有理数体の有限次（したがって代数的）体拡張
数学 において 、 代数体 （または単に 数体 ）は、 有理数 体 の 拡大体 であり、その 拡大体は 有限次数 を持ちます （したがって、 代数 体拡大です）。したがって、 は、 上の ベクトル 空間 として考えた場合、 有限 次元 を持ち、 を含む体です 。
K
{\displaystyle K}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
K
/
Q
{\displaystyle K/\mathbb {Q} }
K
{\displaystyle K}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
代数的数体、さらに一般的には有理数体の代数的拡大の研究は、 代数的数論 の中心的なテーマです。この研究では、代数的手法を使用して、有理数の背後にある隠れた構造を明らかにします。
意味
前提条件 代数的数体の概念は、体 の概念に依存しています 。体は、 2 つの演算、つまり 加算 と 乗算 、およびいくつかの 分配法則の仮定を伴う元の 集合 から構成されます。これらの演算により、体は加算に関してアーベル群になり、体の非ゼロ元は乗算に関して別のアーベル群になります。体の顕著な例は 、一般に と表記される 有理数体と 、 その通常の加算および乗算の演算です。
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
代数体を定義するために必要なもう一つの概念は ベクトル空間である。ここで必要な範囲では、ベクトル空間はシーケンス（または タプル ）
で構成されると考えることができる。
( x 1 、 x 2 、…) その要素は体 などの固定体の元である 。 任意の 2 つのシーケンスは、対応する要素を加算することで加算できる。さらに、任意のシーケンスのすべての要素は、 固定体の1 つの要素 cで乗算できる。 ベクトル加算 と スカラー乗算と呼ばれるこれらの 2 つの演算は、ベクトル空間を抽象的に定義するのに役立ついくつかの特性を満たす。ベクトル空間は「 無限次元 」であることが許されている 。つまり、ベクトル空間を構成するシーケンスは無限長であってもよい。ただし、ベクトル空間が 有限 シーケンス
で構成されている場合は、
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
( x 1 , x 2 , …, x n )、 ベクトル空間は有限次元 n であると言われ て い ます 。
意味 代数体 （ または単に 数体 ）は、 有理数体の有限次数体拡張です。ここで 次数 は 、 上のベクトル空間としての体の次元を意味します 。
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
例 最も小さく、最も基本的な数体は 有理数体です。一般数体の特性の多くは、 の特性をモデルにしています 。 同時に、代数数体の他の多くの特性は有理数の特性とは大きく異なります。1 つの注目すべき例は、 数体の 代数的整数 の 環が一般に 主イデアル領域 で はないことです。
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
ガウス 有理数 は(「 隣接 」と読む) と表記され 、数体の最初の (歴史的に) 自明でない例を形成します。その要素は、 の形式の要素です。ここで、 a と b は 両方とも 有理数で、 iは 虚数単位 です 。このような式は、通常の算術規則に従って加算、減算、乗算し、恒等式 を使用して簡略化できます。 明示的に、実数の場合 : 非ゼロのガウス有理数は であり 、恒等式からわかるように 可逆 です。したがって、ガウス有理数は 上のベクトル空間として 2 次元の数体を形成します 。
Q
(
i
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (i)}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
i
{\displaystyle i}
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
i
2
=
−
1.
{\displaystyle i^{2}=-1.}
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
(
a
+
b
i
)
⋅
(
c
+
d
i
)
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
a
d
+
b
c
)
i
{\displaystyle {\begin{matrix}(a+bi)+(c+di)&=&(a+c)+(b+d)i\\(a+bi)\cdot (c+di)&=&(ac-bd)+(ad+bc)i\end{matrix}}}
(
a
+
b
i
)
(
a
a
2
+
b
2
−
b
a
2
+
b
2
i
)
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
a
2
+
b
2
=
1.
{\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
より一般的には、 任意の平方根のない 整数に対して 、 二 次体とは 、 の平方根を 有理数体に付加することによって得られる数体です。この体における算術演算は、ガウス有理数の場合と同様に定義されます 。
d
{\displaystyle d}
Q
(
d
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}
d
{\displaystyle d}
d
=
−
1
{\displaystyle d=-1}
円分体 は、の 原始 n 乗根を付加することによって から 得 られる数体です 。この体には、すべての複素 n 乗根が含まれ、 上の次元は に等しく 、 は オイラーのトーシェント関数 です 。
Q
(
ζ
n
)
,
{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}),}
ζ
n
=
exp
(
2
π
i
/
n
)
{\displaystyle \zeta _{n}=\exp {(2\pi i/n)}}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
n
{\displaystyle n}
ζ
n
{\displaystyle \zeta _{n}}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
φ
{\displaystyle \varphi }
非例 実数 、 および 複素数 、 は、 -ベクトル空間として無限次元を持つ体です。したがって、これらは数体では ありません。これは、および が 集合 として 不 可算であること から 生じます が、すべての数体は必然的に 可算 です。
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
要素ごとの加算と乗算を伴う有理数の順序 付きペア の 集合は、 上の2 次元 可換代数です 。ただし、 零因子 を持たないため、体ではありません 。
Q
2
{\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
(
1
,
0
)
⋅
(
0
,
1
)
=
(
1
⋅
0
,
0
⋅
1
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(1\cdot 0,0\cdot 1)=(0,0)}
代数性と整数環 一般に、 抽象代数 では、より大きな体のすべての要素が の係数を持つ（非ゼロの） 多項式 の ゼロである 場合 、 体拡大は 代数的で ある 。
K
/
L
{\displaystyle K/L}
f
{\displaystyle f}
K
{\displaystyle K}
e
0
,
…
,
e
m
{\displaystyle e_{0},\ldots ,e_{m}}
L
{\displaystyle L}
p
(
f
)
=
e
m
f
m
+
e
m
−
1
f
m
−
1
+
⋯
+
e
1
f
+
e
0
=
0
{\displaystyle p(f)=e_{m}f^{m}+e_{m-1}f^{m-1}+\cdots +e_{1}f+e_{0}=0}
有限次数の あらゆる体拡大は 代数的です。(証明: におけるについて 、 単に とみなすと 、線型従属、つまり の 根である多項式が得られます。) 特にこれは代数体に適用されるため、 代数体 の任意の元は 有理係数を持つ多項式の零点として表すことができます。したがって、 の元は 代数数 とも呼ばれます。 と なる 多項式が与えられた場合、必要であればすべての係数をそれで割ることで 、主係数が 1 になるように配置できます。この特性を持つ多項式は、 モニック多項式 として知られています 。一般に、これは有理係数を持ちます。
x
{\displaystyle x}
K
{\displaystyle K}
1
,
x
,
x
2
,
x
3
,
…
{\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
p
{\displaystyle p}
p
(
f
)
=
0
{\displaystyle p(f)=0}
e
m
{\displaystyle e_{m}}
しかし、単項多項式の係数が実際にはすべて整数である場合、は 代数的整数 と呼ばれます 。
f
{\displaystyle f}
任意の（通常の）整数は 代数的整数であり、線形モニック多項式のゼロである。
z
∈
Z
{\displaystyle z\in \mathbb {Z} }
p
(
t
)
=
t
−
z
{\displaystyle p(t)=t-z}
。 有理数でもある任意の代数的整数は実際には整数でなければならないことが示され、これが「代数的整数」という名前です。 再び抽象代数、具体的には 有限生成モジュール の概念を使用すると、任意の 2 つの代数的整数の和と積は依然として代数的整数であることが示されます。 したがって、 の代数的整数は の 整数環 と呼ばれるで 示される 環を 形成します 。 これはの 部分環 です(つまり、 に含まれる環です) 。 体には 零因子 が含まれず、この特性は任意の部分環に継承されるため、 の整数環は 整域 です 。 体は、 整域の 分数体 です 。 このようにして、代数体 とその整数環の間を行ったり来たりすることができます 。 代数的整数の環には、3 つの顕著な特性があります。第 1 に、は 分数体 で 整閉されている 整域です 。 第 2 に、は ネーター環 です 。最後に、 の非ゼロの 素イデアル はすべて 最大で ある か、または、同値として、この環の クルル次元は 1 です。これら 3 つの特性を持つ抽象可換環は、代数的整数の環を詳細に研究した
リチャード・デデキント にちなんで、 デデキント環 (または デデキント領域 )と呼ばれます。
K
{\displaystyle K}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
K
{\displaystyle K}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
K
{\displaystyle K}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
一意因数分解 一般的な デデキント環 、特に整数環では、 イデアルを 素イデアル の積に因数分解する唯一の方法が存在する 。例えば、 2次整数環 の イデアルは 次のように素イデアルに因数分解される
。
(
6
)
{\displaystyle (6)}
Z
[
−
5
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}
(
6
)
=
(
2
,
1
+
−
5
)
(
2
,
1
−
−
5
)
(
3
,
1
+
−
5
)
(
3
,
1
−
−
5
)
{\displaystyle (6)=(2,1+{\sqrt {-5}})(2,1-{\sqrt {-5}})(3,1+{\sqrt {-5}})(3,1-{\sqrt {-5}})}
しかし、 の整数環とは異なり 、 の適切な拡大の整数環は、 数を素数の積、より正確には素元 に 一意 に因数分解 する必要がない 。これはすでに 2 次整数 に対して起こっており、たとえば では 因数 分解の一意性が失われます。
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
O
Q
(
−
5
)
=
Z
[
−
5
]
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}
6
=
2
⋅
3
=
(
1
+
−
5
)
⋅
(
1
−
−
5
)
{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})}
ノルム を使用すると、 これら2つの因数分解は、因数が において単に 単位 だけ異なるのではないという意味で、実際には非同値であることが示されます 。 ユークリッド領域は、 一意の因数分解領域です。たとえば 、 ガウス整数 の環 や、 アイゼン シュタイン整数 の環 （ は 1の3乗根（1と等しくない））は、この特性を持ちます。 [1]
O
Q
(
−
5
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}}
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [i]}
Z
[
ω
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [\omega ]}
ω
{\displaystyle \omega }
一意の因数分解の失敗は 、一般に hと表記される 類数 、いわゆる 理想類群 の濃度によって測定されます。この群は常に有限です。整数環が 一意の因数分解を持つのは、それが主環である場合、または同値として、 類数が 1 である場合に限り ます。数体が与えられた場合、類数の計算はしばしば困難です。 ガウス に遡る 類数問題 とは、指定された類数を持つ 虚数二次数体 (つまり、 ) の存在に関するものです。 類数公式は、 h を の他の基本的な不変量に 関連付けます 。これには、複素変数 s の関数である デデキントのゼータ関数 ζ (s) が 関係し 、次のように定義されます。
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
K
{\displaystyle K}
Q
(
−
d
)
,
d
≥
1
{\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-d}}),d\geq 1}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
ζ
K
(
s
)
:=
∏
p
1
1
−
N
(
p
)
−
s
.
{\displaystyle \zeta _{K}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}
(積は のすべての素イデアルにわたっており 、 素イデアルのノルム、または同等に、 留数体の元の (有限の) 個数を表します 。 無限積は Re ( s ) > 1 の場合にのみ収束し、一般に、すべての sに対して関数を定義するには、 解析接続 とゼータ関数の 関数方程式 が必要です 。) デデキントゼータ関数は、 リーマンゼータ関数を ζ ( s ) = ζ( s ) として一般化します。
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
N
(
p
)
{\displaystyle N({\mathfrak {p}})}
O
K
/
p
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
類数公式によれば、ζ ( s ) は s = 1で 単極 を持ち、この点で 留数は 次のように与えられる。
K
{\displaystyle K}
2
r
1
⋅
(
2
π
)
r
2
⋅
h
⋅
Reg
w
⋅
|
D
|
.
{\displaystyle {\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.}
ここで、 r 1 と r 2 はそれぞれ 、の 実埋め込み の数と 複素埋め込み の ペアを古典的に表します 。さらに、 Reg は の 調節子 、 w は の 1 の根 の数 、 D は の判別式です 。
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
ディリクレL関数は、 のより洗練された変形です 。 両方のタイプの関数は、それぞれ 、 および の算術的動作をエンコードします。 たとえば、 ディリクレの定理は、任意の 等差数列 において
L
(
χ
,
s
)
{\displaystyle L(\chi ,s)}
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
K
{\displaystyle K}
a
,
a
+
m
,
a
+
2
m
,
…
{\displaystyle a,a+m,a+2m,\ldots }
とが 互いに素 であるとき 、素数は無限に存在する。この定理は、ディリクレ 関数が で非ゼロであるという事実から導かれる。現代数論では、 代数K理論 や 玉川測度 などのはるかに高度な技術を用いて、より一般的な L関数 の値の記述を扱っているが、その大部分は推測に基づくものである（ 玉川数予想を 参照） 。 [2]
a
{\displaystyle a}
m
{\displaystyle m}
L
{\displaystyle L}
s
=
1
{\displaystyle s=1}
数体の基数
積分基底 次数体 の 積分基底 は 集合である
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
B = { b 1 , …, b n } の n個 の代数的整数で、 の 整数環のどの元も B の元の Z 線型結合として一意に表せるもの 。つまり、 の任意
の xに対して、
K
{\displaystyle K}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
K
{\displaystyle K}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
x = m 1 b 1 + ⋯ + m n b n 、 ここで、 m i は （通常の）整数である。また、の任意の要素は次の ように一意に表すことができる。
K
{\displaystyle K}
m 1 b 1 + ⋯ + m n b n 、 ここで、 m i は 有理数です。 の代数的整数は、 m i がすべて整数である の元とまったく同じです 。
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
ローカルで 作業し、 フロベニウス マップ などのツールを使用すると 、常にそのような基底を明示的に計算することができ、現在では、 コンピュータ代数システムに これを行うための組み込みプログラムがあることが標準となっています。
パワーベース を次数 の整数体と する 。 （ -ベクトル空間として見た） のあらゆる可能な基底のうち、特に べき乗基底 と呼ばれるものがあり 、これは次の形式の基底である。
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
K
{\displaystyle K}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
B
x
=
{
1
,
x
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
}
{\displaystyle B_{x}=\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}\}}
ある元 に対して が成り立つ 。 原始元定理 により 、 が存在する。これは 原始元 と呼ばれる 。 が で選択でき、 が 自由 Z 加群の基底となる ような場合 、 は べき積分基底 と呼ばれ 、 は 単元体 と呼ばれる。単元体ではない数体の例は、デデキントによって初めて示された。彼の例は、多項式 [3] の根を付加することによって得られる体である。
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
B
x
{\displaystyle B_{x}}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
B
x
{\displaystyle B_{x}}
K
{\displaystyle K}
x
3
−
x
2
−
2
x
−
8.
{\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8.}
正規表現、トレース、判別式 任意の体拡大は一意の -ベクトル空間構造を持つこと を思い出してください 。 での乗算を使用して、 基底体上の 体の 元は 、次の
ように
行列 で表すことができます 。
ここで、 を -ベクトル空間として見たとき の の固定された基底があります 。 の任意の元は、基底元の 線形結合 として一意に表すことができる ため、有理数は と基底の選択 によって一意に決定されます。 の任意の元に行列を関連付けるこの方法は、 正則表現 と呼ばれます 。 正方行列は、与えられた基底における による乗算の効果を表します。 したがって、 の元が 行列 によって表される場合 、積は 行列積 によって表されます 。 トレース 、 行列式 、 特性多項式 などの行列の 不変量は 、体元にのみ依存し 、基底には依存しません。 特に、行列のトレースは 体元の トレース と呼ばれ 、 と表記され 、行列式は x の ノルム と呼ばれ、 と表記されます 。
K
/
Q
{\displaystyle K/\mathbb {Q} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
K
{\displaystyle K}
x
{\displaystyle x}
K
{\displaystyle K}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
=
A
(
x
)
=
(
a
i
j
)
1
≤
i
,
j
≤
n
{\displaystyle A=A(x)=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}
x
e
i
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
e
j
,
a
i
j
∈
Q
.
{\displaystyle xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbb {Q} .}
e
1
,
…
,
e
n
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}
K
{\displaystyle K}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
x
{\displaystyle x}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle A}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
K
{\displaystyle K}
B
{\displaystyle B}
x
y
{\displaystyle xy}
B
A
{\displaystyle BA}
x
{\displaystyle x}
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
x
{\displaystyle x}
Tr
(
x
)
{\displaystyle {\text{Tr}}(x)}
N
(
x
)
{\displaystyle N(x)}
ここで、代わりに体拡大を考慮し、 の - 基底を与えることで、これを若干一般化することができます 。すると、関連する行列 があり 、そのトレース とノルムは 、行列 のトレースと行列式として定義されます 。
K
/
L
{\displaystyle K/L}
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
A
K
/
L
(
x
)
{\displaystyle A_{K/L}(x)}
Tr
K
/
L
(
x
)
{\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}
N
K
/
L
(
x
)
{\displaystyle {\text{N}}_{K/L}(x)}
A
K
/
L
(
x
)
{\displaystyle A_{K/L}(x)}
例 となる 体の拡大について考えます 。すると、任意の が何らかの -線形結合 として表現できる ため、 によって与えられる -基底が得られます。 すると、 となる を取って を計算できます 。 これ を書き出すと次のようになります。 関連する行列方程式を書き出すことで、次の
行列を求めることができます 。
すると、次のようになります。 次に、比較的簡単にトレースと行列式を計算して、トレースとノルムを得ることができます。
Q
(
θ
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}
θ
=
ζ
3
2
3
{\displaystyle \theta =\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
{
1
,
ζ
3
2
3
,
ζ
3
2
2
2
3
}
{\displaystyle \{1,\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}\}}
x
∈
Q
(
θ
)
{\displaystyle x\in \mathbb {Q} (\theta )}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
a
+
b
ζ
3
2
3
+
c
ζ
3
2
2
2
3
=
a
+
b
θ
+
c
θ
2
{\displaystyle a+b\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}+c\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}=a+b\theta +c\theta ^{2}}
y
∈
Q
(
θ
)
{\displaystyle y\in \mathbb {Q} (\theta )}
y
=
y
0
+
y
1
θ
+
y
2
θ
2
{\displaystyle y=y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2}}
x
⋅
y
{\displaystyle x\cdot y}
a
(
y
0
+
y
1
θ
+
y
2
θ
2
)
+
b
(
2
y
2
+
y
0
θ
+
y
1
θ
2
)
+
c
(
2
y
1
+
2
y
2
θ
+
y
0
θ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a(y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2})+\\b(2y_{2}+y_{0}\theta +y_{1}\theta ^{2})+\\c(2y_{1}+2y_{2}\theta +y_{0}\theta ^{2})\end{aligned}}}
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
[
y
0
y
1
y
2
]
=
[
a
y
0
+
2
c
y
1
+
2
b
y
2
b
y
0
+
a
y
1
+
2
c
y
2
c
y
0
+
b
y
1
+
a
y
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ay_{0}+2cy_{1}+2by_{2}\\by_{0}+ay_{1}+2cy_{2}\\cy_{0}+by_{1}+ay_{2}\end{bmatrix}}}
A
(
x
)
=
[
a
2
c
2
b
b
a
2
c
c
b
a
]
{\displaystyle A(x)={\begin{bmatrix}a&2c&2b\\b&a&2c\\c&b&a\end{bmatrix}}}
プロパティ 定義により、トレースと行列の行列式の標準的な特性は Tr と N に引き継がれます。Tr( x ) は x の 線形関数で、 Tr( x + y ) = Tr( x ) + Tr( y ) 、 Tr( λx ) = λ Tr( x ) と表され 、ノルムは n 次の乗法 同次関数 です: N( xy ) = N( x ) N( y ) 、 N( λx ) = λ n N( x ) 。ここで λ は 有理数で、 x 、 y は の任意の 2 つの要素です 。
K
{\displaystyle K}
導出される トレース形式 は、 トレースによって定義される
双線形形式 であり、によって定義されます 。 整数値の対称 行列である積分 トレース形式は として定義されます。 ここで、 b 1 , ..., b n は の積分基底です 。 の 判別式 はdet( t )として定義されます。これは整数であり、 積分基底の選択に左右されない、
体 の不変特性です。
T
r
K
/
L
:
K
⊗
L
K
→
L
{\displaystyle Tr_{K/L}:K\otimes _{L}K\to L}
T
r
K
/
L
(
x
⊗
y
)
=
T
r
K
/
L
(
x
⋅
y
)
{\displaystyle Tr_{K/L}(x\otimes y)=Tr_{K/L}(x\cdot y)}
Tr
K
/
L
(
x
)
{\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}
t
i
j
=
Tr
K
/
Q
(
b
i
b
j
)
{\displaystyle t_{ij}={\text{Tr}}_{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
の 元 x に関連付けられた行列は、代数的整数の他の同等の記述を与えるためにも使用できます。 の元 xは、 x に関連付けられた 行列 A の特性多項式 p A が整数係数のモニック多項式である場合に限り、代数的整数です。元 x を 表す行列 A が 、何らかの基底 e に整数要素を持つとします。 ケーリー・ハミルトンの定理 により、 p A ( A ) = 0 となり、 p A ( x ) = 0となる ため、 x は 代数的整数です。 逆に、 x が 整数係数のモニック多項式の根であるの元である場合、対応する行列 A に同じ特性が当てはまります。 この場合、 A は の適切な基底における 整数行列 である ことが証明できます 。 の基底の選択とは無関係に、 代数的整数であるという特性が 定義されます 。
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
積分基底の例 を考える 。ここで x は x 3 − 11 x 2 + x + 1 = 0 を 満たす 。このとき積分基底は [1, x , 1/2( x 2 + 1)] であり、対応する積分トレース形式は
K
=
Q
(
x
)
{\displaystyle K=\mathbb {Q} (x)}
[
3
11
61
11
119
653
61
653
3589
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.}
この行列の左上隅にある「3」は、 の正規表現における最初の基底要素 (1) によって定義されるマップの行列のトレースです 。 この 基底要素は、3 次元ベクトル空間 上の恒等マップを誘導します。3 次元 ベクトル空間上の恒等マップの行列のトレースは 3 です。
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
この行列式は 1304 = 2 3 ·163 、つまり体判別式です。比較すると、 ルート判別式 、つまり多項式の判別式は 5216 = 2 5 ·163 です。
場所 19世紀の数学者は代数的数は複素数の一種であると仮定しました。 [4] [5]この状況は、1897年に ヘンゼル が p進数 を発見したことで変わりました 。現在では、数体の さまざまな位相 完備化 へのさまざまな可能な埋め込みをすべて一度に考慮することが標準となっています。
K
{\displaystyle K}
K
p
{\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}
数体の 場所 は 、 [6] 9ページ 上の 絶対値 の同値類です。本質的に、絶対値は の 要素の大きさを測定する概念です 。 そのような2つの絶対値は、同じ小ささ(または近接性)の概念を生み出す場合、同等であるとみなされます。絶対値間の同値関係は、 ノルムの値 を- 乗することを意味する 、 となるような ものによって与えられます 。
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
x
{\displaystyle x}
K
{\displaystyle K}
|
⋅
|
0
∼
|
⋅
|
1
{\displaystyle |\cdot |_{0}\sim |\cdot |_{1}}
λ
∈
R
>
0
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{>0}}
|
⋅
|
0
=
|
⋅
|
1
λ
{\displaystyle |\cdot |_{0}=|\cdot |_{1}^{\lambda }}
|
⋅
|
1
{\displaystyle |\cdot |_{1}}
λ
{\displaystyle \lambda }
一般に、場所の種類は 3 つの領域に分類されます。1 番目 (ほとんどは無関係) は、 すべての非ゼロ で 値を取る自明な絶対値 | | 0です 。2 番目と 3 番目のクラスは、 アルキメデスの場所 と 非アルキメデス (または超距離的) の場所 です。場所に関する の 完備化は 、どちらの場合も、 を コーシー列 で取り、 ヌル列 、つまり が無限大に近づく ときに がゼロに近づくよう な列 を で割ることによって与えられます。これは再び体 、 つまり と表記される 特定の場所 での のいわゆる完備化であることが示されます 。
1
{\displaystyle 1}
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
K
{\displaystyle K}
|
⋅
|
p
{\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}
K
{\displaystyle K}
{
x
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
|
x
n
|
p
→
0
{\displaystyle |x_{n}|_{\mathfrak {p}}\to 0}
n
{\displaystyle n}
K
{\displaystyle K}
|
⋅
|
p
{\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}
K
p
{\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}
に対して 、 以下の非自明なノルムが成立する（ オストロフスキーの定理 ）：（通常の） 絶対値 は と表記されることもあり、 実数 の完全な 位相体 を生じる 。 一方、任意の素数 に対して 、 p 進 絶対値は次のように定義される。
K
=
Q
{\displaystyle K=\mathbb {Q} }
|
⋅
|
∞
{\displaystyle |\cdot |_{\infty }}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
p
{\displaystyle p}
| q | p = p − n 、ただし q = p n a / b であり、 a と b は p で割り切れない整数です 。 これは-進数 を 構築するために使用されます 。 通常の絶対値とは対照的に、 p 進絶対値は q に p を 掛けると 小さく なり 、と比較して の挙動がまったく異なります 。
p
{\displaystyle p}
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
一般的に考慮される一般的な状況は、数体を取り 、 それに関連付けられた 代数的数の環に対する 素イデアルを検討することであることに注意してください 。 すると、非アルキメデス的場所と呼ばれる一意の場所が存在します。 さらに、すべての埋め込みに対して、 アルキメデス的場所と呼ばれる場所が存在し、 と表記されます 。このステートメントは、 オストロフスキーの定理 とも呼ばれる定理です 。
K
{\displaystyle K}
p
∈
Spec
(
O
K
)
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
|
⋅
|
p
:
K
→
R
≥
0
{\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}
σ
:
K
→
C
{\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }
|
⋅
|
σ
:
K
→
R
≥
0
{\displaystyle |\cdot |_{\sigma }:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}
例 が固定された6乗根で ある体 に は、明示的な実数および複素数のアルキメデス埋め込み、さらに非アルキメデス埋め込みを構築するための豊富な例が与えられます [6] 15-16ページ 。
K
=
Q
[
x
]
/
(
x
6
−
2
)
=
Q
(
θ
)
{\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )}
θ
=
ζ
2
6
{\displaystyle \theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}}
ζ
{\displaystyle \zeta }
アルキメデスの場所 ここでは、使用される実数および複素数の埋め込みの数を表す標準表記法 とを それぞれ使用します (下記参照)。
r
1
{\displaystyle r_{1}}
r
2
{\displaystyle r_{2}}
数体のアルキメデスの場所の計算は 次のように行われます。を、 （ に対して） 最小の多項式を持つ の原始元とします 。 に対して 、 は一般に既約ではなくなりますが、その既約（実）因数は次数 1 または 2 のいずれかです。 重複根がないため、重複因数はありません。 次数 1 の因数の根は必然的に実数であり、 を で置き換えると の へ の埋め込みが得られます 。このような埋め込みの数は、 の実根の数に等しくなります 。 上の標準絶対値 を に制限すると、 上のアルキメデスの絶対値が得られます。このような絶対値は の 実場所 とも呼ばれます 。 一方、次数 2 の因数の根は 共役 複素数のペアであるため、 への 2 つの共役埋め込みが可能になります 。 この埋め込みのペアのいずれかを使用して 上の絶対値を定義することができ 、両方の埋め込みが共役であるため、この値は両方の埋め込みで同じになります。この絶対値は の 複素場所 と呼ばれます。 [7] [8]
K
{\displaystyle K}
x
{\displaystyle x}
K
{\displaystyle K}
f
{\displaystyle f}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
r
{\displaystyle r}
x
{\displaystyle x}
r
{\displaystyle r}
K
{\displaystyle K}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
上記の のすべての根が 実数（それぞれ複素数）であるか、または同等に、任意の可能な埋め込み が実際に の内側に強制される場合 （それぞれ ）、は 完全に実数 （それぞれ 完全に複素数 ）と呼ばれます 。 [9] [10]
f
{\displaystyle f}
K
⊆
C
{\displaystyle K\subseteq \mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
K
{\displaystyle K}
非アルキメデス的または超距離的場所 非アルキメデスの場所を見つけるには、再び 、 と を上記のように仮定します。 では 、 はさまざまな次数の因数に分割され、それらの因数はいずれも重複せず、 の次数を合計すると 、 の次数になります 。 これら の -進既約因数 のそれぞれについて 、 が を満たすと 仮定して、 上の有限次数の代数拡大へ の の埋め込みを得ることができます 。 このような 局所体は 多くの点で数体のように動作し、 -進数は同様に有理数の役割を果たすことができます。特に、ノルムとトレースをまったく同じ方法で定義して、 にマッピングする関数を与えることができます 。 の場所に対する この -進ノルムマップを使用することで、 の次数 の与え られた -進既 約因数 に対応する絶対値を によって定義できます。 このような絶対値はの 超計量 、非アルキメデス 、または -進場所と呼ばれます 。
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
f
{\displaystyle f}
n
{\displaystyle n}
f
{\displaystyle f}
p
{\displaystyle p}
f
i
{\displaystyle f_{i}}
x
{\displaystyle x}
f
i
{\displaystyle f_{i}}
K
{\displaystyle K}
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
p
{\displaystyle p}
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
p
{\displaystyle p}
N
f
i
{\displaystyle N_{f_{i}}}
f
i
{\displaystyle f_{i}}
p
{\displaystyle p}
f
i
{\displaystyle f_{i}}
m
{\displaystyle m}
|
y
|
f
i
=
|
N
f
i
(
y
)
|
p
1
/
m
{\displaystyle |y|_{f_{i}}=|N_{f_{i}}(y)|_{p}^{1/m}}
p
{\displaystyle p}
K
{\displaystyle K}
任意の超距離的位置 v について、内の任意の xに対して | x | v ≤ 1 が 成り立ちます 。これは、 x の最小多項式には 整数因数があり、したがってその p進因数分解には Z p 内の因数があるためです 。したがって、各因数のノルム項 (定数項) は p進整数であり、これらのうちの 1 つが v の絶対値を定義するために使用される整数です 。
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
最高の理想 わかりまし た 超距離的位置 v に対して、 | x | v < 1で定義される の部分集合は の イデアルです 。これは v の超距離性に依存しています 。 における x と y が 与えられている場合
、
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
| x + y | v ≤ max (| x | v , |y| v ) < 1 です。 実は、は 素理想 でもあります 。
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
逆に、の 素イデアルが与えられた場合 、 離散 評価は を設定することによって定義できます。ここで、 n は、 となる最大の整数 で 、 はイデアルのn 倍 のべき乗です。この評価は、超距離的場所に変換できます。この対応では、 の超距離的場所の (同値類) は、 の素イデアルに対応します 。 の場合 、 これはオストロフスキーの定理に戻ります。Z の任意の素イデアル ( これは必ず単一の素数によって決まります) は、非アルキメデス的場所に対応し、その逆も同様です。ただし、より一般的な数体の場合、状況はより複雑になります。これについては、以下で説明します。
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
v
p
(
x
)
=
n
{\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=n}
x
∈
p
n
{\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}^{n}}
K
{\displaystyle K}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
K
=
Q
{\displaystyle K=\mathbb {Q} }
超距離的場所を記述するさらに別の同等の方法は、の 局所化 を使用することです 。 数体 上の 超距離的場所が与えられた場合 、 対応する局所化は、 | x | v ≤ 1 となるすべての元の の 部分環です。 超距離的性質により 、 は環です。さらに、 は を含みます 。 のすべての元 x に対して 、 少なくとも x または x −1 の 1 つが に含まれます 。 実際には、 K × / T × は 整数に同型であることが示されるため、 は 離散値環 、特に 局所環 です。実際には、は 素イデアル における の局所化にすぎないため 、 です 。 逆に、 は の最大イデアルです 。
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
v
{\displaystyle v}
K
{\displaystyle K}
T
{\displaystyle T}
K
{\displaystyle K}
x
{\displaystyle x}
T
{\displaystyle T}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
K
{\displaystyle K}
T
{\displaystyle T}
T
{\displaystyle T}
T
{\displaystyle T}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
T
=
O
K
,
p
{\displaystyle T={\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
T
{\displaystyle T}
全体として、超距離的絶対値、素イデアル、および数体上の局所化の間には 3 方向の同値性があります。
定理と場所の上に横たわる 代数的整数論における基本的な定理のいくつかに、 上昇定理と下降定理が あります。これらは、ある素イデアルが 何らかの体拡大 に対して の イデアルとして拡大された場合のその振る舞いを記述します 。 の場合、 イデアルは 上にあるといいます。次に、この定理の 1 つの具体化は、 の素イデアルが 上にあることを述べています 。 したがって 、 の 包含 から誘導される 全射写像が常に存在します 。 場所と素イデアルの間には対応関係があるため、体拡大 から誘導される場所を分割する場所を見つけることができることを意味します。つまり、 が の場所である場合 、 を分割する の 場所が存在し 、 これは、それらの誘導された素イデアルが におけるの誘導された素イデアルを分割するという意味です 。
実際、この観察は、 の代数体拡大の 1 つのその完備化 への基底変換を見るときに役立ちます [ 6 ] pg 13。 の誘導された元 について と 書き 、 と書くと 、 の分解が得られます 。 明示的に、この分解は であり、さらに、 ヘンゼルの補題 [11] pg 129-131 により 、誘導多項式は として分解されます 。したがって です。さらに、 が の根で ある場合に となる 埋め込みがあり、 となります。したがって の部分集合 として 書くことができます (これは の代数的閉包の完備化です )。
p
∈
Spec
(
O
K
)
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
o
⊂
O
L
{\displaystyle {\mathfrak {o}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
o
∩
O
K
=
p
{\displaystyle {\mathfrak {o}}\cap {\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}}
Spec
(
O
L
)
{\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
Spec
(
O
L
)
→
Spec
(
O
K
)
{\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}
O
K
↪
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow {\mathcal {O}}_{L}}
p
{\displaystyle p}
K
{\displaystyle K}
v
{\displaystyle v}
L
{\displaystyle L}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
Spec
(
O
L
)
{\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
K
=
Q
[
X
]
Q
(
X
)
{\displaystyle K={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}}
θ
{\displaystyle \theta }
X
∈
K
{\displaystyle X\in K}
K
⊗
Q
Q
p
{\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}}
K
⊗
Q
Q
p
=
Q
[
X
]
Q
(
X
)
⊗
Q
Q
p
=
Q
p
[
X
]
Q
(
X
)
{\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}\\&={\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{Q(X)}}\end{aligned}}}
Q
(
X
)
∈
Q
p
[
X
]
{\displaystyle Q(X)\in \mathbb {Q} _{p}[X]}
Q
(
X
)
=
∏
v
|
p
Q
v
{\displaystyle Q(X)=\prod _{v|p}Q_{v}}
K
⊗
Q
Q
p
≅
Q
p
[
X
]
∏
v
|
p
Q
v
(
X
)
≅
⨁
v
|
p
K
v
{\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&\cong {\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{\prod _{v|p}Q_{v}(X)}}\\&\cong \bigoplus _{v|p}K_{v}\end{aligned}}}
i
v
:
K
→
K
v
θ
↦
θ
v
{\displaystyle {\begin{aligned}i_{v}:&K\to K_{v}\\&\theta \mapsto \theta _{v}\end{aligned}}}
θ
v
{\displaystyle \theta _{v}}
Q
v
{\displaystyle Q_{v}}
K
v
=
Q
p
(
θ
v
)
{\displaystyle K_{v}=\mathbb {Q} _{p}(\theta _{v})}
K
v
=
i
v
(
K
)
Q
p
{\displaystyle K_{v}=i_{v}(K)\mathbb {Q} _{p}}
C
p
{\displaystyle \mathbb {C} _{p}}
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
分岐 分岐の概略図:以下の Y のほぼすべての点の繊維は3 つの点から構成されます。ただし、点でマークされた Y の 2 つの点の繊維はそれぞれ 1 つの点と 2 つの点 (黒でマーク) から構成されます。写像 f は、 Y のこれらの点において分岐していると言えます 。 一般的に言えば、分岐は 有限対1写像（つまり、 Y 内の すべての点 y の原 像 が有限個の点のみで構成される写像）で発生する幾何学的現象を表します。 ファイバー f −1 ( y )の濃度は通常同じ数の点を持ちますが、特別な点 y ではこの数が減少することがあります。たとえば、写像
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
C
→
C
,
z
↦
z
n
{\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto z^{n}}
は、 t 上の各ファイバーに n 個の点、つまり tの n 個の（複素）根を 持ちます。ただし、 t = 0 の場合は 、ファイバーは 1 つの要素 z = 0 のみで構成されます。この写像はゼロで「分岐」していると言われています。これは、 リーマン面 の 分岐被覆の例です。この直感は 、代数的整数論における分岐 の定義にも役立ちます 。数体の（必然的に有限の）拡大が与えられた場合 、 の素イデアル p は の イデアル pO K を生成します。 このイデアルは素イデアルである場合もそうでない場合もありますが、ラスカー・ノイザーの定理（上記を参照）によれば、常に次のように与えられます。
K
/
L
{\displaystyle K/L}
O
L
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
pO = q 1 e 1 q 2 e 2 ⋯ q m e m
K
{\displaystyle K}
一意に定まった素イデアル q i と 数 (分岐指数と呼ばれる) e i を 持ちます。1 つの分岐指数が 1 より大きいときはいつでも、素数 p は で分岐すると言われます 。
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
K
{\displaystyle K}
この定義と幾何学的状況の関係は、環の スペクトル の写像によって表されます 。 実際、 代数幾何学 における スキーム の 非分岐射は 、数体の非分岐拡大の直接的な一般化です。
S
p
e
c
O
K
→
S
p
e
c
O
L
{\displaystyle \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\to \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{L}}
分岐は純粋に局所的な性質であり、つまり素数 p と q i の 周りの完備化にのみ依存します。 慣性群は、 ある場所の局所ガロア群と、関係する有限剰余体のガロア群との差を測定します。
例 次の例は、上で紹介した概念を示しています。の
分岐指数を計算するには 、
Q
(
x
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (x)}
f ( x ) = x 3 − x − 1 = 0, 23では、体拡大を考慮するだけで十分である 。529 = 23 2 (すなわち、 529を 法とする ) まで fは 次のように因数分解できる
。
Q
23
(
x
)
/
Q
23
{\displaystyle \mathbb {Q} _{23}(x)/\mathbb {Q} _{23}}
f ( x ) = ( x + 181)( x 2 − 181 x − 38) = gh . 最初の因数 gに x = y + 10 を代入して 529を法とすると y + 191となるので、 g によって与えられる y の 評価| y | g は| −191 | 23 = 1となる。一方、 h に同じ代入をすると y 2 − 161 y − 161を法として529と なる。161 = 7 × 23なので、
|
y
|
h
=
|
161
|
23
=
1
23
{\displaystyle \left\vert y\right\vert _{h}={\sqrt {\left\vert 161\right\vert }}_{23}={\frac {1}{\sqrt {23}}}}
因子h によって定義される場所の絶対値の可能な値は 23 の整数乗に限定されず、23 の平方根の整数乗であるため、23 での体拡張の分岐指数は 2 です。
の任意の要素の評価は 、結果 を使用してこの方法で計算できます 。たとえば、 y = x 2 − x − 1 の場合、結果を使用して この関係と f = x 3 − x − 1 = 0 の間で x を消去すると、 y 3 − 5 y 2 + 4 y − 1 = 0 が得られます。代わりに、 f の因数 g と hに関して を消去すると、 y の多項式の対応する因数が得られ、次に定数（ノルム）項に適用された 23 進の評価により、 g と h （この例では両方とも 1）
に対する y の評価を計算できます。
K
{\displaystyle K}
デデキントの判別定理 判別式の重要性の多くは、分岐した超距離位数が、 判別式を p で 割り切る因数分解から得られるすべての位数であるという事実にあります。これは多項式判別式についても当てはまります。しかし、逆もまた真で、素数 p が判別式を割り切る場合、分岐する p 位数があります 。この逆を行うには、体判別式が必要です。これが デデキントの判別式定理 です。上の例では、 x 3 − x − 1 = 0の数体の判別式は −23 であり、すでに見たように 23 進位数は分岐します。デデキントの判別式は、それが分岐する唯一の超距離位数であることを示しています。もう 1 つの分岐位数は、 の複素埋め込みの絶対値から得られます 。
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
Q
(
x
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (x)}
K
{\displaystyle K}
ガロア群とガロアコホモロジー 一般に抽象代数学では、体拡大 K / L は 、要素ごとに固定された 体自己同型からなる ガロア群 Gal( K / L ) を調べることによって研究できます 。例として、次数 n の円分体拡大のガロア群 (上記参照) は、 Z / n Z の可逆な元の群である ( Z / n Z ) ×で与えられます。これが 岩澤理論 への第一歩です 。
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
G
a
l
(
Q
(
ζ
n
)
/
Q
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}
特定の特性を持つすべての可能な拡大を含めるために、ガロア群の概念は一般に 代数的閉包 の（無限）体拡大 K / K に適用され、 絶対ガロア群 G := Gal( K / K ) または単に Gal( K )、および拡大 につながります 。 ガロア理論の基本定理は 、間の体とその代数的閉包および Gal( K )の閉じた部分群を結び付けます 。たとえば、 G の アーベル化 （最大のアーベル商） G abは、最大 アーベル拡大 K ab と呼ばれる体に対応します （このように呼ばれるのは、それ以上の拡大はアーベルではない、つまり、アーベルガロア群を持たないためです）。 クロネッカー–ウェーバーの定理 により、 の最大アーベル拡大は 1 のすべての根 によって生成される拡大です 。より一般的な数体については、 類体理論 、特に アルティンの相互法則が、 イデアル類群 を用いて G ab を 記述することによって答えを与えます 。また 、 の最大アーベル不分岐体拡大である ヒルベルト類体 も注目に値します。これは 上で有限であることが示され 、 上のそのガロア群は の類群と同型であり 、特にその次数は の類数 h に等しくなります(上記を参照)。
K
/
Q
{\displaystyle K/\mathbb {Q} }
K
{\displaystyle K}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
特定の状況では、ガロア群は 他の数学的対象、たとえば群に 作用します 。そのような群はガロア加群とも呼ばれます。これにより、ガロア群 Gal( K ) の 群コホモロジー ( ガロアコホモロジー とも呼ばれます)の使用が可能になります 。これは、まず第一に Gal( K ) 不変量の正確性の失敗を測定しますが、より深い洞察 (および質問) も提供します。たとえば、 体拡大 L / Kのガロア群 Gは、 L の非ゼロ元 L × に作用します。このガロア加群は、 ポワトゥ-テイト双対性 など、 多くの算術 双対性 で重要な役割を果たします。 の Brauer 群は 、 もともと 上の 除算代数 を分類するために考え出されましたが、コホモロジー群、つまり H 2 (Gal ( K , K × ))
として書き直すことができます。
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
ローカル・グローバル原則 一般的に言えば、「ローカルからグローバルへ」という用語は、グローバルな問題がまずローカル レベルで解決され、問題が単純化される傾向があるという考え方を指します。その後、もちろん、ローカル分析で得られた情報をまとめて、グローバルなステートメントに戻す必要があります。たとえば、層の概念は、 位相 幾何学 と 幾何学 でその考え方を具体化します 。
ローカルフィールドとグローバルフィールド 数体は、代数幾何学 でよく使われる別の種類の体、 つまり 有限体 上の 代数曲線 の 函数体 と非常によく似ています。一例として、 K p ( T ) が挙げられます。これらは多くの点で類似しており、たとえば、数環は 1 次元の正則環であり、曲線の 座標環 (その商体が問題の函数体) も同様です。したがって、どちらのタイプの体も グローバル体 と呼ばれます。上で説明した考え方に従えば、まずローカル レベルで、つまり対応する ローカル体 を調べることによって研究することができます。数体の場合 、 ローカル体とは、アルキメデスのものも含め、すべての場所での の完備化です( ローカル解析を 参照)。函数体の場合、ローカル体とは、函数体の曲線のすべての点でのローカル環の完備化です。
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
関数体に対して有効な結果の多くは、少なくとも適切に再定式化すれば、数体に対しても成立します。しかし、数体の研究では、関数体では遭遇しない困難や現象がしばしば生じます。たとえば、関数体では、非アルキメデス的場所とアルキメデス的場所の二分法は存在しません。それでも、関数体は、数体の場合に何を期待すべきかという直感の源となることがよくあります。
ハッセ原理 大域レベルで提起される典型的な質問は、ある多項式方程式が で解を持つかどうかです 。 この場合、この解はすべての完備化における解でもあります。 局所-大域原理 またはハッセ原理は、2 次方程式の場合、その逆も成り立つと主張しています。したがって、そのような方程式が解を持つかどうかの確認は 、 のすべての完備化に対して実行でき、解析的手法 (アルキメデスの 場所での 中間値定理や非アルキメデスの場所での p 進解析 などの古典的な解析ツール) を使用できるため、多くの場合より簡単です。ただし、この含意は、より一般的なタイプの方程式には当てはまりません。ただし、局所データから大域データに移行するというアイデアは、クラス体理論では有益であることが証明されています。たとえば、 局所クラス体理論は、上記の大域的な洞察を得るために使用されます。これは、完備化 K v のガロア群は明示的に決定できるのに対し 、 のガロア群でさえ、大域体のガロア群ははるかに理解されていないという事実にも関連しています 。
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
アデルスとイデルス に付随するすべての局所体に関する局所データを組み立てるために 、 アデール 環 が設定されます。乗法的な変形は イデール と呼ばれます。
K
{\displaystyle K}
参照
一般化
代数的整数論
類体理論
注記
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![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7679d6634d4f3ba8397144e5540e806e8160ef)
![{\displaystyle \mathbf {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a617cf5867f951fefb72f3ab7278e0f6f1eedd)
![{\displaystyle \mathbf {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0932b22f32aa89b10ed7ae60a65c5c3250ed01c)
![{\displaystyle \theta =\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6ee9e10065b633def711f392ebc85ae9635079)
![{\displaystyle \{1,\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2} }}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6501115d758cb5a30d65e76a4dfe1d47d6f9ba5b)
![{\displaystyle a+b\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}+c\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}=a+b\theta +c\theta ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47152325e64119d31924a03981dc491947a43aa)
![{\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f0f36ce0574c51b55389ccfb6755c8649f2f8c)
![{\displaystyle \theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6c8d8053451aeb5549a4ba58a2374fe032195c)
![{\displaystyle K={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecfa38b8ed43b0a80fd8504cf46f676a3bc42a9d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}\\&={\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{Q(X)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8855f9403c8ed47bfe8070eceb2f1236df18a827)
![{\displaystyle Q(X)\in \mathbb {Q} _{p}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5773e172bbebbff6a4775249758941eae96357d1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&\cong {\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{\prod _{v|p}Q_{v}(X)}}\\&\cong \bigoplus _{v|p}K_{v}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2706317a7d23540c47a1ed0e892eb970bf971a30)
