自由アーベル群

群の直積は、各群の要素のタプルを成分ごとに加算して構成されます。2 つの自由アーベル群の直積はそれ自体が自由アーベル群であり、その基底は2 つの群の基底の非交和です。^{[ 8 ]}より一般的には、任意の有限個の自由アーベル群の直積は自由アーベル群です。${\displaystyle d}$例えば、次元整数格子は、の直積と同型である。${\displaystyle d}$整数群のコピー${\displaystyle \mathbb {Z} }$些細なグループ${\displaystyle \{0\}}$は、基底が空集合である自由アーベル群とも考えられています。^{[ 9 ]}これは、のゼロコピーの直積である空積として解釈できます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$[ ^{10 ]​}

無限族の自由アーベル群の場合、直積は必ずしも自由アーベル群になるとは限りません。^{[ 8 ]}例えば、ベア・スペッカー群${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$数えきれない数のグループが、数えきれる数の複製の直接的な産物として形成される。${\displaystyle \mathbb {Z} }$は、 1937 年にラインホルト・ベアによって自由アーベル群ではないと示されましたが、 ^{[ 11 ]}エルンスト・シュペッカーは 1950 年にその可算部分群はすべて自由アーベル群であることを証明しました。 ^{[ 12 ]}代わりに、無限の群族から自由アーベル群を得るには、直積ではなく直和を使用する必要があります。直和と直積は、有限個の群に適用する場合は同じですが、無限の群族では異なります。直和では、要素は再び各群からの要素のタプルですが、これらの要素のうち有限個を除くすべてがその群の単位元であるという制約があります。無限個の自由アーベル群の直和は自由アーベル群のままです。その基底は、1 つの要素を除くすべてが単位元であり、残りの要素がその群の基底の一部であるタプルから構成されます。^{[ 8 ]}

すべての自由アーベル群は、${\displaystyle \mathbb {Z} }$基底の各要素ごとに1つのコピーを持つ。[ ^{13 ] [ 14 ]この}構成により任意の集合が許容される。${\displaystyle B}$自由アーベル群の基礎となる。^{[ 15 ]}

集合が与えられた${\displaystyle B}$グループを定義することができる${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$その要素は関数である${\displaystyle B}$整数に対して、上付き文字の括弧は、非ゼロの値が有限個しかない関数のみが含まれることを示しています。${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$2 つのそのような関数があるとすると、${\displaystyle f+g}$は、 の値の合計となる関数です。${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$つまり、${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$このポイントごとの加算演算により${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$アーベル群の構造。^{[ 16 ]}

各要素${\displaystyle x}$与えられた集合から${\displaystyle B}$のメンバーに対応します${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$関数​${\displaystyle e_{x}}$そのために${\displaystyle e_{x}(x)=1}$そして、${\displaystyle e_{x}(y)=0}$すべての人々のために${\displaystyle y\neq x}$すべて の機能${\displaystyle f}$で${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$これは、有限個の基底要素の線形結合として一意に表される。 $${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}.}$$ したがって、これらの要素${\displaystyle e_{x}}$基礎を形成する${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$、そして${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$は自由アーベル群である。このようにして、すべての集合は${\displaystyle B}$自由アーベル群の基底にすることができる。^{[ 16 ]}

要素${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$また、形式的な和、つまり有限個の項の和の形式の式として書くこともできます。各項は、非ゼロの整数と異なる要素の積として書きます。${\displaystyle B}$これらの式は、項の順序に関係なく、同じ項を持つ場合に同等とみなされ、項の和集合を形成し、同じ基底要素を持つ項を結合するために整数係数を加え、この結合によって係数がゼロになる項を削除することによって加算できます。[ ^{4 ]また}、これらは、有限個の要素の符号付き多重集合として解釈することもできます。${\displaystyle B}$[ ^{17 ]​}

群の表示とは、群を生成する要素の集合（つまり、すべての群要素は有限個の生成元の積として表現できる）と、単位元を与える生成元の積である「関係式」の集合のことである。このように定義された群の要素は、任意の関係式または生成元と逆元のペアを連続する部分列として挿入または削除できる同値関係の下で、生成元とその逆元の列の同値類である。基底を持つ自由アーベル群${\displaystyle B}$ジェネレーターが要素であるプレゼンテーションがあります${\displaystyle B}$、そしてリレーターは、の要素のペアの交換子である。${\displaystyle B}$ここで、 2つの要素の交換子${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$製品は${\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy}$この製品をIDに設定すると、${\displaystyle xy}$等しい​${\displaystyle yx}$、となることによって${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$可換である。より一般的には、すべての生成元ペアが可換であれば、生成元の積のすべてのペアも可換である。したがって、この表示によって生成される群はアーベル群であり、表示の関係式は、それがアーベル群であることを保証するために必要な最小限の関係式の集合を形成する。^{[ 18 ]}

生成元が有限の場合、自由アーベル群の表示も有限になります。なぜなら、表示に含める異なる交換子は有限個しかないからです。この事実と、自由アーベル群のすべての部分群が自由アーベル群であるという事実（下記参照）を合わせると、すべての有限生成アーベル群が有限表示であることを示すことができます。なぜなら、${\displaystyle G}$集合によって有限に生成される${\displaystyle B}$それは、自由アーベル群の商群である。${\displaystyle B}$自由アーベル部分群によって、プレゼンテーションのリレーターによって生成される部分群${\displaystyle G}$しかし、この部分群自体が自由アーベル群であるため、有限生成でもあり、その基底（と交換子）は${\displaystyle B}$) は、プレゼンテーションのための有限個のリレーターセットを形成します。${\displaystyle G}$[ ^{19 ]​}

自由アーベル群${\displaystyle F}$基礎${\displaystyle B}$次の普遍的な性質を持つ:すべての関数に対して${\displaystyle f}$から${\displaystyle B}$アーベル群へ${\displaystyle A}$から一意の群準同型が存在する${\displaystyle F}$に${\displaystyle A}$拡張${\displaystyle f}$^{[ 4 ] [ 9 ]}ここで、群準同型とは、群積法則に合致する、ある群から別の群への写像のことである。写像の前後に積を実行しても同じ結果が得られる。普遍性に関する一般的な性質により、これは基底の「アーベル群」が${\displaystyle B}$同型を除いて一意である。したがって、普遍性は、基底の自由アーベル群の定義として使用できる。${\displaystyle B}$この性質によって定義される群の一意性は、他のすべての定義が同等であることを示している。^{[ 15 ]}

自由アーベル群が「自由」と呼ばれるのは、この普遍的な性質によるものです。アーベル群は、アーベル群を対象とし、準同型を射とするアーベル群の圏における自由対象です。基底からその自由アーベル群への写像は、集合からアーベル群への圏の構造保存写像である関手であり、アーベル群から集合への忘却関手に随伴しています。^{[ 25 ]}ただし、自由アーベル群は、2つの場合を除いて自由群ではありません。1つは、基底が空である場合（ランク0、自明群となる）、もう1つは、基底に要素が1つだけある場合（ランク1、無限巡回群となる）です。^{[ 9 ] [ 26 ]}他のアーベル群は、自由群では${\displaystyle ab}$と異なっていなければならない${\displaystyle ba}$もし${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は基底の異なる要素であるが、自由アーベル群では、すべての要素のペアに対して2つの積は同一でなければならない。群の一般カテゴリーでは、次の制約が追加される。${\displaystyle ab=ba}$一方、これはアーベル群の圏では必要な性質である。^{[ 27 ]}

同じ自由アーベル群の任意の2つの基底は同じ濃度を持つため、基底の濃度は群の不変量であり、そのランクとして知られています。 ^{[ 28 ] [ 29 ]} 2つの自由アーベル群が同型であるのは、それらが同じランクを持つ場合のみです。^{[ 4 ]}自由アーベル群が有限生成であるのは、そのランクが有限数である場合のみです。${\displaystyle n}$この場合、群は${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$[ ^{30 ]​}

このランクの概念は、自由アーベル群から必ずしも自由ではないアーベル群に一般化できる。アーベル群のランク${\displaystyle G}$は自由アーベル部分群の階数として定義される。${\displaystyle F}$の${\displaystyle G}$商群​${\displaystyle G/F}$はねじれ群である。言い換えれば、それはの最大部分集合の濃度である。${\displaystyle G}$これは自由部分群を生成する。ランクは群不変量であり、部分群の選択に依存しない。^{[ 31 ]}

自由アーベル群のすべての部分群は、それ自体が自由アーベル群である。リチャード・デデキント^{[ 32 ]}によるこの結果は、自由群のすべての部分群は自由であるという類似のニールセン・シュライアーの定理の先駆けであり、無限巡回群のすべての非自明な部分群は無限巡回であるという事実の一般化である。証明には選択公理が必要である。^{[ 25 ]}ゾルンの補題（選択公理と同値な仮定の1つ）を使用した証明は、セルジュ・ラングの代数学^{[ 33 ]}で見つけることができる。ソロモン・レフシェッツとアーヴィング・カプランスキーは、ゾルンの補題の代わりに整列原理を使用すると、より直感的な証明が得られると主張している。 ^{[ 14 ]}

有限生成自由アーベル群の場合、証明はより簡単で、選択公理を必要とせず、より正確な結果が得られます。${\displaystyle G}$は有限生成自由アーベル群の部分群である。${\displaystyle F}$、 それから${\displaystyle G}$自由であり、基礎が存在する${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$の${\displaystyle F}$および正の整数$\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$（つまり、それぞれが次のものを割り切る）${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$は基礎となる${\displaystyle G.}$さらに、シーケンス$d_1,d_2,...,d_k$のみに依存する${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$そして基底上ではない。^{[ 34 ]}定理の存在部分の構成的証明は、整数の行列のスミス標準形を計算する任意のアルゴリズムによって提供される。 ^{[ 35 ]}一意性は、任意のに対して、という事実から導かれる。${\displaystyle r\leq k}$位数小数の最大公約数${\displaystyle r}$行列の はスミス正規形の計算中に変更されず、その積である。$d_1 から d_r まで$計算の最後に。^{[ 36 ]}

すべての自由アーベル群はねじれフリーであり、単位元以外の群元は存在しない。${\displaystyle x}$およびゼロ以外の整数${\displaystyle n}$そのため${\displaystyle nx=0}$逆に、有限生成のねじれのないアーベル群はすべて自由アーベル群である。^{[ 9 ] [ 37 ]}

有理数の加法群${\displaystyle \mathbb {Q} }$ねじれのない（ただし有限生成ではない）アーベル群で、自由アーベル群ではない例を示している。^{[ 38 ]}その理由の一つは、${\displaystyle \mathbb {Q} }$自由アーベル群ではないのは、それが割り切れる、つまり、すべての要素に対して${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$そしてすべてのゼロでない整数${\displaystyle n}$表現することが可能${\displaystyle x}$スカラー倍数として${\displaystyle ny}$別の要素の ${\displaystyle y=x/n}$対照的に、非自明な自由アーベル群は決して可除ではありません。なぜなら、自由アーベル群では基底要素を他の要素の倍数として表すことができないからです。^{[ 39 ]}

任意の群の対称性は、群自己同型、すなわち群から群自身への可逆準同型として記述できます。非アーベル群では、これらはさらに内部自己同型と外部自己同型に細分化されますが、アーベル群では、単位元以外のすべての自己同型は外部自己同型です。これらは、合成演算の下で、与えられた群の自己同型群という別の群を形成します。有限階数の自由アーベル群の自己同型群${\displaystyle n}$一般線形群${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$これは、（自由自己同型群の特定の基底に対して）具体的には、次の集合として記述できる。${\displaystyle n\times n}$行列乗算演算の下で可逆な整数行列。自由アーベル群に対する対称性としての作用${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$これは単なる行列とベクトルの乗算です。^{[ 40 ]}

2 つの無限階数の自由アーベル群の自己同型群は、階数が2 階論理の観点から同値な基数である場合に限り、互いに同じ1 階理論を持つ。この結果は、自由アーベル群の対合、つまり自己同型が自身の逆である構造に依存する。自由アーベル群の基底が与えられた場合、基底要素の任意の互いに素なペアの集合を互いに写像する対合、または基底要素の任意の選択された部分集合を否定し、他の基底要素を固定する対合を見つけることができる。逆に、自由アーベル群のすべての対合に対して、すべての基底要素が対で交換されるか、否定されるか、または対合によって変更されないような群の基底を見つけることができる。^{[ 41 ]}

自由アーベル群が2つの群の商である場合${\displaystyle A/B}$、 それから${\displaystyle A}$直接和${\displaystyle B\oplus A/B}$[ ^{4 ]​}

任意のアーベル群が与えられた場合${\displaystyle A}$常に自由アーベル群が存在する${\displaystyle F}$そして全射群準同型から${\displaystyle F}$に${\displaystyle A}$与えられた群への全射を構成する一つの方法${\displaystyle A}$許可する${\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}}$自由アーベル群である${\displaystyle A}$形式和として表現される。すると、形式和を にマッピングすることで全射を定義できる。${\displaystyle F}$対応するメンバーの合計に${\displaystyle A}$つまり、射影写像 $${\displaystyle \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,}$$ どこ${\displaystyle a_{x}}$は基底要素の整数係数です${\displaystyle e_{x}}$与えられた形式和では、最初の和は${\displaystyle F}$、そして2番目の合計は${\displaystyle A}$^{[ 29 ] [ 42 ]}この全射は、関数を拡張する唯一の群準同型である。${\displaystyle e_{x}\mapsto x}$したがって、その構築は普遍性の一例と見なすことができる。

いつ${\displaystyle F}$そして${\displaystyle A}$上記のとおり、カーネル${\displaystyle G}$からの全射の${\displaystyle F}$に${\displaystyle A}$は自由アーベル群でもある。${\displaystyle F}$（単位元にマッピングされた要素のサブグループ）。したがって、これらのグループは短い完全数列を形成する。$${\displaystyle 0\to G\to F\to A\to 0}$$ その中で${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$どちらも自由アーベルであり、${\displaystyle A}$因子群と同型である${\displaystyle F/G}$これは無料の解像度です${\displaystyle A}$^{[ 2 ]}さらに、 選択公理を仮定すると、^{[ 43 ]}自由アーベル群はまさにアーベル群の圏における射影対象である。^{[ 4 ] [ 44 ]}

代数トポロジーでは、形式的な和は${\displaystyle k}$次元単体は${\displaystyle k}$-鎖、そしてコレクションを持つ自由アーベル群${\displaystyle k}$-単体を基底とするものは鎖群と呼ばれる。^{[ 45 ]}単体は一般に何らかの位相空間から取られる。例えば、${\displaystyle k}$単体複体における単体、または特異な単体の集合${\displaystyle k}$多様体における単体。任意の${\displaystyle k}$次元単体は、形式的な和として表すことができる境界を持つ。${\displaystyle (k-1)}$次元単体、そして自由アーベル群の普遍性により、この境界演算子は群準同型に拡張できる。${\displaystyle k}$-鎖${\displaystyle (k-1)}$鎖。このように境界演算子によって連結された鎖群のシステムは鎖複体を形成し、鎖複体の研究はホモロジー理論の基礎を形成する。^{[ 46 ]}

複素数上のすべての有理関数は、符号付き複素数の多重集合と関連付けることができる。${\displaystyle c_{i}}$関数の零点と極（値がゼロまたは無限大になる点）。重複度${\displaystyle m_{i}}$この多重集合内の点のオーダーは、関数の零点としてのオーダー、または極としてのオーダーの否定です。すると、このデータから、スカラー係数を除いて、 関数自体を復元できます。$${\displaystyle f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.}$$ これらの多重集合を複素数上の自由アーベル群の要素として解釈すると、2 つの有理関数の積または商は、2 つの群要素の和または差に対応します。したがって、有理関数の乗法群は、複素数の乗法群 (各関数に対応するスカラー因子) と複素数上の自由アーベル群に因数分解できます。無限大でゼロでない極限値を持つ有理関数 (リーマン球面上の有理型関数) は、重複度の合計がゼロとなるこの群の部分群を形成します。^{[ 47 ]}

この構成は、代数幾何学において、除数の概念に一般化されている。除数にはさまざまな定義があるが、一般に、それらは代数多様体の余次元１の部分多様体、すなわち多項式方程式系の解点の集合の抽象化を形成する。方程式系が１つの自由度を持つ場合（その解が代数曲線またはリーマン面を形成する場合）、部分多様体は孤立点から構成されるときに余次元１を持ち、この場合、除数は再び多様体からの点の符号付き多重集合となる。^{[ 48 ]}コンパクトリーマン面上の有理型関数は有限個の零点と極を持ち、それらの除数は、面上の点上の自由アーベル群の部分群を形成し、関数の乗算または除算は群要素の加算または減算に対応する。因子となるためには、自由アーベル群の要素は重複度の合計がゼロでなければならず、曲面に応じて特定の追加制約を満たす必要がある。^{[ 47 ]}

整数群環${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$どのグループでも${\displaystyle G}$は、加法群が自由アーベル群である環である。${\displaystyle G}$[ ^{49 ]の}場合${\displaystyle G}$は有限かつアーベル群であり、${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$有限群と有限生成自由アーベル群の直積の構造を持つ。^{[ 50 ] [ 51 ]}