クラス番号 1 の数値フィールドのリスト

これはクラス番号 1 の数値フィールドの不完全なリストです。

このような数体は無限に存在すると考えられているが、これは証明されていない。^[1]

意味

数体の類数は、定義により、その整数環の理想類群の位数です。

したがって、数体の類数が 1 となるのは、その整数環が主イデアル領域(したがって一意の因数分解領域) である場合のみです。算術の基本定理によれば、Q は類数が 1 になります。

二次数体

これらは、平方でない整数dに対して、 K = Q ( √ d )という形式になります。

実二次体

d > 0の場合、 Kは実二次関数と呼ばれます。Kは、次のdの値に対してクラス番号 1 を持ちます ( OEISのシーケンスA003172 )。

2*、3、5*、6、7、11、13*、14、17*、19、21、22、23、29*、31、33、37*、38、41*、43、46、47 、53*、57、59、61*、62、67、 69、71、73*、77、83、86、89*、93、94、97*、... ^[1]^[2]

( d = 100 まで完了)

*:狭域クラス番号も 1 です (OEIS の関連シーケンス A003655 を参照)。

これらの小さな値の場合に当てはまるように見えるにもかかわらず、4 を法として 1 と合同な素数がすべてこのリストに載っているわけではありません。特に、d = 229 とd = 257 の体Q ( √ d )は、両方ともクラス番号が 1 より大きい (実際には両方の場合とも 3 に等しい) です。^[3]Q ( √ d ) がクラス番号 1 を持つような素数の密度はゼロではないと推測され、実際には 76% に近いですが、^[4] クラス番号 1 を持つ実二次体が無限に存在するかどうかさえわかっていません。^[1]

虚数二次体

K は、 dの次の 9 つの負の値に対してクラス番号 1 を持ちます。

−1、−2、−3、−7、−11、−19、−43、−67、−163。^[1]

(定義により、これらもすべて狭いクラス番号 1 を持ちます。)

立方体フィールド

完全に実在する立方体

最初の 60 個の実数 3 次体 (判別式の順) はクラス番号 1 を持ちます。言い換えると、判別式が 0 から 1944 まで (両端を含む) のすべての 3 次体はクラス番号 1 を持ちます。次の実数 3 次体 (判別式が 1957) はクラス番号 2 です。判別式が 500 未満でクラス番号 1 である実数 3 次体を定義する多項式は次のとおりです: ^[5]

x ³ − x ² − 2 x + 1 (判別式49)
x ³ − 3 x − 1 (判別式81)
x ³ − x ² − 3 x + 1 (判別式148)
x ³ − x ² − 4 x − 1 (判別式169)
x ³ − 4 x − 1 (判別式 229)
x ³ − x ² − 4 x + 3 (判別式 257)
x ³ − x ² − 4 x + 2 (判別式316)
x ³ − x ² − 4 x + 1 (判別式321)
x ³ − x ² − 6 x + 7 (判別式361)
x ³ − x ² − 5 x − 1 (判別式404)
x ³ − x ² − 5 x + 4 (判別式469)
x ³ − 5 x − 1 (判別式473)

複素三次体

判別式が−500より大きい複素三次体はすべてクラス番号1であるが、判別式が−283、−331、−491の体はクラス番号2である。−23の多項式の実根は塑性比の逆数（負）であり、−31の多項式の実根は超黄金比の逆数である。判別式が−500より大きいクラス番号1の複素三次体を定義する多項式は以下の通りである。^[5]

x ³ − x ² + 1 (判別式 −23)
x ³ + x − 1 (判別式 −31)
x ³ − x ² + x + 1 (判別式 −44)
x ³ + 2 x − 1 (判別式 −59)
x ³ − 2 x − 2 (判別式 −76)
x ³ − x ² + x − 2 (判別式 −83)
x ³ − x ² + 2 x + 1 (判別式 −87)
x ³ − x − 2 (判別式 −104)
x ³ − x ² + 3 x − 2 (判別式 −107)
x ³ − 2 (判別式 −108)
x ³ − x ² − 2 (判別式 −116)
x ³ + 3 x − 1 (判別式 −135)
x ³ − x ² + x + 2 (判別式 −139)
x ³ + 2 x − 2 (判別式 −140)
x ³ − x ² − 2 x − 2 (判別式 −152)
x ³ − x ² − x + 3 (判別式 −172)
x ³ − x ² + 2 x − 3 (判別式 −175)
x ³ − x ² + 4 x − 1 (判別式 −199)
x ³ − x ² + 2 x + 2 (判別式 −200)
x ³ − x ² + x − 3 (判別式 −204)
x ³ − 2 x − 3 (判別式 −211)
x ³ − x ² + 4 x − 2 (判別式 −212)
x ³ + 3 x − 2 (判別式 −216)
x ³ − x ² + 3 (判別式 −231)
x ³ − x − 3 (判別式 −239)
x ³ − 3 (判別式 −243)
x ³ + x − 6 (判別式 −244)
x ³ + x − 3 (判別式 −247)
x ³ − x ² − 3 (判別式 −255)
x ³ − x ² − 3 x + 5 (判別式 −268)
x ³ − x ² − 3 x − 3 (判別式 −300)
x ³ − x ² + 3 x + 2 (判別式 −307)
x ³ − 3 x − 4 (判別式 −324)
x ³ − x ² − 2 x − 3 (判別式 −327)
x ³ − x ² + 4 x + 1 (判別式 −335)
x ³ − x ² − x + 4 (判別式 −339)
x ³ + 3 x − 3 (判別式 −351)
x ³ − x ² + x + 7 (判別式 −356)
x ³ + 4 x − 2 (判別式 −364)
x ³ − x ² + 2 x + 3 (判別式 −367)
x ³ − x ² + x − 4 (判別式 −379)
x ³ − x ² + 5 x − 2 (判別式 −411)
x ³ − 4 x − 5 (判別式 −419)
x ³ − x ² + 8 (判別式 −424)
x ³ − x − 8 (判別式 −431)
x ³ + x − 4 (判別式 −436)
x ³ − x ² − 2 x + 5 (判別式 −439)
x ³ + 2 x − 8 (判別式 −440)
x ³ − x ² − 5 x + 8 (判別式 −451)
x ³ + 3 x − 8 (判別式 −459)
x ³ − x ² + 5 x − 3 (判別式 −460)
x ³ − 5 x − 6 (判別式 −472)
x ³ − x ² + 4 x + 2 (判別式 −484)
x ³ − x ² + 3 x + 3 (判別式 −492)
x ³ + 4 x − 3 (判別式 −499)

円分体

以下は、体Q (ζn ₎がクラス番号1を持つ30個のnの完全なリストです。 ^[6]^[7]

1、3、4、5、7、8、9、11、12、13、15、16、17、19、20、21、24、25、27、28、32、33、35、36、40、 44、45、48、60、84。

（ nが奇数のときQ (ζ2n ₎ = Q (ζn ₎となるため、4を法として2に合同なnの値は冗長であることに注意してください。）

一方、2 乗円分体Q (ζ ₂_ⁿ ) ( nは正の整数)の極大実部分体Q (cos(2π/2 ⁿ^{)) は、 n≤8 に対して類数 1 を持つことが知られており[8] 、すべての}nに対して類数 1 を持つことが予想されています。Weber は、これらの体が奇数の類数を持つことを示しました。2009 年に、福田と小松は、これらの体の類数には 10 ⁷未満の素因数がないことを示し^[9]、後にこの上限を 10 ^{9に改善しました}^[10]。これらの体は、 Qの円分Z _2拡大のn番目の層です。また、2009 年に、森沢は、 Qの円分Z ₃拡大の層の類数には10 ⁴未満の素因数がないことを示しました。^{[11]コーツは}_、すべての素数pに対して、Qの円分Zp拡大のすべての層が類数1を持つかどうかという疑問を提起した。^[^要出典^]

CMフィールド

虚二次体と円分体の場合を同時に一般化するのが、CM 体K、すなわち全実体の全虚二次拡大の場合である。1974 年、ハロルド・スタークは、クラス数 1 の CM 体が有限個存在すると予想した。^[12]彼は、固定次数の CM 体が有限個存在することを示しました。その後まもなく、アンドリュー・オドリツコは、クラス数 1 のガロアCM 体が有限個しか存在しないことを示しました^。[13] 2001 年、V. クマール・マーティは、ガロア閉包が解けるガロア群を持つすべての CM 体のうち、クラス数 1 を持つのは有限個だけであることを示しました。^[14]

クラス番号 1 の 172 個のアーベル CM 体の完全なリストは、1990 年代初頭に Ken Yamamura によって決定され、この主題に関する彼の論文の 915 ～ 919 ページに掲載されています。^[15]このリストを Stéphane Louboutin と Ryotaro Okazaki の研究と組み合わせると、クラス番号 1 の 4 次 CM 体の完全なリストが得られます。^[16]

参照

注記

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参考文献

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[neu-1] Neukirch 1999 の第 1 章、第 6 節、37 ページ

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[pari-5] Pariソースコードで利用可能な表

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[16] ルブタン、ステファン; 岡崎、良太郎 (1994)、「すべての非正規四次 CM フィールドとクラス数 1 のすべての非アーベル正規八次 CM フィールドの決定」、Acta Arithmetica、67 (1): 47–62、doi : 10.4064/aa-67-1-47-62

意味