フィールドトレース

数学において、体トレースは有限体拡大L / Kに関して定義される特定の関数であり、 LからKへのK線型写像です。

K を体とし、L をKの有限拡大（したがって代数拡大）とする。L はK上のベクトル空間と見ることができる。Lの元αを乗算すると、

${\displaystyle m_{\alpha }:L\to L{\text{ }}m_{\alpha }(x)=\alpha x} で与えられる$、

は、このベクトル空間からそれ自身へのK線型変換である。トレースTr _{L / K} ( α )は、この線型変換のトレース（線型代数の意味で）として定義される。 ^[1]

Lのαに対して、σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) をK上のαの最小多項式の根（重複度を含む）とする（ K の何らかの拡大体上）。すると、

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K(\alpha )]\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha ).}$

L / Kが分離可能であれば、各根は1回だけ出現します^[2]（ただし、これは上記の係数が1であることを意味するものではありません。たとえば、αがKの単位元1である場合、トレースは[ L：​​K  ]の1倍になります）。

より具体的には、L / Kがガロア拡大でα がLに含まれる場合、 αのトレースはαのすべてのガロア共役の和である^[1] 。つまり、

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\sum _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}$

ここでGal( L / K )はL / Kのガロア群を表す。

を の二次拡大とします。の基底は です。 の場合、の行列は次のようになります。${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}}.}$${\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {d}}}$${\displaystyle m_{\alpha}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&bd\\b&a\end{matrix}}\right]}$、

そして、。^[1] αの最小多項式はX ² − 2 a X + ( a ² − db ² )である。 ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/\mathbb {Q} }(\alpha )=[L:\mathbb {Q} (\alpha )]\left(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )\right)=1\times \left(\sigma _{1}(\alpha )+{\overline {\sigma _{1}}}(\alpha )\right)=a+b{\sqrt {d}}+ab{\sqrt {d}}=2a}$ 

トレース関数のいくつかの性質は任意の有限拡張に対して成り立つ。^[3]

トレースTr _{L / K}  : L → KはK線型写像（K線型関数）であり、

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha a+\beta b)=\alpha \operatorname {Tr} _{L/K}(a)+\beta \operatorname {Tr} _{L/K}(b){\text{ すべての }}\alpha 、\beta \in K について}$。

α ∈ Kならば​${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K]\alpha .}$

さらに、トレースは体の塔でもうまく機能します。MがLの有限拡張である場合、 MからKへのトレースは、MからLへのトレースとLからKへのトレースの合成です。つまり 、

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{M/K}=\operatorname {Tr} _{L/K}\circ \operatorname {Tr} _{M/L}}$。

L = GF( q ⁿ ) を有限体 K = GF( q )の有限拡大とする。L / Kはガロア拡大なので、αがLに含まれる場合、 αのトレースはαのすべてのガロア共役の和、すなわち^{[4]となる。}

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\alpha +\alpha ^{q}+\cdots +\alpha ^{q^{n-1}}.}$

この設定では、追加のプロパティがあります: ^[5]

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(a^{q})=\operatorname {Tr} _{L/K}(a){\text{ for }}a\in L}$。
• 任意の に対して、となる要素がちょうど存在します。${\displaystyle \alpha \in K}$${\displaystyle q^{n-1}}$${\displaystyle b\in L}$${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(b)=\alpha }$

定理. ^[6] b ∈ Lに対して、F _{b を}写像とする。すると、b ≠ cならばF _b ≠ F _cとなる。さらに、LからKへのK線型変換は、 b が体L上で変化するときの形式F _bの写像とまったく同じである。 ${\displaystyle a\mapsto \operatorname {Tr} _{L/K}(ba).}$

KがLの素数部分体であるとき、トレースは絶対トレースと呼ばれ、そうでない場合は相対トレースと呼ばれます。^[4]

二次方程式ax ² + bx + c = 0でa ≠ 0であり 、係数が有限体にある場合、GF( q )には 0、1、または 2 個の根があります(二次拡大 GF( q ² )には重複度を含めて 2 つの根があります)。GF( q )の特性が奇数の場合、判別式Δ = b ² − 4 ac はGF( q )の根の数を示し、古典的な二次方程式の公式によって根が与えられます。ただし、GF( q ) が偶数の特性を持つ場合(つまり、ある正の整数hに対してq = 2 ^hの場合)、これらの公式は適用できなくなります。 ${\displaystyle \operatorname {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}}$

有限体GF(2 ^h )に係数を持つ二次方程式ax ² + bx + c = 0を考える。^[7] b = 0の場合、この方程式はGF( q )に唯一の解を持つ。b ≠ 0の場合、置換y = ax / bにより二次方程式は次の形式に変換される 。${\displaystyle x={\sqrt {\frac {c}{a}}}}$

${\displaystyle y^{2}+y+\delta =0,{\text{ where }}\delta ={\frac {ac}{b^{2}}}.}$

この方程式は、絶対トレースがである場合にのみGF( q )に 2 つの解を持ちます。この場合、y  =  sが解の 1 つであれば、y  =  s  + 1 がもう 1 つの解です。kをGF( q )の任意の要素とします。すると、方程式の解は次のように与えられます。 ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(\delta )=0.}$${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(k)=1.}$

${\displaystyle y=s=k\delta ^{2}+(k+k^{2})\delta ^{4}+\ldots +(k+k^{2}+\ldots +k^{2^{h-2}})\delta ^{2^{h-1}}.}$

h = 2 m' + 1の場合 、解はより単純な式で与えられます。

${\displaystyle y=s=\delta +\delta ^{2^{2}}+\delta ^{2^{4}}+\ldots +\delta ^{2^{2m}}.}$

L / Kが分離可能な場合、トレースはトレース形式を介して双対性理論を提供します。つまり、 ( x、y )を Tr _{L / K} ( xy )に送るL × LからKへのマップは、トレース形式と呼ばれる非退化の対称双線型形式です。L / Kがガロア拡大である場合、トレース形式はガロア群に関して不変です。

トレース形式は、代数的整数論において、異なるイデアルの理論で使用されます。

有限次数体拡大L / Kのトレース形式は、 Kの任意の体順序に対して非負の符号を持ちます。^[8] 逆、すなわち非負の符号を持つすべてのウィット同値類はトレース形式を含むという関係は、代数体Kに対しても成り立ちます。^[8]

L / Kが不可分拡大である場合、トレース形式は0と同一である。^[9]

• フィールドノルム
• トレースの削減

• ヒルシュフェルド、JWP (1979)、「有限体上の射影幾何学」、オックスフォード数学モノグラフ、オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-853526-0
• アイザックス、IM（1994）、代数学、大学院コース、ブルックス/コール出版
• リドル、ルドルフ;ニーダーライター、ハラルド(1997) [1983]、有限体、数学とその応用百科事典、第20巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-39231-4、ZBL  0866.11069
• ロレンツ、ファルコ (2008)。代数学。第 2 巻: 構造を持つ体、代数、および高度なトピック。Springer。ISBN 978-0-387-72487-4.ZBL1130.12001  。​
• マレン、ゲイリー L.; パナリオ、ダニエル (2013)、有限体ハンドブック、CRC プレス、ISBN 978-1-4398-7378-6
• ローマン、スティーブン（2006）、場の理論、Graduate Texts in Mathematics、第158巻（第2版）、Springer、第8章、ISBN 978-0-387-27677-9、Zbl  1172.12001
• ロットマン、ジョセフ・J.（2002）、Advanced Modern Algebra、Prentice Hall、ISBN 978-0-13-087868-7

• Conner, PE; Perlis, R. (1984)。代数的数体のトレース形式の調査。純粋数学シリーズ。第 2 巻。World Scientific。ISBN 9971-966-05-0.ZBL0551.10017  。​
• Lang, Serge (2002)、Algebra、Graduate Texts in Mathematics、vol. 211（改訂第3版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBNのセクションVI.5 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001