Sユニット

数学において、代数的整数論の分野において、S単位は体の整数環の単位の考え方を一般化したものです。単位に当てはまる結果の多くは、 S単位にも当てはまります。

K を整数環Rを持つ数体とする。SをRの素イデアルの有限集合とする。主分数イデアル( x ) がS内の素数の積(正または負の累乗)である場合、Kの元xはS単位である。有理整数環Zについては、 S を素数の有限集合とし、分子と分母がS内の素数でのみ割り切れる有理数をS単位として定義することができる。

S単位は、Rの単位を含む乗法群を形成します。

ディリクレの単位定理はS単位に対して成り立ちます。つまり、 S単位の群は有限生成され、階数（乗法的に独立した元の最大数）はr + sに等しくなります。ここで、 rは単位群の階数、s = | S | です。

S単位方程式はディオファントス方程式である

u + v = 1

ここで、uとv はKのS単位（またはより一般的には、特性 0 の任意の体の乗法群の有限生成部分群の元）に制限されます。この方程式の解の数は有限であり^[1]、解は超越数論で展開される対数の線型形式の推定値を使用して効果的に決定されます。さまざまなディオファントス方程式は、原理的には何らかの形のS単位方程式に還元できます。注目すべき例としては、楕円曲線上の積分点に関するシーゲルの定理、およびより一般的にはy ⁿ = f ( x )の形の超楕円曲線があります。

S単位方程式の計算ソルバーはSageMathソフトウェアで利用できる。^[2]

S単位方程式の特殊なケースは小林の定理です。

• エベレスト、グラハム;ファン・デル・ポルテン、アルフ;シュパルリンスキー、イゴール; ワード、トーマス (2003)。再帰列。数学サーベイおよびモノグラフ。第 104 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。pp. 19–22。ISBN 0-8218-3387-1.ZBL1033.11006  。​
• ラング、セルジュ(1978)。楕円曲線: ディオファンティーン分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 231.シュプリンガー・フェルラーグ128–153ページ。ISBN 3-540-08489-4。
• ラング、セルジュ（1986）。代数的数論。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-94225-4。第5章
• スマート、ナイジェル (1998)。ディオファントス方程式のアルゴリズムによる解決。ロンドン数学協会学生テキスト。第 41 巻。ケンブリッジ大学出版局。第 9 章。ISBN 0-521-64156-X。
• ノイキルヒ、ユルゲン(1986)。クラスフィールド理論。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 280.シュプリンガー・フェルラーグ72～73ページ。ISBN 3-540-15251-2。

• ベイカー、アラン、ヴュストホルツ、ギスバート（2007）。対数形式とディオファントス幾何学。新数学モノグラフ。第9巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-88268-2。
• ボンビエリ、エンリコ、ギュブラー、ウォルター（2006）。『ディオファントス幾何学の高さ』新数学モノグラフ第4巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-71229-3.ZBL1130.11034  。​