局所類体理論

数学において、ヘルムート・ハッセ^[1]によって導入された局所類体論は、局所体のアーベル拡大の研究である。ここで「局所体」とは、絶対値または有限留数体を持つ離散値に関して完全な体を意味する。したがって、すべての局所体は（位相体として）実数 R 、複素数C 、p 進数Q _p（ここでpは任意の素数）の有限拡大、または有限体F _q上の形式ローラン級数F _q (( T ))の体と同型である。

局所類体理論へのアプローチ

局所類体理論は、乗法群K ^× = K \{0}から作用する相互写像を介して、局所体Kの最大アーベル拡大のガロア群 Gの記述を与える。Kの有限アーベル拡大Lに対して、相互写像は、拡大 L × のノルム群 N ( L × ) による K × の商群K ^× / N ( L ^× ) の、^拡大の^ガロア群Gal ( L ^/ K )への同型を誘導する。 ^[2]

局所類体論における存在定理は、乗法群K ^{×の有限指数の開部分群と体}Kの有限アーベル拡大との間に一対一の対応を確立する。Kの有限アーベル拡大Lに対して、対応する有限指数の開部分群はノルム群N ( L ^× ) である。相互写像は、単位の高次の群を高次の分岐部分群に送る。たとえば、Ch. IV を参照。^[3]

局所相互写像を用いてヒルベルト記号とその一般化を定義する。その明示的な公式を見つけることは局所体理論のサブディレクションの1つであり、長く豊かな歴史を持っている。例えばセルゲイ・ボストーコフのレビューを参照のこと。 ^[4]

局所類体理論には、コホモロジー的アプローチと非コホモロジー的アプローチがあります。コホモロジー的アプローチは、最初のガロアコホモロジー群のカップ積を使用するため、非明示的になる傾向があります。

^{局所類体理論への様々なアプローチについては、 [5]}の第IV章と第IV章第7節を参照。それらには、ブラウアー群を使用するハッセのアプローチ、コホモロジー的アプローチ、ユルゲン・ノイキルヒ、ミヒール・ハゼウィンケルの明示的方法、ルビン・テイト理論などが含まれる。

局所類体理論の一般化

局所類体理論を準有限剰余体を持つ局所体へ一般化することは、1950年代にG. Whaplesによって得られた理論の容易な拡張であった。^{[説明が必要]}の第V章を参照。^[6]

有限でない完全および不完全剰余体を持つ局所体に対する明示的な p クラス体理論は、無限指数のノルム群という新しい問題に対処する必要がある。適切な理論はIvan Fesenkoによって構築された。^[7]^[8] Fesenko の局所体の算術的プロ有限ガロア拡大に対する非可換局所クラス体理論は、適切な局所相互性コサイクル写像とその特性を研究している。^[9]この算術理論は、表現論的局所ラングランズ対応の代替として見ることができる。

高次局所類体理論

高次元局所体に対して、体のミルノア K 群における有限指数の開部分群によって体のアーベル拡大を記述する高次局所相反写像が存在する。すなわち、が次元局所体である場合、またはその分離商に適切な位相を付与したものを使用する。理論が通常の局所類体理論になると、古典的な場合とは異なり、ミルノア K 群はの場合にガロア加群降下を満たさない。一般的な高次元局所類体理論は、K. KatoとI. Fesenkoによって開発された。 $K$ $K$ $n$ $\mathrm {K} _{n}^{\mathrm {M} }(K)$ $n=1$ $n>1$

高次局所類体理論は、整数上で平坦な適切な正則スキームの有理関数体のアーベル拡大（またはアーベル被覆）を研究する高次類体理論の一部です。

参照

参考文献

^ Hasse, H. (1930)、「Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen.」、Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)、1930 (162): 145–154、doi :10.1515/crll.1930.162.145、ISSN 0075-4102、JFM 56.0165.03、S2CID 116860448
^ Fesenko、Ivanおよび Vostokov、Sergei、Local Fields and their Extensions、第 2 版、American Mathematical Society、2002、ISBN 0-8218-3259-X
^ Fesenko、Ivanおよび Vostokov、Sergei、Local Fields and their Extensions、第 2 版、American Mathematical Society、2002、ISBN 0-8218-3259-X
^ 「Sergei V Vostokov、ヒルベルト 記号の明示的公式、高次局所体への招待」。幾何学とトポロジーのモノグラフ。3 ：81–90。2000年。doi：10.2140/gtm.2000.3。
^ Fesenko、Ivanおよび Vostokov、Sergei、Local Fields and their Extensions、第 2 版、American Mathematical Society、2002、ISBN 0-8218-3259-X
^ 「Sergei V Vostokov、ヒルベルト 記号の明示的公式、高次局所体への招待」。幾何学とトポロジーのモノグラフ。3 ：81–90。2000年。doi：10.2140/gtm.2000.3。
^ I. Fesenko (1994). 「局所類体理論: 完全留数体の場合」.イズベスチヤ数学. 43 (1). ロシア科学アカデミー: 65–81. Bibcode :1994IzMat..43...65F. doi :10.1070/IM1994v043n01ABEH001559.
^ フェセンコ、I. (1996)。「一般的な地域相互主義地図について」。数学に関するジャーナル。473 : 207–222。
^ Fesenko, I. (2001). 「非アーベル的局所相互写像」クラス体理論 - その百年と展望、純粋数学の先端研究。pp. 63–78。ISBN 4-931469-11-6。

さらに読む

フェセンコ、イヴァン、ボスコフ、セルゲイ（2002）、局所体とその拡張（第2版）、アメリカ数学会、ISBN 978-0-19-504030-2
フェセンコ、イヴァン B. ; 栗原正人編 (2000)、高次局所体への招待、幾何学と位相学モノグラフ、第 3 巻 (初版)、ウォーリック大学:数学科学出版社、doi :10.2140/gtm.2000.3、ISSN 1464-8989、Zbl 0954.00026
岩沢健吉 (1986)、局所類体理論、オックスフォード科学出版、クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-504030-2、MR 0863740
Neukirch、Jürgen (1986)、類体理論、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol. 280、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-15251-4、MR 0819231
セール、ジャン＝ピエール（1967）、「局所類体理論」、カッセルス、ジョン・ウィリアム・スコット、フレーリッヒ、アルブレヒト（編）、代数的数論（Proc. Instructional Conf.、ブライトン、1965）、トンプソン、ワシントン、DC、pp. 128–161、ISBN 978-0-9502734-2-6、MR 0220701
セール、ジャン＝ピエール（1979）[1962]、Corps Locaux（英語訳：Local Fields）、Graduate Texts in Mathematics、vol. 67、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90424-5、MR 0150130

[1] Hasse, H. (1930)、「Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen.」、Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)、1930 (162): 145–154、doi :10.1515/crll.1930.162.145、ISSN 0075-4102、JFM 56.0165.03、S2CID 116860448

[2] Fesenko、Ivanおよび Vostokov、Sergei、Local Fields and their Extensions、第 2 版、American Mathematical Society、2002、ISBN 0-8218-3259-X

[3] Fesenko、Ivanおよび Vostokov、Sergei、Local Fields and their Extensions、第 2 版、American Mathematical Society、2002、ISBN 0-8218-3259-X

[4] ^ 「Sergei V Vostokov、ヒルベルト 記号の明示的公式、高次局所体への招待」。幾何学とトポロジーのモノグラフ。3 ：81–90。2000年。doi：10.2140/gtm.2000.3。

[5] Fesenko、Ivanおよび Vostokov、Sergei、Local Fields and their Extensions、第 2 版、American Mathematical Society、2002、ISBN 0-8218-3259-X

[6] ^ 「Sergei V Vostokov、ヒルベルト 記号の明示的公式、高次局所体への招待」。幾何学とトポロジーのモノグラフ。3 ：81–90。2000年。doi：10.2140/gtm.2000.3。

[7] I. Fesenko (1994). 「局所類体理論: 完全留数体の場合」.イズベスチヤ数学. 43 (1). ロシア科学アカデミー: 65–81. Bibcode :1994IzMat..43...65F. doi :10.1070/IM1994v043n01ABEH001559.

[8] フェセンコ、I. (1996)。「一般的な地域相互主義地図について」。数学に関するジャーナル。473 : 207–222。

[9] Fesenko, I. (2001). 「非アーベル的局所相互写像」クラス体理論 - その百年と展望、純粋数学の先端研究。pp. 63–78。ISBN 4-931469-11-6。