整数行列

数学において、整数行列とは、要素がすべて整数である行列のことです。例としては、 2 進行列、ゼロ行列、1 の行列、単位行列、グラフ理論で使用される隣接行列などがあります。整数行列は、組み合わせ論で頻繁に使用されます。

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccr}5&2&6&0\\4&7&3&8\\5&9&0&4\\3&1&0&\!\!\!-3\\9&0&2&1\end{array}}\right)}$    そして     ${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&5&0\\0&9&2\\1&7&3\end{array}}\right)}$

どちらも整数行列の例です。

整数行列の可逆性は、一般に非整数行列の可逆性よりも数値的に安定しています。整数行列の行列式はそれ自体が整数であり、整数行列の adj も整数行列であるため、可逆整数行列の行列式の数値的に最小の可能な大きさは1であり、したがって逆行列が存在する場合でも、それらは過度に大きくなりません (条件数 を参照)。行列式から特性を推論する行列理論の定理は、このように、条件の悪い(行列式がほぼゼロの)実数値または浮動小数点数値の行列によって引き起こされる罠を回避します。

整数行列の逆行列は、 の行列式がまたはに等しい場合に限り、再び整数行列になります。 行列式の整数行列は群 を形成し、これは算術および幾何学で広範囲に応用されています。 は、モジュラー群と密接に関連しています。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {Z} )}$${\displaystyle n=2}$

整数行列と直交群の交差は、符号付き置換行列の群です。

整数行列の特性多項式は整数係数を持ちます。行列の固有値はこの多項式の根であるため、整数行列の固有値は代数的整数です。したがって、 5 未満の次元では、それらは整数を含む根号で表すことができます。

整数行列は積分行列と呼ばれることもありますが、この使用は推奨されません。

• GCD行列
• ユニモジュラー行列
• ウィルソン行列

• MathWorld の整数行列