レイクラスフィールド

数学において、射線類体とは、イデアル類またはイデアル類の射線類群に関連付けられた大域体のアーベル拡大です。数体のすべての有限アーベル拡大は、その射線類体の 1 つに含まれます。

「光線類群」という用語は、ドイツ語の「Strahlklassengruppe」の翻訳です。ここで、「Strahl」はドイツ語で光線を意味し、多くの場合、光線類群を定義する正値条件に現れる正の実数直線を意味します。Hasse (1926、p.6) は、「Strahl」を正値条件を使用して定義された特定のイデアル群の意味で使用し、「Strahlklasse」をこの群の剰余類の意味で使用しています。

無限素数の扱い方が著者によって異なるため、光線クラス体に関する 2 つのわずかに異なる概念があります。

ウェーバーは 1897 年に光線類群を導入しました。高木は 1920 年頃に、対応する光線類体の存在を証明しました。シュヴァレーは 1933 年にイデルの観点から光線類群の定義を再定式化しました。

mが数体Kの整数環のイデアルであり、Sが実数部の部分集合である場合、 mとSの射線類群は商群である。

${\displaystyle I^{m}/P^{m}\,}$

ここで、I ^{m は}mと互いに素な分数イデアル の群であり、「光線」P ^{m は}Sの場所で正であるa  ≡ 1 mod  mの元aによって生成される主イデアルの群です。Sがすべての実数の場所で構成され、a が全正に制限される場合、その群はmの狭光線類群と呼ばれます。一部の著者は、「光線類群」という用語を「狭光線類群」の意味で使用します。

Kの放射線類体は、類体論によって放射線類群に関連付けられたKのアーベル拡大であり、そのガロア群は対応する放射線類群と同型です。与えられた放射線類群の放射線類体の存在証明は長くて間接的であり、一般にそれを構築する簡単な方法は知られていません (ただし、虚数二次体などの一部の特殊なケースでは明示的な構築が知られています)。

シュヴァレーはイデアルmと実数部集合Sの射類群をイデアル類群の群像による商として 再定義した。

${\displaystyle \prod U_{p}\,}$

ここでU _pは次のように与えられる:

• 複素数pの非ゼロ複素数
• S内の実数位pについては正の実数、 S内にないpについてはすべての非ゼロ実数
• 有限の場所pがmを割り切れない場合のK _pの単位
• p ^{n が}p をm で割る最大累乗である場合、K _p の単位は1 mod p ⁿに一致します。

一部の著者はより一般的な定義を使用しており、グループU _{p は}特定の実数位置pに対してすべて非ゼロの実数であることが許可されています 。

イデアルを使用して定義された光線類群は、イデアルを使用して定義された光線類群と自然に同型です。これらはすべて単一の群の商であるため、理論的に扱いやすく、比較も簡単な場合があります。

光線類群の光線類体とは、Kの(唯一の) アーベル拡大Lであり、 Lのイデアル類群C _LのノルムはKのイデアル類群におけるの像になります。 ${\displaystyle \prod U_{p}\,}$

Kが有理数体、mが非ゼロの有理整数、S がKのアルキメデス位を構成する場合、 ( m ) とSの放射線類群はZ / m Zの単位群と同型であり、放射線類体は1のm乗根によって生成される体です。 ( m ) と位の空集合に対する放射線類体は、その最大の全実部分体、つまり体です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\cos({\frac {2\pi }{m}}))}$

ヒルベルト類体は、単位イデアルと実数部位の空集合に対応する光線類体であるため、最小の光線類体です。狭幅ヒルベルト類体は、単位イデアルと実数部位の集合に対応する光線類体であるため、最小の狭幅光線類体です。

• Hasse、Helmut (1926)、「Bericht über neuere Unterschungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper.」、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung、35、ゲッティンゲン: Teubner
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.