ハッセの原則

数学において、ヘルムート・ハッセの局所的・大域的原理（ハッセ原理とも呼ばれる）は、中国剰余定理を用いて各素数のべき乗を法とする解を組み立てることで、方程式の整数解を見つけることができるという考え方である。これは、有理数の完成形、すなわち実数とp進数で方程式を調べることによって行われる。ハッセ原理のより形式的なバージョンでは、特定の種類の方程式は、各素数pに対して実数とp進数の両方で解を持つ場合に限り、有理数解を持つと述べている。

有理係数を持つ多項式方程式が与えられたとき、有理解が存在するならば、有理数は実数とp進数に埋め込まれるため、実数解とp進数解も得られます。つまり、大域解は各素数において局所解を生成します。ハッセの原理は、その逆がいつ可能になるのか、あるいはむしろ、何が障害となるのかを問いかけます。実数とp進数上の解をつなぎ合わせて有理数上の解を得られるのはいつなのか、局所解を結合して大域解を形成できるのはいつなのか、ということです。

他の環や体、例えば整数や数体についても同様の問いを立てることができる。数体の場合、実数やp進数の代わりに複素埋め込みと${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$素イデアルの-進数${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$体の整数環において。

アルベルト・ブラウアー・ハッセ・ネーターの定理は、代数体K上の中心単純代数Aの分割に関する局所的・大域的原理を確立する。この定理によれば、A が任意の完備化K _v上で分割されるならば、A はK上の行列代数と同型である。

代数群に関するハッセの原理は、 G が大域体k上で定義された単連結代数群である場合、写像が

${\displaystyle H^{1}(k,G)\rightarrow \prod _{s}H^{1}(k_{s},G)}$

ガロアコホモロジー群の積は単射であり、積はkのすべての位sにわたる。

直交群に対するハッセの原理は、対応する二次形式に対するハッセの原理と密接に関連している。

クネーザー（1966）をはじめとする数名が、各群ごとに個別の証明を行うことでハッセの原理を検証した。最後のケースは群E8であり_、これは他のケースの検証から何年も経ってからチェルノソフ（1989）によってようやく完了した。

代数群に対するハッセの原理は、玉川数に関するワイル予想と強近似定理の証明に用いられた。

• 局所分析
• グルンワルド・ワンの定理
• グロタンディーク・カッツのp曲率予想

• Chernousov, VI (1989)、「E8型群に対するハッセ原理」、Soviet Math. Dokl.、39：592–596、MR 1014762 
• Kneser, Martin (1966)、「単連結群の H¹ に対するハッセの原理」、代数群と不連続部分群（純粋数学シンポジウム議事録、コロラド州ボルダー、1965年）、ロードアイランド州プロビデンス：アメリカ数学会、pp. 159–163、MR 0220736  
• セルジュ・ラング(1997)。ディオファントス幾何学の調査。スプリンガー・フェルラーグ。250 ～258ページ。ISBN  3-540-61223-8。
• Alexei Skorobogatov (2001). Torsors and rational points . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol.  144. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 1–7, 112. ISBN  0-521-80237-7。

• 「ハッセの原理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• PlanetMathのハッセ原理。
• スウィンナートン＝ダイアー著『ディオファントス方程式：進歩と問題点』オンラインノート
• Franklin, J. (2014). "Global and local" (PDF) . Mathematical Intelligencer . 36 (4): 4– 9. doi : 10.1007/s00283-014-9482-0 .