個別評価

数学において、離散値とは体K上の整数 値、つまり関数である: ^[1]

${\displaystyle \nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$

条件を満たす:

${\displaystyle \nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)}$

${\displaystyle \nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}}$

${\displaystyle \nu (x)=\infty \iff x=0}$

すべてに対して。 ${\displaystyle x,y\in K}$

多くの場合、値のみを取る単純な評価は明示的に除外されることに注意してください。 ${\displaystyle 0,\infty }$

非自明な離散値を持つ体は離散値体と呼ばれます。

離散値を持つすべての体には、部分環を関連付けることができる。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

の、離散値環です。逆に、離散値環上の値は、商体上の離散値に一意に拡張できます。関連する離散値環は です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K={\text{Quot}}(A)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle A}$

• 固定された素数 とゼロ以外の任意の元に対して、が割り切れないようなと書きます。すると は上の離散値であり、p 進値と呼ばれます。${\displaystyle p}$${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle x=p^{j}{\frac {a}{b}}}$${\displaystyle j,a,b\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \nu (x)=j}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• リーマン面 が与えられれば、有理型関数の体 を考えることができます。不動点 に対して、 上の離散値 を次のように定義します。が、関数 をにおける正則関数に拡張できる最大の整数である場合に限ります。つまり、の場合、 は点 での根を持ち、 の場合、 はでの極を持ちます。同様に、代数曲線上のすべての正則点に対して、代数曲線の関数体上の離散値も定義します。${\displaystyle X}$${\displaystyle K=M(X)}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \nu (f)=j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f(z)/(zp)^{j}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \nu (f)=j>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \nu (f)=j<0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -j}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

より多くの例については、離散評価環に関する記事をご覧ください。