操作は否定として理解される（${\displaystyle \neg }$) は部分空間の格子を（場合によっては無限の）直交補空間格子にする（ただし分配格子ではない）。

他の双線形形式を持つ空間では、これらの結果の一部は依然として成り立つが、すべては成り立たない。たとえば、擬ユークリッド空間やシンプレクティックベクトル空間では、直交補空間が存在する。しかし、これらの空間には、自身に直交する零ベクトルが存在する可能性があり、その結果、部分空間が存在する。${\displaystyle N}$そのため${\displaystyle N\cap N^{\perp }\neq \{0\}}$その結果、この操作では部分空間の格子をブール代数（またはハイティング代数）に変えることはできません。

入力：m  × n行列A。​ 

出力：Aの行空間の基底。

1. 基本的な行操作を用いて、Aを行階段形に変換する。
2. 階段形の非ゼロ行は、Aの行空間の基底である。

行間隔に関する記事に例がありますので、そちらをご覧ください。

代わりに、行列A を簡約行階段形に変換すると、結果として得られる行空間の基底は一意に決定されます。これにより、2 つの行空間が等しいかどうか、ひいてはK ⁿの 2 つの部分空間が等しいかどうかを判定するアルゴリズムが得られます。

K ⁿの部分空間Sの基底 { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } とn個の成分を持つベクトルvを入力します。

出力：vがSの要素であるかどうかを判定する

1. 行がベクトルb ₁、... 、b _kおよびvである( k  +  1)  × n行列Aを作成します。    
2. 基本的な行操作を用いて、Aを行階段形に変換する。
3. 階段形にゼロの行がある場合、ベクトル{ b ₁ , ..., b _k , v }は線形従属であり、したがってv ∈ Sとなります。

入力：m  × n行列A 

出力AはAの列空間の基底である。

1. 基本的な行操作を用いて、Aを行階段形に変換する。
2. 階段行列のどの列にピボットが存在するかを判断します。対応する元の行列の列は、列空間の基底となります。

例については、列間隔に関する記事を参照してください。

これにより、元の列ベクトルの部分集合である列空間の基底が生成されます。これは、ピボットを持つ列が階段行列の列空間の基底であり、行簡約化によって列間の線形従属関係が変化しないためです。

K ⁿの部分空間Sの基底 { b ₁ , b ₂ , ..., b _k }とベクトルv ∈ Sを入力する。

v = t ₁ b ₁ + ··· + t _k b _kを満たす数値t ₁、t ₂、 ...、t _kを出力します。

1. 列がb ₁、...、b _kであり、最後の列がvである拡大行列Aを作成します。
2. 基本行操作を用いて、Aを簡約行階段形に変換する。
3. 簡約階段行列の最終列を、最初のk列の線形結合として表します。係数には、目的の数値t ₁、t ₂、 ...、t _kを使用します。（これらは、簡約階段行列の最終列の最初のk個の要素と正確に一致する必要があります。）

簡約行階段形の最終列にピボットが含まれている場合、入力ベクトルvはSに含まれません。

入力：m  × n行列A。​ 

出力：Aの零空間の基底

1. 基本行操作を用いて、 Aを簡約行階段形に変換する。
2. 簡約行階段形を用いて、変数x ₁、x ₂、 ...、x _nのうちどれが自由変数であるかを判断します。従属変数を自由変数で表す式を記述します。
3. 各自由変数x _{iに対して、} x _i = 1かつ残りの自由変数がゼロとなるような零空間内のベクトルを選択します。得られたベクトルの集合は、 Aの零空間の基底となります。

例として、ヌル空間に関する記事を参照してください。

Vの2 つの部分空間UとWが与えられたとき、和の基底は${\displaystyle U+W}$そして交差点${\displaystyle U\cap W}$Zassenhausアルゴリズムを使用して計算できます。

K ⁿの部分空間Sの基底 { b ₁ , b ₂ , ..., b _k }を入力してください

出力：零空間がSである( n  - k ) × n行列。    

1. 行がb ₁、b ₂、 ...、b _kである行列Aを作成します。
2. 基本行操作を用いて、Aを簡約行階段形に変換する。
3. c ₁、c ₂、 ...、c _nを簡約行階段形の列とします。ピボットを持たない各列について、ピボットを持つ列の線形結合として表す式を記述してください。
4. これにより、変数c ₁、...、c _nを含むn − k 個の線形方程式からなる同次システムが得られます。このシステムに対応する( n − k ) × n行列は、零空間Sを持つ目的の行列です。

例

Aの簡約行階段形が

${\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]}$

すると、列ベクトルc ₁、 ...、c ₆は次の式を満たす。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}}$

したがって、Aの行ベクトルは次の式を満たす。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}}$

特に、行列Aの行ベクトルは、対応する行列の零空間の基底となる。

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