玉川数に関するワイルの予想

数学において、玉川数に関するワイル予想とは、玉川数が$\displaystyle \tau (G)$数体上で定義された単連結な単純代数群の は1 です。この場合、単連結とは、代数群論の意味での「適切な代数被覆を持たない」ことを意味し、これは必ずしも位相幾何学者の意味ではありません。

ワイル（1959 ）は、多くの古典群の場合について玉川数を計算し、検討したすべての場合においてそれが整数であり、群が単連結である場合には1に等しいことを観察した。最初の観察はすべての群に当てはまるわけではなく、小野（1963）は玉川数が整数でない例を発見した。単連結半単純群の玉川数が1であるように見えるという2番目の観察は、ワイル予想として知られるようになった。 

ロバート・ラングランズ（1966）は、シュヴァレー群に対してそれを示すために調和解析法を導入した。KF ライ（1980）は、既知のケースのクラスを準分裂還元群に拡張した。コットヴィッツ（1988）は、ハッセの原理を満たすすべての群に対してそれを証明した。当時、 ハッセの原理は、 E ₈因子を持たないすべての群に対して知られていた。VI チェルノソフ（1989）は、抵抗性E _{8 の}場合にハッセの原理を証明することによってこの制限を取り除き（代数群における強い近似を参照）、ワイルの予想の証明を完了した。 2011年、Jacob LurieとDennis Gaitsgoryは、有限体上の関数体上の代数群に関する予想の証明を発表し、^{[ 1 ]}その議論の一部はGaitsgory & Lurie (2019)で発表され、 Grothendieck- Lefschetzトレース公式とRan空間を使用して第2巻で完成させる予定でした。

小野（1965）はワイル予想を用いて、すべての半単純代数群の玉川数を計算した。

スピン群の場合、この予想は既知のスミス・ミンコフスキー・シーゲル質量公式を意味する。^{[ 1 ]}

• 玉川ナンバー

• 「玉川数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Chernousov, VI (1989)、「E8型群に対するハッセ原理」、Soviet Math. Dokl.、39：592–596、MR 1014762 
• Gaitsgory, Dennis ; Lurie, Jacob (2019), Weil's Conjecture for Function Fields (Volume I) , Annals of Mathematics Studies, vol.  199, Princeton: Princeton University Press , pp.  viii, 311, ISBN 978-0-691-18213-1MR 3887650、Zbl 1439.14006​  
• Kottwitz, Robert E. (1988)、「玉川数」、Ann. of Math.、2、127 (3)、Annals of Mathematics: 629–646、doi : 10.2307/2007007、JSTOR 2007007、MR 0942522  。
• Lai, KF (1980) 「簡約代数群の玉川数」『Compositio Mathematica』41 (2): 153–188、MR 0581580 
• Langlands, RP (1966)、「Chevalley 群のいくつかの算術的部分群の基本領域の体積」、代数群と不連続部分群、純粋数学シンポジウム議事録、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 143–148、MR 0213362  
• Lurie, Jacob (2014),非可換ポアンカレ双対性によるタマガワ数
• 小野隆（1963）「代数トーラスの玉川数について」『数学年報』第2シリーズ、78（1）：47–73、doi：10.2307/1970502、ISSN 0003-486X、JSTOR 1970502、MR 0156851   
• 小野隆（1965）「玉川数の相対論について」『数学年報』第2シリーズ、82（1）：88–111、doi：10.2307/1970563、ISSN 0003-486X、JSTOR 1970563、MR 0177991   
• 玉川恒雄 (1966)、「アデル」、代数群と不連続部分群、純粋数学シンポジウム論文集、第 IX巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 113–121、MR 0212025  
• Voskresenskii, VE (1991), Algebraic Groups and their Birational Invariants , AMS translation
• アンドレ・ヴェイユ(1959)、Exp. No. 186、Adèles et groupes algébriques、Séminaire Bourbaki、vol. 5、249 ～ 257 ページ 
• Weil, André (1982) [1961], 「アデルと代数群」、Progress in Mathematics、第23巻 、ボストン、マサチューセッツ州：Birkhäuser Boston、ISBN 978-3-7643-3092-7MR 0670072​ 

• Aravind Asok、Brent Doran、Frances Kirwan、「Yang-Mills理論と玉川数：数学における予期せぬつながりの魅力」、2013年2月22日
• J. Lurie、「シーゲル質量公式、玉川数、および非可換ポアンカレ双対性」、2012年6月8日投稿。