単一遺伝子フィールド

数学において、単生成体とは、代数体 Kの元aが存在し、整数環 O _KがKの部分環Z [ a ]でaによって生成される場合、O _Kは多項式環Z [ X ]の商であり、 aの累乗は累乗積分基底を構成する。

一原始体Kでは、Kの体判別式は α の最小多項式の判別式に等しい。

単一遺伝子フィールドの例には次のものがあります。

• 二次方程式:

平方根のない整数の場合、d  ≡ 1 (mod 4)であり、 d ≡ 2 または 3 (mod 4) である場合です。${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle d}$${\displaystyle O_{K}=\mathbf {Z} [a]}$${\displaystyle a=(1+{\sqrt {d}})/2}$${\displaystyle a={\sqrt {d}}}$

• 円分体:

が単位根である場合、また、最大の実数部分体は単素であり、整数の環を持ちます。${\displaystyle K=\mathbf {Q} (\zeta )}$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle O_{K}=\mathbf {Z} [\zeta ].}$${\displaystyle \mathbf {Q} (\zeta )^{+}=\mathbf {Q} (\zeta +\zeta ^{-1})}$${\displaystyle \mathbf {Z} [\zeta +\zeta ^{-1}]}$

すべての二次体は一元体ですが、三次体の中には一元体ではないものがすでに多数存在します。一元体ではない数体の最初の例は、リチャード・デデキントによる多項式 の根によって生成される三次体です。 ${\displaystyle X^{3}-X^{2}-2X-8}$

• Narkiewicz, Władysław (2004).代数的数の基本および解析理論(第 3 版). Springer-Verlag . p. 64. ISBN 3-540-21902-1.ZBL1159.11039  。​
• ガール、イシュトヴァーン (2002)。ディオファントス方程式とべき乗積分基底。マサチューセッツ州ボストン: Birkhäuser Verlag。ISBN 978-0-8176-4271-6.ZBL1016.11059  。​