クンマー理論

抽象代数学と数論において、クンマー理論は、基本体の元のn乗根の随伴を含む特定のタイプの体拡大の記述を提供します。この理論は、もともと 1840 年代頃にエルンスト・エドゥアルト・クンマーによって、フェルマーの最終定理に関する先駆的な研究の中で開発されました。主な主張は、整数n を割り切れない特性を除いて、体の性質に依存せず、したがって抽象代数学に属します。体Kの特性が n を割り切るときの巡回拡大の理論は、アルティン・シュライアー理論と呼ばれます。

クンマー理論は、例えば類体理論や一般にアーベル拡大の理解において基礎となるもので、十分な単位根が存在する場合、巡回拡大は根の抽出という観点から理解できるとしています。類体理論の主な負担は、余分な単位根を省くこと（より小さな体への「降順」）であり、これははるかに深刻なことです。

クンマー拡大は、体拡大L / Kであり、ある与えられた整数n > 1に対して、

• Kにはn個の異なるn乗根（つまりX ⁿ − 1の根）が含まれる。
• L / K は指数nのアーベル ガロア群を持ちます。

たとえば、n = 2 のとき、 Kの標数≠ 2であれば、最初の条件は常に真です。この場合のクンマー拡張には、 Kのaが非平方元である二次拡張が含まれます。二次方程式の通常の解により、K の次数2 の拡張はすべてこの形式になります。この場合のクンマー拡張には、双二次拡張や、より一般的な多重二次拡張も含まれます。Kの標数が 2 の場合、そのようなクンマー拡張は存在しません。 ${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$

n = 3とすると、 3 つの 1 の立方根に対して複素数が要求されるため、有理数体 Q の 3 次クンマー拡大は存在しません。 L を Q 上の X 3 − a の分解体 (a は有理数の立方体ではない) とすると、 Lには3つの1^の立方根を持つ部分体Kが含まれます。これは、α と β が 3 次多項式の根である場合、 (α/β) ³ =1 となり、3 次多項式が分離多項式となるためです。 このとき、L / K はクンマー拡大です。

より一般的には、K がn個の異なるn乗根を含む場合、つまりKの特性がn を割り切れない場合、Kの任意の元aのn乗根をKに付加すると、クンマー拡大 (次数m 、 n を割り切れるm がある場合) が作成されます。多項式X ⁿ − aの分解体として、クンマー拡大は必然的にガロアであり、ガロア群は次数 m の巡回です。ガロア作用は、 の前の 1 乗根を介して簡単に追跡できます。${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}.}$

クンマー理論は逆の命題を提供する。Kがn個の異なるn乗根を含む場合、指数がn を割り切るKの任意のアーベル拡大はKの元の根の抽出によって形成されると述べる。さらに、K ^{× が}Kの非ゼロ元の乗法群を表す場合、指数nのKのアーベル拡大は、

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

つまり、K ^×の n乗を法とする 元である。この対応は次のように明示的に記述できる。部分群

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

対応する拡張子は次のように与えられる。

${\displaystyle K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),}$

どこ

${\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}.}$

実際、群 Δ の任意の生成元集合の各元を代表するもののn乗根を付加するだけで十分である。逆に、 L がKのクンマー拡大である場合、 Δ は次の規則によって回復される 。

${\displaystyle \Delta =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.}$

この場合、同型性が存在する

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$

与えられた

${\displaystyle a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),}$

ここで α はLにおけるaの任意のn乗根である。ここで はn乗根の乗法群（ Kに属する）を表し、 はクルル位相を備えたからへの連続準同型群であり、離散位相（群演算は点ごとの乗算で与えられる）を備えている。この群（離散位相を持つ）は、 を円群 の部分群と見なすと仮定すると、のポンチャギン双対として見ることもできる。拡大L / Kが有限であれば、 は有限離散群であり、 ${\displaystyle \mu_{n}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle \mu_{n}}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle \mu_{n}}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$

しかし、最後の同型性は自然ではありません。

素数に対して、を と次数ガロア拡大を含む体とします。ガロア群は巡回的であり、 によって生成されることに注意してください。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \zeta_{p}}$${\displaystyle K(\beta )/K}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle \alpha =\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l}\sigma ^{l}(\beta )\in K(\beta )}$

それから

${\displaystyle \zeta _{p}\sigma (\alpha )=\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l+1}\sigma ^{l+1} (\ベータ )=\アルファ .}$

以来、そして ${\displaystyle \alpha \neq \sigma (\alpha ),K(\alpha )=K(\beta )}$

${\displaystyle \alpha ^{p}=\pm \prod _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{-l}\alpha =\pm \prod _{l=0}^{p-1}\sigma ^{l}(\alpha )=\pm N_{K(\beta )/K}(\alpha )\in K}$、

ここで、が奇数の場合、符号は となり、の場合、符号は となります。 ${\displaystyle \pm}$${\displaystyle +}$${\displaystyle p}$${\displaystyle -}$${\displaystyle p=2}$

が 次数のアーベル拡大で となる平方自由度の場合、同じ議論を次数のガロア体の部分体 に適用して${\displaystyle L/K}$${\displaystyle n=\prod _{j=1}^{m}p_{j}}$${\displaystyle \zeta _{n}\in K}$${\displaystyle K(\beta _{j})/K}$${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle L=K\left(a_{1}^{1/p_{1}},\ldots ,a_{m}^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/p_{1}},\ldots ,A^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/n}\right)}$

どこ

${\displaystyle A=\prod _{j=1}^{m}a_{j}^{n/p_{j}}\in K}$。

クンマー理論の主なツールの1つはクンマー写像である。を正の整数とし、を体とする。体には必ずしも単位の 番目の根が含まれるとは限らない。を の代数閉包とすると、短い完全列が存在する。${\displaystyle m}$${\displaystyle K}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }[m]\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {z\mapsto z^{m}} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {} 0}$

拡張を選択し、-コホモロジーをとると、次の数列が得られる。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \mathrm {ガル} ({\overline {K}}/L)}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} L^{\times }/(L^{\times })^{m}\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)[m]\xrightarrow {} 0}$

ヒルベルトの定理90 より、同型写像 が得られる。これがクンマー写像である。この写像のバージョンは、すべてを同時に考慮した場合も存在する。つまり、 なので、 上の直接極限をとると同型写像が得られる。 ${\displaystyle H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)=0}$${\displaystyle \delta :L^{\times }/\left(L^{\times }\right)^{m}\xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L^{\times }/(L^{\times })^{m}=L^{\times }\otimes m^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \delta :L^{\times }\otimes \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}_{tors}\right)}$、

ここで、tors は単位根の捩れ部分群を表します。

クンマー理論は楕円曲線の文脈でよく使われる。楕円曲線をとろう。短い完全列が存在する。 ${\displaystyle E/K}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E[m]\xrightarrow {} E\xrightarrow {P\mapsto m\cdot P} E\xrightarrow {} 0}$、

ここで、 は割り切れるので、写像による乗算は射影的である。代数的拡大を選択し、コホモロジーを取ると、 のクンマー列が得られる。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E(L)/mE(L)\xrightarrow {} H^{1}(L,E[m])\xrightarrow {} H^{1}(L,E)[m]\xrightarrow {} 0}$。

弱いモーデル＝ヴェイユ群の計算は、モーデル＝ヴェイユ定理の証明の重要な部分です。 が消えないことが理論に重要な複雑さを加えています。 ${\displaystyle E(L)/mE(L)}$${\displaystyle H^{1}(L,E)}$

G が、 G加群Aからそれ自身への射影準同型 π を持つ加群Aに作用する原限群であるとする。また、 G がπ の核Cに自明に作用し、最初のコホモロジー群 H ¹ ( G , A ) が自明であるとする。すると、群コホモロジーの正確なシーケンスは、 A ^G /π( A ^G ) と Hom( G , C )の間に同型があることを示している。

クンマー理論は、Aが体kの可分閉包の乗法群、Gがガロア群、 π がn乗写像、C がn乗根の群である場合の特殊なケースです。アルティン-シュライアー理論は、Aが正の標数pの体kの可分閉包の加法群、Gがガロア群、 π がフロベニウス写像から単位元を引いたもの、C が位数pの有限体である場合の特殊なケースです。Aを切り捨てたウィットベクトルの環とすると、ウィットによるアルティン-シュライアー理論のp ^{n を}割り切る指数の拡大への一般化が得られます。

• 二次方程式

• 「クンマー拡張」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Bryan Birch、「Cyclotomic fields and Kummer extensions」、JWS CasselsおよびA. Frohlich (edd)、『Algebraic number theory』、Academic Press、1973 年。第 III 章、85 ～ 93 ページ。