テンソル積

数学において、2 つの体のテンソル積は、共通の部分体上の代数としてのテンソル積 です。部分体が明示的に指定されていない場合、2 つの体は同じ特性を持つ必要があり、共通の部分体はそれらの主部分体です。

2 つの体のテンソル積は、体である場合もあれば、体の直積である場合も多い。場合によっては、テンソル積にはゼロ以外の冪零元が含まれることもある。

2 つの体のテンソル積は、2 つの体を共通の拡大体に埋め込むさまざまな方法を単一の構造で表現します。

まず、体の合成体の概念を定義します。この構成は、体論で頻繁に登場します。合成体の背後にある考え方は、他の 2 つの体を含む最小の体を作ることです。合成体を正式に定義するには、まず体の塔を指定する必要があります。k を体とし、LとK をkの 2 つの拡大とします。合成体KLは、 と定義されます。ここで、右辺はKとLによって生成される拡大を表します。これは、 K と L の両方を含む何らかの体を前提としています。周囲体を簡単に識別できる状況 (たとえば、KとL が両方とも複素数の部分体である場合) から開始するか、 KとLの両方を(同型コピーとして) 十分に大きな体に 配置できる結果を証明します。${\displaystyle KL=k(K\cup L)}$

多くの場合、K . L は、 KとLの共通部分である体N上のベクトル空間 テンソル積として識別できます。たとえば、有理体に √2 を付加してKを取得し、 √3 を付加してL を取得すると、複素数内のK . Lとして得られる体M は(同型を除いて) であることがわかります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }L}$

を 上のベクトル空間として表します。(この種の結果は、一般に、代数的整数論の分岐理論を使用して検証できます。) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Mの部分体KとL は、部分体N上で線型的に互いに素であり、この ようにして、

${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

KにLは単射です。^[1]当然ながら、これは常に当てはまるわけではありません。たとえば、 K = L のときなどです。次数が有限のとき、単射性はここでの全単射性と同値です。したがって、KとL がN上の線型的に互いに素な有限次拡大体である場合、前述の有理数の拡大と同様に、 となります。 ${\displaystyle KL\cong K\otimes _{N}L}$

円分体理論における重要なケースとして、n を合成数とする1のn乗根に対して、 nを割り切る素数累乗のpの^k 乗根によって生成される部分体は、異なるpに対して線型的に互いに素であるということが挙げられます。^[2]

一般理論を得るには、上の環構造を考える必要があります。積はと定義できます(代数のテンソル積を参照)。この式は各変数についてN上で多重線型であるため、テンソル積上の環構造を定義し、 をN代数の可換な環にし、これを体のテンソル積と呼びます。 ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$${\displaystyle (a\otimes b)(c\otimes d)}$${\displaystyle ac\otimes bd}$${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

環の構造は、KとL の両方をNの何らかの体拡大に埋め込むすべての方法を検討することで解析できます。ここでの構成は、共通の部分体N を前提としていますが、 KとL が何らかの体Mの部分体であることを事前に想定していません(したがって、合成体の構成に関する警告を回避しています)。KとL をそのような体Mに埋め込むときはいつでも、たとえばKの埋め込み αとLの埋め込み β を使用して、からMへの環準同型γ が次のように定義されます。 ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

${\displaystyle \gamma (a\otimes b)=(\alpha (a)\otimes 1)\star (1\otimes \beta (b))=\alpha (a).\beta (b).}$

γ の核はテンソル積の素イデアルになります。逆に、テンソル積の任意の素イデアルは、N代数の準同型を（分数の体の中で）整域に与え、そのため、N（のコピー）の拡大として、ある体へのKとLの埋め込みを提供します。

このようにして、 の構造を分析することができます。原理的には、非ゼロのnilradical (すべての素イデアルの交差) が存在する可能性があり、それによって商を取った後、N上のさまざまなMにおけるKとLのすべての埋め込みの積について話すことができます。 ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

KとLがNの有限拡大である場合、テンソル積はN代数（したがってアルティン環）として有限次元であるため、状況は特に単純です。 Rが根号である場合、有限個の体の直積として を持つと言えます。 このような各体は、ある拡大MにおけるKとLの（本質的に異なる）体埋め込みの同値類の代表です。 ${\displaystyle (K\otimes _{N}L)/R}$

具体的な例として、体と を考えてみましょう。 は明らかに同型ですが、技術的には等しくない体であり、それらの（集合論的な）交差は素体 です。それらのテンソル積は ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L\neq K}$${\displaystyle N=\mathbb {Q} }$

${\displaystyle K\otimes L=K\otimes _{N}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

は体ではなく、4次元の-代数である。さらにこの代数は体の直和と同型である。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle K\otimes L\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\oplus \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

によって誘導される写像を介して。道徳的には、同型を介してKとLの同型までの最大共通部分体とみなされるべきである。最大共通部分体のこのより良い候補に対してテンソル積を実行すると、実際には（むしろ自明な）体が得られる。 ${\displaystyle 1\mapsto (1,1),z\mapsto ({\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})}$${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L}$

${\displaystyle K\otimes _{\tilde {N}}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})={\tilde {N}}\cong K\cong L}$。

別の例として、Kが2の3乗根で生成される場合、 K（のコピー）と分割体の 和は${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }K}$

× ³ − 2,

6 次から まで。これは、 上のテンソル積の次元を9 として計算し、分割体にはKのコピーが 2 つ (実際には 3 つ) 含まれ、 がそのうちの 2 つの合成体であることを観察することで証明できます。これは、この場合 R = {0}であることを示しています。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

非ゼロ冪零となる例:

P ( X ) = X ^p − T

Kはp個の元を持つ有限体上の不定元Tの有理関数体である（分離多項式を参照。ここでのポイントはPが分離可能ではないということである）。Lが体拡大K ( T ^{1/ p} ) （Pの分解体）である場合、 L / K は純粋に分離不可能な体拡大の例である。元 ${\displaystyle L\otimes _{K}L}$

${\displaystyle T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}}$

はべき乗零です。p乗すると、K線形性を使用して 0 になります。

代数的整数論では、体のテンソル積は（暗黙的に、多くの場合）基本的なツールです。Kが有限次nの の拡大である場合、は常にまたは と同型の体の積です。完全な実数体とは、実体のみが発生する体のことです。一般に、次元を数えるとr ₁  + 2 r ₂ = nとなるr ₁実体とr ₂複素体があります。体因子は、古典的な文献で説明されている 実埋め込み、および複素共役埋め込みのペアと 1 対 1 で対応しています。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

この考え方は、_{p が}p進数体 である場合にも適用されます。これは、 上のp進計量の拡大に対するKの完備化と 1-1 対応して、_pの有限拡大の積です。 ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

これは一般的な図式を与え、実際ガロア理論を展開する方法でもあります (グロタンディークのガロア理論で利用された方法に沿って)。分離可能な拡大の場合、根号は常に {0} であることが示されます。したがって、ガロア理論の場合は半単純であり、体の積のみのケースです。

• スカラーの拡大- 体拡大とその体上のベクトル空間のテンソル積

• 「Compositum」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Kempf, George R. (2012) [1995]. 「9.2 体のテンソル積の分解」.代数的構造. Springer. pp. 85–87. ISBN 978-3-322-80278-1。
• Milne, JS (2017年3月18日). 代数的数論(PDF) . p. 17. 3.07.
• スタイン、ウィリアム (2004)。「古典的および代数的数論の簡単な入門」(PDF)。pp. 140–2。
• ザリスキ、オスカー、サミュエル、ピエール（1975）[1958]。可換代数I。数学の大学院テキスト。第28巻。シュプリンガー出版社。ISBN 978-0-387-90089-6MR  0090581 。

• 線形分離の定義に関する MathOverflow スレッド