超距離空間

数学において、超距離空間とは、三角不等式が強化された距離空間のことである。$\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$すべての人々のために${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、 そして${\displaystyle z}$関連する計量は、非アルキメデス計量または超計量と呼ばれることもあります。

集合上の超距離${\displaystyle M}$は実数値関数です

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

（どこ${\displaystyle \mathbb {R} }$は実数を表す)、すべてのに対して${\displaystyle x,y,z\in M}$:

1. $\displaystyle d(x,y)\geq 0$等号は、${\displaystyle x=y}$（非退化性）
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$（対称性）
3. $\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}}$（強い三角形不等式または超距離不等式）。

超距離空間はペアである${\displaystyle (M,d)}$一連の${\displaystyle M}$超計測器とともに${\displaystyle d}$の上${\displaystyle M}$これは、空間に関連付けられた距離関数（メトリックとも呼ばれる）と呼ばれます。

もし${\displaystyle d}$すべての条件を満たすが、条件 1 の「～の場合に限る」が「～ならば」に弱められる。${\displaystyle d}$超擬似計測と呼ばれる${\displaystyle M}$超擬似距離空間はペアである。${\displaystyle (M,d)}$一連の${\displaystyle M}$超擬似計測${\displaystyle d}$の上${\displaystyle M}$[ ^{1 ]​}

の場合${\displaystyle M}$はアーベル群（加法的に表記）であり、${\displaystyle d}$長さ関数によって生成されます${\displaystyle \|\cdot \|}$ （となることによって${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|}$) 最後の特性は、クルルシャープニングを使用して強化することができます。

$\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$等号で${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$。

私たちは、もし$\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$等号が成立するのは${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$一般性を失うことなく、次のように仮定しましょう。${\displaystyle \|x\|>\|y\|.}$これは、${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|}$しかし、計算することもできます${\displaystyle \|x\|=\|(x+y)-y\|\leq \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$.さて、その値は${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$できない${\displaystyle \|y\|}$なぜなら、もしそうであれば、${\displaystyle \|x\|\leq \|y\|}$当初の想定とは反対に、${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}=\|x+y\|}$、 そして${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|}$。最初の不等式を用いると、次のようになる。${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|}$そのため${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|}$。

上記の定義から、超距離のいくつかの典型的な性質を結論付けることができる。例えば、すべての${\displaystyle x,y,z\in M}$少なくとも3つの等式のうち1つ${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$または${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$または${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$が成り立つ。つまり、空間内の任意の3点の組は二等辺三角形を形成するので、空間全体は二等辺集合である。

半径の（開いた）球を定義する${\displaystyle r>0}$中心は${\displaystyle x\in M}$として${\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}$以下のような特性があります。

• 球の内部のすべての点は、その中心の 1 つです。つまり、${\displaystyle d(x,y)<r}$それから${\displaystyle B(x;r)=B(y;r)}$。
• 交差する球は互いに内包されている、つまり${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$空でない場合、${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$または${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$。
• 厳密に正の半径を持つすべての球は、誘導位相において開集合かつ閉集合である。つまり、開球は閉球でもあり、閉球（${\displaystyle <}$と${\displaystyle \leq }$も営業しています。
• 半径が一定の開いた球の集合${\displaystyle r}$そして半径の閉じた球の中心${\displaystyle r>0}$は後者の分割を形成し、2つの異なる開いた球の相互距離は（より大きいか）等しい。${\displaystyle r}$。

これらの命題を証明することは、有益な演習です。^{[ 2 ]}これらはすべて、超距離三角形不等式から直接導かれます。2番目の命題により、球には距離がゼロでない中心点が複数存在する可能性があることに注意してください。このような一見奇妙な効果の背後にある直感は、強い三角形不等式のため、超距離では距離が加算されないということです。

• 離散距離は超距離である。
• p進数は完全な超距離空間を形成する。
• 任意の長さ（有限または無限）の単語の集合を考えます。${\displaystyle \Sigma ^{*}}$アルファベットの何文字か${\displaystyle \Sigma }$2つの異なる単語間の距離を定義する${\displaystyle 2^{-n}}$、 どこ${\displaystyle n}$は、単語が異なる最初の箇所です。結果として得られる距離尺度は超距離尺度です。
• 長さが接着された単語のセット${\displaystyle n}$アルファベットの上に${\displaystyle \Sigma }$p-近接距離に関して超距離空間である。2つの言葉${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$p連続する文字のサブストリングが p 個ある場合、pクローズである(${\displaystyle p<n}$）は、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$[ ^{3 ]​}
• もし${\displaystyle r=(r_{n})}$はゼロに減少する実数列である。${\displaystyle |x|_{r}:=\limsup _{n\rightarrow \infty }|x_{n}|^{r_{n}}}$有限であるすべての複素数列の空間に超距離を誘導する。（これは同次性を欠くため、セミノルムではないことに注意。${\displaystyle r_{n}}$ゼロにすることが許される場合、ここでは、やや異例な慣習を使用する必要がある。${\displaystyle 0^{0}=0}$（ゼロのゼロ乗）
• もし${\displaystyle G}$は辺重み付き無向グラフであり、すべての辺の重みは正であり、${\displaystyle d(u,v)}$は、ミニマックスパスの重みです。${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$（つまり、この最大の重みを最小化するように選択されたパス上のエッジの最大の重み）次に、距離が測定されるグラフの頂点${\displaystyle d}$は超距離空間を形成し、すべての有限超距離空間はこのように表現できる。^{[ 4 ]}

• 縮約写像は、計算の最終結果（バナッハの不動点定理により存在が保証される）を近似する方法と考えることができる。同様の考え方は領域理論にも見られる。p進解析では、p進計量の超距離的性質が多用される。
• 凝縮系物理学では、スピングラスのSKモデルにおけるスピン間の自己平均化オーバーラップは超計量構造を示し、その解はジョルジオ・パリシらが最初に概説した完全レプリカ対称性の破れ手順によって与えられる。^{[ 5 ]}超計量性は非周期固体の理論にも現れる。^{[ 6 ]}
• 分類学や系統樹の構築では、 UPGMA法やWPGMA法でも超距離が利用されています。 ^{[ 7 ]}これらのアルゴリズムは一定速度の仮定を必要とし、根から各枝の先端までの距離が等しい樹状図を生成します。DNA 、RNA、タンパク質のデータが分析される場合、超距離の仮定は分子時計と呼ばれます。
• 流体の三次元乱流における間欠性のモデルは、いわゆるカスケードを利用し、超計量構造を持つ二項カスケードの離散モデルも利用している。^{[ 8 ]}
• 地理学や景観生態学では、超距離が景観の複雑さを測定したり、ある景観機能が他の景観機能よりもどの程度重要であるかを評価するために用いられてきた。^{[ 9 ]}

• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。​ 
• シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 

• カプランスキー、I. (1977) 『集合論と距離空間』AMSチェルシー出版、ISBN 978-0-8218-2694-2。

• ウィキメディア・コモンズにある非アルキメデス幾何学に関連するメディア