テイトの二重性

数学において、テイト双対性またはポワトゥー・テイト双対性は、代数体または局所体のガロア群上の加群のガロアコホモロジー群に対する双対性定理であり、ジョン・テイト（1962年）とジョルジュ・ポワトゥー（1967年）によって導入された。  

p進局所体の場合${\displaystyle k}$局所テイト双対性によれば、ガロアコホモロジーから生じる有限群の完全なペアリングが存在する。

${\displaystyle \displaystyle H^{r}(k,M)\times H^{2-r}(k,M')\rightarrow H^{2}(k,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

どこ${\displaystyle M}$有限群スキームである。${\displaystyle M'}$その二重${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,\mathbb {G} _{m})}$、 そして$\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$は乗法群である。標数の局所体の場合${\displaystyle p>0}$、この記述は、ペアリングが次の値を取る点を除いて同様である。${\displaystyle H^{2}(k,\mu )=\bigcup _{p\nmid n}{\tfrac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$^{[ 1 ]}この記述は、次の場合にも成り立つ。${\displaystyle k}$これはアルキメデス体であるが、この場合、コホモロジー群の定義は多少異なって見える。

有限群スキームが与えられた場合${\displaystyle M}$グローバルな分野にわたって${\displaystyle k}$グローバルなテイト双対性は、コホモロジーを関連付けます。${\displaystyle M}$と${\displaystyle M'=\operatorname {Hom} (M,\mathbb {G} _{m})}$上記で構築したローカルペアリングを使用します。これは、ローカリゼーションマップを介して行われます。

${\displaystyle \alpha _{r,M}:H^{r}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M),}$

どこ${\displaystyle v}$場所によって異なる${\displaystyle k}$、そして${\displaystyle \prod '}$これは、非分岐コホモロジー群に関する制限付き積を表します。局所ペアリングを合計すると、標準的な完全ペアリングが得られます。

$\displaystyle {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M)\times {\prod _{v}}'H^{2-r}(k_{v},M')\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

ポワトゥー＝テートの二元性の一側面は、このペアリングの下で​​は、${\displaystyle H^{r}(k,M)}$消滅器は、${\displaystyle H^{2-r}(k,M')}$のために${\displaystyle r=0,1,2}$。

地図$\displaystyle \alpha _{r,M}}$すべての${\displaystyle r}$、そしてテイトは、規範的な完全ペアリングも構築している

$\displaystyle ker(\alpha _{1,M})\times \ker(\alpha _{2,M'})\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

これらの双対性は、しばしば9項の完全数列の形で表現される。

$\displaystyle 0\rightarrow H^{0}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{0}(k_{v},M)\rightarrow H^{2}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{1}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{1}(k_{v},M)\rightarrow H^{1}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{2}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{2}(k_{v},M)\rightarrow H^{0}(k,M')^{*}\rightarrow 0.}$

ここで、アスタリスクは、与えられた局所コンパクトアーベル群のポントリャーギン双対を表す。

これらの声明はすべて、場所に応じてテートによってより一般的な形で提示された。${\displaystyle S}$の${\displaystyle k}$上記の記述は、以下のケースにおける彼の定理の形式である。${\displaystyle S}$すべての場所が含まれています${\displaystyle k}$より一般的な結果については、例えば Neukirch、Schmidt & Wingberg (2000 、定理 8.4.4)を参照のこと。

他の記述の中でも、ポワトゥー・テート双対性は特定のシャファレビッチ群間の完全なペアリングを確立する。グローバルな場が与えられた場合${\displaystyle k}$、素数の集合S、および最大拡張${\displaystyle k_{S}}$S の外側では分岐していないシャファレビッチ群は、大まかに言えば、コホモロジーの要素を捉えている。${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{S}/k)}$これらはSの素数に関連する局所体のガロアコホモロジーでは消滅する。^{[ 2 ]}

S整数環の場合の拡張${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$は、有限型の正則スキームに置き換えられる。${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{S}}$Geisser & Schmidt (2018)によって示されました。別の一般化は Česnavičius によるもので、彼は滑らかな適切な曲線上の平坦コホモロジーを使用して局所化セットSの条件を緩和しました。^{[ 3 ]}

• アルティン＝ヴェルディエの二重性
• テート・ペアリング

• Geisser, Thomas H.; Schmidt, Alexander (2018)、「算術スキームにおけるポワトゥー・テート双対性」、Compositio Mathematica、154 (9): 2020–2044、arXiv : 1709.06913、Bibcode : 2017arXiv170906913G、doi : 10.1112/S0010437X18007340、S2CID 119735104 
• Haberland、Klaus (1978)、代数体のガロア コホモロジー、VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften、ISBN 9780685872048MR 0519872​ 
• ノイキルヒ、ユルゲン；シュミット、アレクサンダー；ウィングバーグ、ケイ（2000）、『数体のコホモロジー』、シュプリンガー、ISBN 3-540-66671-0MR 1737196​ 
• Poitou、Georges (1967)、「Propriétés globales des modules finis」、Cohomologie galoisienne des modules finis、Séminaire de l'Institut de l'Mathématiques de Lille、sous la direct de G. Poitou。 Travaux et Recherches Mathématiques、vol. 13、パリ: デュノー、 255–277 ページ、MR 0219591  
• テイト、ジョン（1962）「数体上のガロアコホモロジーにおける双対性定理」、国際数学者会議議事録（ストックホルム、1962年）、ジュールスホルム：ミッターク＝レフラー研究所、pp. 288–295、MR 0175892 、 2011年7月17日にオリジナルからアーカイブ済み