意味 四元数は 次の形式の表現 です。
1 + b 私 + c j + d k 、 {\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}
ここで、 a 、b 、c 、d は実数であり、i j k 記号 です。実際には、 a 、b 、c 、dの いずれ かが0の場合、対応する項は省略されます。a 、b 、c 、d がすべて0の場合、四元数はゼロ四元数 となり、0と表記されます。b 、c 、d のいずれかが1の場合 、対応する項は単にi 、 j k と 表記されます。
四元数q = 1 + b 私 + c j + d k {\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} } は、スカラー部分 に分解できる。 1 {\displaystyle a} （ 実数部 ）とそのベクトル部分 q − 1 = b 私 + c j + d k {\displaystyle qa=b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} } 虚数部 ）実数部と等しい（つまり、ベクトル部がゼロである）四元数を、スカラー四元数 実数四元数 または単にスカラー と呼ばれることもある）であり、対応する実数と同一視される。つまり、実数は埋め込まれて 。 [ d ] ベクトル四元数 右四元 ）。
四元数は実数上の4次元ベクトル空間を形成し、 { 1 、 私 、 j 、 k } {\displaystyle \left\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \right\}} 基本 として、成分ごとの加算によって
（ 1 1 + b 1 私 + c 1 j + d 1 k ） + （ 1 2 + b 2 私 + c 2 j + d 2 k ） = （ 1 1 + 1 2 ） + （ b 1 + b 2 ） 私 + （ c 1 + c 2 ） j + （ d 1 + d 2 ） k 、 {\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )\\[3mu]&\qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\mathbf {k} ,\end{aligned}}}
および成分ごとのスカラー乗算
λ （ 1 + b 私 + c j + d k ） = λ 1 + （ λ b ） 私 + （ λ c ） j + （ λ d ） k 。 {\displaystyle \lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\mathbf {i} +(\lambda c)\mathbf {j} +(\lambda d)\mathbf {k} .}
ハミルトン積 と呼ばれる乗法群構造は、並置によって表され、四元数上で次のように定義できる。
スカラー四元数1は 単位元 です。 スカラー四元数は他のすべての四元数と可換であり、すなわち、すべての四元数q とすべてのスカラー四元数aに対して aq = qa 中心で まず基底要素に対して積が与えられ、次に分配法則 とスカラー四元数の中心法則を用いてすべての四元数に拡張されます（詳細は後述）。ハミルトン積は可換ではありませんが 結合 法則を満たすため、四元数は実数上の結合代数を形成します。 さらに、ゼロでないすべての四元数は、ハミルトン積に関して逆数を持つ。（ 1 + b 私 + c j + d k ） − 1 = 1 1 2 + b 2 + c 2 + d 2 （ 1 − b 私 − c j − d k ） 。 {\displaystyle (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(ab\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} )。} したがって、四元数は除算代数 を形成する。
基底要素の乗算 基底要素i 、j k 1の乗算は、 1 が 乗法単位元で あるという事実によって定義されます。つまり、 私 1 = 1 私 = 私 、 j 1 = 1 j = j 、 k 1 = 1 k = k 。 {\displaystyle \mathbf {i} \,1=1\,\mathbf {i} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {j} \,1=1\,\mathbf {j} =\mathbf {j} ,\qquad \mathbf {k} \,1=1\,\mathbf {k} =\mathbf {k} }
ハミルトンが乗算を定義するために用いた残りの積は次のとおりです。 私 2 = j 2 = k 2 = 私 j k = − 1. {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\;j\;k} =-1.}
これらから、以下の追加ルールを導き出すことができる。 私 j = − j 私 = k 、 j k = − k j = 私 、 k 私 = − 私 k = j 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i\,j} &=-\mathbf {j\,i} =\mathbf {k} ,\qquad \mathbf {j\,k} =-\mathbf {k\,j} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {k\,i} =-\mathbf {i\,k} =\mathbf {j} .\end{整列}}}
中心 非可換環 の中心は 、すべてのx に対してcx = xc c の部分環です。四元数代数の中心は、スカラー四元数の部分体です。実際、スカラー四元数が中心に属することは定義の一部です。逆に、q = a + b i + c j + d k 0 = 私 q − q 私 = 2 c 私 j + 2 d 私 k = 2 c k − 2 d j 、 {\displaystyle 0=\mathbf {i} \,qq\,\mathbf {i} =2c\,\mathbf {i} \mathbf {j} +2d\,\mathbf {i} \mathbf {k} =2c\,\mathbf {k} -2d\,\mathbf {j} ,}
また、c = d = 0 である。i j b = 0 も成り立つことがわかる。したがって、q = a
四元数は除法代数を形成します。これは、乗法の非可換性が四元数を体と区別する唯一の性質であることを意味します。この非可換性にはいくつかの予期せぬ結果があり、その一つとして、四元数上の多項式方程式は 、多項式の次数よりも多くの異なる解を持つ可能性があります。例えば、方程式z 2 + 1 = 0b 2 + c 2 + d 2 = 1 を満たす四元数z = b i + c j + d k 虚数単位は、 四元数ベクトルの三次元空間において単位球 を形成します。
ハミルトン製品 2 つの要素a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ハミルトン積 ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k 分配法則 によって決定されます。分配法則により、積を基底要素の積の和として展開することが可能になります。これにより、次の式が得られます。
1 1 1 2 + 1 1 b 2 私 + 1 1 c 2 j + 1 1 d 2 k + b 1 1 2 私 + b 1 b 2 私 2 + b 1 c 2 私 j + b 1 d 2 私 k + c 1 1 2 j + c 1 b 2 j 私 + c 1 c 2 j 2 + c 1 d 2 j k + d 1 1 2 k + d 1 b 2 k 私 + d 1 c 2 k j + d 1 d 2 k 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}}
これで、上記のルールを使用して基本要素を乗算して、次の式を得ることができます。[ 9 ]
1 1 1 2 − b 1 b 2 − c 1 c 2 − d 1 d 2 + （ 1 1 b 2 + b 1 1 2 + c 1 d 2 − d 1 c 2 ） 私 + （ 1 1 c 2 − b 1 d 2 + c 1 1 2 + d 1 b 2 ） j + （ 1 1 d 2 + b 1 c 2 − c 1 b 2 + d 1 1 2 ） k {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}}
スカラー部分とベクトル部分 実数a に対して、a + 0 i + 0 j + 0 k スカラー四元数 （実数四元数 とも呼ばれる）と呼ばれ、 b 、c、d が実数で、b、c 、d の少なくとも 1つ がゼロ でない、 0 + b i + c j + d k ベクトル四元数 （右四元数 とも呼ばれる）と呼ばれます。任意の四元数a + b i + c j + d k a はそのスカラー部分 、b i + c j + d k ベクトル部分 と呼ばれます。すべての四元数は 4 次元ベクトル空間のベクトルと見なすことができますが、ベクトル部分を 3 次元空間のベクトルと呼ぶのが一般的です。この慣例では、ベクトルはベクトル空間の要素と同じです。R 3 。 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.} [ e ]
ハミルトンはベクトル四元数を右四元数 [ 37 ] [ 38 ] スカラー四元数 とも呼んだ。
四元数をスカラー部分とベクトル部分に分割すると、
q = （ r 、 v → ） 、 q ∈ H 、 r ∈ R 、 v → ∈ R 3 、 {\displaystyle \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}}),\ \mathbf {q} \in \mathbb {H} ,\ r\in \mathbb {R} ,\ {\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3},}
すると、加算、乗算、および乗法逆数の公式は次のようになります。
（ r 1 、 v → 1 ） + （ r 2 、 v → 2 ） = （ r 1 + r 2 、 v → 1 + v → 2 ） 、 （ r 1 、 v → 1 ） （ r 2 、 v → 2 ） = （ r 1 r 2 − v → 1 ⋅ v → 2 、 r 1 v → 2 + r 2 v → 1 + v → 1 × v → 2 ） 、 （ r 、 v → ） − 1 = （ r r 2 + v → ⋅ v → 、 − v → r 2 + v → ⋅ v → ） {\displaystyle {\begin{aligned}(r_{1},\,{\vec {v}}_{1})+(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}+r_{2},\,{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r_{1},\,{\vec {v}}_{1})(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\,r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r,\,{\vec {v}})^{-1}&=\left({\frac {r}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}},\ {\frac {-{\vec {v}}}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\right)\end{aligned}}}
どこ "⋅ {\displaystyle {}\cdot {}} × {\displaystyle \times } 内積 と外積 を表す。
四元数の共役は、複素数の共役やクリフォード代数の要素の転置（反転とも呼ばれる）に類似している。それを定義するには、q = 1 + b 私 + c j + d k {\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} } の 共役は q * = 1 − b 私 − c j − d k {\displaystyle q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} } q ∗ q t で表されます。q ～ {\displaystyle {\tilde {q}}} q [ 9 ] 対合 であり、つまり、それ自体が逆で あるため、要素を 2 回共役すると元の要素が返されます。2 つの四元数の積の共役は、共役の積を逆順にし たものです。つまり、p とq が四元数である場合、( pq ) ∗ = q ∗ p ∗ であり、p ∗ q ∗
複素数の場合とは対照的に、四元数の共役は四元数の乗算と加算によって表現できる。
q * = − 1 2 （ q + 私 q 私 + j q j + k q k ） 。 {\displaystyle q^{*}=-{\tfrac {1}{2}}(q+\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} ).}
共役は、 四元数の スカラー部分とベクトル 部分 を 抽出するために使用できます。pの 1/2 ( p + p * ) で あり、 p のベクトル部分は 1/2 ( p − p * ) 。
は ノルム と ‖q‖ と q の テンソル と呼びましたが、これは「テンソル 」の現代的な意味と矛盾します）。数式では、これは次のように表されます。
‖ q ‖ = q q * = q * q = 1 2 + b 2 + c 2 + d 2 {\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {qq^{*}}}={\sqrt {q^{*}q}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}
これは常に非負の実数であり、ユークリッドノルムと同じです。H {\displaystyle \mathbb {H} } R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} α が実数の場合、
‖ α q ‖ = | α | ‖ q ‖ 。 {\displaystyle \lVert \alpha q\rVert =\left|\alpha \right|\,\lVert q\rVert .}
これはノルムが乗法的で あるという事実の特殊なケースであり、つまり
‖ p q ‖ = ‖ p ‖ ‖ q ‖ {\displaystyle \lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \,\lVert q\rVert }
任意の2つの四元数p とq に対して。乗法性は、積の共役の公式から導かれる。あるいは、次の恒等式から導かれる。
検出 （ 1 + 私 b 私 d + c 私 d − c 1 − 私 b ） = 1 2 + b 2 + c 2 + d 2 、 {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{pmatrix}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},}
（ここでi は 通常の虚数単位 を表す）そして正方行列の行列式 の乗法性質から。
このノルムにより、 p とq の間の距離 d ( p , q )
d （ p 、 q ） = ‖ p − q ‖ 。 {\displaystyle d(p,q)=\lVert p-q\rVert .}
これによりH {\displaystyle \mathbb {H} } 空間 。加算と乗算は、関連する距離位相 に関して連続で ある。これは、実数の場合とまったく同じ証明で得られる。R {\displaystyle \mathbb {R} } H {\displaystyle \mathbb {H} }
単位四元数 単位四元数 とは、ノルムが1の四元数のことです。ゼロでない四元数qをそのノルムで割ると、 q のバーサー U q
U q = q ‖ q ‖ 。 {\displaystyle \mathbf {U} q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}.}
すべての非ゼロ四元数は一意の極分解を持つ q = ‖ q ‖ ⋅ U q 、 {\displaystyle q=\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q,}
共役とノルムを用いることで、ゼロでない四元数の逆数 を定義できる。四元数とその逆数の積は 1 に等しくなければならず、上記の考察から、q {\displaystyle q} q * / ‖ q ‖ 2 {\displaystyle q^{*}/\left\Vert q\right\|^{2}} q の逆数
q − 1 = q * ‖ q ‖ 2 。 {\displaystyle q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}.}
乗法は非可換であるため、商の量p q −1 q −1 p p とq が 平行なベクトル部分を持つ場合を除く)。表記 p / q
四元数と三次元幾何学 四元数のベクトル部分は、座標ベクトルとして解釈できます。R 3 ; {\displaystyle \mathbb {R} ^{3};} R 3 。 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.} [ 16 ]
このセクションの残りの部分では、i j k は [ 40 ] H {\displaystyle \mathbb {H} } R 3 。 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.} i を− i に、j − j に、k を− k に置き換えることで、ベクトルはその加法逆元 に変換されます。したがって、ベクトルの加法逆元は、四元数としての共役ベクトルと同じです。このため、共役は空間逆元 と呼ばれることもあります。
2 つのベクトル四元数p = b 1 i + c 1 j + d 1 k q = b 2 i + c 2 j + d 2 k 内積 は、ベクトルの類似性により、R 3 、 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}
p ⋅ q = b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2 。 {\displaystyle p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}.}
また、コンポーネントフリーな方法で表現することもできます。
p ⋅ q = 1 2 （ p * q + q * p ） = 1 2 （ p q * + q p * ） 。 {\displaystyle p\cdot q=\textstyle {\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=\textstyle {\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).}
これは、積 pq ∗ 、qp ∗ 、p ∗ q 、およびq ∗ p
The cross product of p and q relative to the orientation determined by the ordered basis i , j k
p × q = ( c 1 d 2 − d 1 c 2 ) i + ( d 1 b 2 − b 1 d 2 ) j + ( b 1 c 2 − c 1 b 2 ) k . {\displaystyle p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} .}
(Recall that the orientation is necessary to determine the sign.) This is equal to the vector part of the product pq −q ∗ p ∗ . It also has the formula
p × q = 1 2 ( p q − q p ) . {\displaystyle p\times q=\textstyle {\tfrac {1}{2}}(pq-qp).}
For the commutator , [p , q ] = pq − qp , of two vector quaternions one obtains
[ p , q ] = 2 p × q , {\displaystyle [p,q]=2p\times q,}
q p = p q − 2 p × q . {\displaystyle qp=pq-2p\times q.}
In general, let p and q be quaternions and write
p = p s + p v , q = q s + q v , {\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},\\[5mu]q&=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},\end{aligned}}}
where p s q s p v q v p and q . Then we have the formula
p q = ( p q ) s + ( p q ) v = ( p s q s − p v ⋅ q v ) + ( p s q v + q s p v + p v × q v ) . {\displaystyle pq=(pq)_{\text{s}}+(pq)_{\text{v}}=(p_{\text{s}}q_{\text{s}}-p_{\text{v}}\cdot q_{\text{v}})+(p_{\text{s}}q_{\text{v}}+q_{\text{s}}p_{\text{v}}+p_{\text{v}}\times q_{\text{v}}).}
This shows that the noncommutativity of quaternion multiplication comes from the multiplication of vector quaternions. It also shows that two quaternions commute if and only if their vector parts are collinear. Hamilton[ 41] Elliptic geometry .
Unit quaternions can be identified with rotations in R 3 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}} versors by Hamilton.[ 41] Quaternions and spatial rotation for more information about modeling three-dimensional rotations using quaternions.
See Hanson (2005)[ 42]
Matrix representations Just as complex numbers can be represented as matrices , so can quaternions. There are at least two ways of representing quaternions as matrices in such a way that quaternion addition and multiplication correspond to matrix addition and matrix multiplication . One is to use 2 × 2 complex matrices, and the other is to use 4 × 4 real matrices. In each case, the representation given is one of a family of linearly related representations. These are injective homomorphisms from H {\displaystyle \mathbb {H} } matrix rings M(2,C ) and M(4,R ) , respectively.
四元数a + b i + c j + d k は 、複素数2 × 2 行列 を用いて次のように表すことができます。
[ − 1 + b 私 c + d 私 − c + d 私 1 − b 私 ] 。 {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\phantom {-}}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.}
この表現には以下の特性があります。
b 、c 、d のうちいずれか2つをゼロに制約することで、複素数の表現が得られます。例えば、c = d = 0b = d = 0四元数のノルム（複素数と同様に、その共役との積の平方根）は、対応する行列の行列式 の平方根である。[ 43 ] 四元数のスカラー部分は、行列トレース の半分です。四元数の共役は、行列の共役転置に対応する。 この表現を制限すると、単位四元数の部分群とその像SU(2)の間に 群同型 写像が得られます。位相的には、単位四元数は 3 次元球面であるため、SU(2) の基礎となる空間も 3 次元球面です。群SU(2) は量子力学におけるスピンの 記述に重要です。パウリ行列を 参照してください。 四元数とパウリ行列 の間には強い関係がある。上記の2 × 2 複素 行列は次のように書ける。1 私 + b 私 σ 3 + c 私 σ 2 + d 私 σ 1 、 {\displaystyle a\,I+b\,i\,\sigma _{3}+c\,i\,\sigma _{2}+d\,i\,\sigma _{1},} {1, i , j , k } は 以下に対応します。{ 私 、 私 σ 3 、 私 σ 2 、 私 σ 1 } {\displaystyle \left\{I,i\,\sigma _{3},i\,\sigma _{2},i\,\sigma _{1}\right\}} { 私 、 σ 1 σ 2 、 σ 3 σ 1 、 σ 2 σ 3 } {\displaystyle \left\{I,\sigma _{1}\,\sigma _{2},\sigma _{3}\,\sigma _{1},\sigma _{2}\,\sigma _{3}\right\}} 任意の 2 つのパウリ行列を乗算すると、常に四元数単位行列が得られますが、 −1 。 −1 はi 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 によって得られます。 例えば、最後の等式は次のようになります。 私 j k = σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 2 σ 3 = − 1. {\displaystyle \mathbf {i\;j\;k} =\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}=-1.} M(2,ℂ) における表現は一意ではない。四元数とパウリ行列間の巡回順序の方向を保持する別の慣習として、1 ↦ 私 、 私 ↦ − 私 σ 1 = − σ 2 σ 3 、 j ↦ − 私 σ 2 = − σ 3 σ 1 、 k ↦ − 私 σ 3 = − σ 1 σ 2 、 {\displaystyle 1\mapsto \mathbf {I} ,\quad \mathbf {i} \mapsto -i\,\sigma _{1}=-\sigma _{2}\,\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -i\,\sigma _{2}=-\sigma _{3}\,\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -i\,\sigma _{3}=-\sigma _{1}\,\sigma _{2},}
これは別の表現を与える。
1 + b 私 + c j + d k ↦ [ 1 − d 私 − c − b 私 c − b 私 − 1 + d 私 ] 。 {\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \mapsto {\begin{bmatrix}ad\,i&-cb\,i\\cb\,i&{\phantom {-}}a+d\,i\end{bmatrix}}.}
4 × 4 実数行列を使用すると、同じ四元数は次のように書くことができます。
[ 1 − b − c − d b 1 − d c c d 1 − b d − c b 1 ] = 1 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] + b [ 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 ] + c [ 0 0 − 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 − 1 0 0 ] + d [ 0 0 0 − 1 0 0 − 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}
しかし、 M(4,ℝ) における四元数の表現は一意ではありません。例えば、同じ四元数は次のように表現することもできます。
[ 1 d − b − c − d 1 c − b b − c 1 − d c b d 1 ] = 1 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] + b [ 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ] + c [ 0 0 0 − 1 0 0 1 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 ] + d [ 0 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&d&-b&-c\\-d&a&c&-b\\b&-c&a&-d\\c&b&d&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}
この形式の異なる行列表現は48 種類あり 、そのうちの 1 つの行列がスカラー部分を表し、他の 3 つの行列はすべて歪対称です。より正確には、 これらの対称制約を持つ行列の 4 組のセットが 48 種類あり、1、i 、j 、k 準同型写像 、つまり、四元数の和と積を行列の和と積に送る写像です。[ 45 ] 転置 に対応します。四元数のノルムの 4 乗は、対応する行列の行列式です。四元数のスカラー部分は、行列のトレースの 4 分の 1 です。上記の 2 × 2 複素 表現と同様に、係数を適切に制約することで、再び複素数を生成できます。例えば、c = d = 0 2 × 2 ブロックを持つブロック対角行列として表すことができます 。
四元数の各4 × 4 行列 表現は、単位四元数の乗算表に対応します。たとえば、上記の最後の行列表現は乗算表に対応します。
これは同型であり、{ 1 ↦ 1 、 b ↦ 私 、 c ↦ j 、 d ↦ k } 、 {\displaystyle \{a\mapsto 1,\ b\mapsto i,\ c\mapsto j,\ d\mapsto k\},}
このような乗算表を、最初の行と列に単位元を持ち、行ヘッダーの符号が列ヘッダーの符号と反対になるように制約すると、 2 列目には 3 つの選択肢 (符号を無視)、 3 列目には 2 つの選択肢 (符号を無視)、4 列目には 1 つの選択肢 (符号を無視) があり、合計 6 つの 可能性があります。次に、2 列目は正または負のいずれかに選択でき、3 列目は正または負のいずれかに選択でき、4 列目は正または負のいずれかに選択できるため、符号には 8 つの可能性があります。文字の位置とその符号の可能性を掛け合わせると 48 になります。次に、1 をa 、i b 、j c 、k をd に置き換え、行と列のヘッダーを削除すると、行列表現a + b i + c j + d k
四元数は、数論 におけるラグランジュの四平方定理の証明の一つにも用いられています。この定理は、すべての非負整数は4つの整数の平方の和で表されると述べています。ラグランジュの四平方定理はそれ自体が優雅な定理であるだけでなく、組み合わせ設計 理論など、数論以外の数学分野でも有用な応用があります。四元数に基づく証明では、ユークリッドの互除法 の類似物が存在するすべての四元数の環の部分環であるフルヴィッツ四元数 を使用します。
複素数のペアとしての四元数 四元数は複素数のペアとして表現できます。この観点から見ると、四元数は複素数にケイリー・ディクソン構成法 を適用した結果と言えます。これは、複素数を実数のペアとして構成する方法を一般化したものです。
させてC 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 1 とj C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 1 とj
（ 1 + b 私 ） 1 + （ c + d 私 ） j 。 {\displaystyle (a+b\,i)1+(c+d\,i)\mathbf {j} .}
j 2 = −1i j = − j i i jの省略表記として k を a + bi + c j + d k C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}
（ 1 + b 私 、 c + d 私 ） ↔ （ 1 、 b 、 c 、 d ） 。 {\displaystyle (a+bi,\,c+di)\leftrightarrow (a,\,b,\,c,\,d).}
平方根
複素数では、C 、 {\displaystyle \mathbb {C} ,} 2乗すると-1になる数は、 i と-iの 2つだけ存在する。H {\displaystyle \mathbb {H} } 球面 です。R 3 。 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}.} q = a + b i + c j + d k を b 、c 、d に関して、これは次のことを意味します。
1 2 − b 2 − c 2 − d 2 = − 1 、 x | 2 1 b = 0 、 2 1 c = 0 、 2 1 d = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}&=-1,{\vphantom {x^{|}}}\\[3mu]2ab&=0,\\[3mu]2ac&=0,\\[3mu]2ad&=0.\end{aligned}}}
最後の 3 つの式を満たすには、a = 0b 、c 、d がすべて0 である必要があります。a が a 2 = −1a = 0b 2 + c 2 + d 2 = 1 です−1に二乗されるのは、それが ノルム1 のベクトル四元数である場合のみです。 定義により、そのようなすべてのベクトルの集合は単位球を形成します。
負の実数四元数のみが無限に多くの平方根を持ちます。その他はすべて2つ（0の場合は1つ）しか持ちません。[ g ]
可換部分環 複素サブプレーン内の四元数同士の関係H {\displaystyle \mathbb {H} } また、可換部分環の 観点から識別および表現することもできます。具体的には、2つの四元数p とq が可換（つまり、pq = qp H 、 {\displaystyle \mathbb {H} ,} H {\displaystyle \mathbb {H} } 四元数環 のすべての可換部分環を見つけようとすると、複素平面の和集合が生じる。
任意の四元数の平方根 任意の四元数q = （ r 、 v → ） {\displaystyle \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}})} q = （ x 、 y → ） {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}=(x,\,{\vec {y}})} （ q ） 2 = （ x 、 y → ） 2 = q 。 {\displaystyle ({\sqrt {\mathbf {q} }})^{2}=(x,\,{\vec {y}})^{2}=\mathbf {q} .}
q = （ r 、 v → ） = ± （ 1 2 （ ‖ q ‖ + r ） 、 v → ‖ v → ‖ 1 2 （ ‖ q ‖ − r ） ） 、 {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}={\sqrt {(r,\,{\vec {v}})}}=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|\mathbf {q} \|+r{\bigr )}}},\ {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|\mathbf {q} \|-r{\bigr )}}}\right),}
どこ‖ v → ‖ = v → ⋅ v → {\textstyle \|{\vec {v}}\|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}} v → {\displaystyle {\vec {v}}} ‖ q ‖ = q * q = r 2 + ‖ v → ‖ 2 {\textstyle \|\mathbf {q} \|={\sqrt {\mathbf {q} ^{*}\mathbf {q} }}={\sqrt {r^{2}+\|{\vec {v}}\|^{2}}}} q 。 {\displaystyle \mathbf {q} .} q \displaystyle \mathbf {q} } v → / ‖ v → ‖ {\textstyle {\vec {v}}/\|{\vec {v}}\|}
したがって、ゼロでない非スカラー四元数、または正のスカラー四元数はちょうど2つの根を持ち、0はちょうど1つの根（0）を持ち、負のスカラー四元数は無限に多くの根を持ち、それらはベクトル四元数で、{ 0 } × S 2 （ − r ） {\displaystyle \{0\}\times S^{2}{\bigl (}{\sqrt {-r}}{\bigr )}} 2次元球面上に位置する。 − r 。 {\displaystyle {\sqrt {-r}}.}
四元数変数の関数 ジュリア集合とマンデルブロ集合は四元数に拡張できますが、3次元空間で視覚的に表現するには断面を用いる必要があります。このジュリア集合はxy 平面で断面化されています。 複素変数 の関数と同様に、四元数変数の関数も有用な物理モデルを示唆します。例えば、マクスウェルが記述した元の電場と磁場は四元数変数の関数でした。その他の関数の例としては、マンデルブロ集合 とジュリア集合を 4次元空間に拡張したものなどがあります。[ 49 ]
四元数の関数は、実数係数を持つべき級数から定義できます。たとえば、四元数が与えられた場合、
q = 1 + b 私 + c j + d k = 1 + v 、 {\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} =a+\mathbf {v} ,}
指数関数は次のように計算されます[ 50 ]
exp （ q ） = ∑ n = 0 ∞ q n n ! = e 1 （ コス ‖ v ‖ + v ‖ v ‖ 罪 ‖ v ‖ ） 、 {\displaystyle \exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}{\biggl (}{\cos \|\mathbf {v} \|}+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|{\biggr )},}
そして対数は[ 50 ]
ln （ q ） = ln ‖ q ‖ + v ‖ v ‖ アルコス 1 ‖ q ‖ 。 {\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}.}
したがって、四元数の極分解は次のように書ける。
q = ‖ q ‖ e φ n ^ = ‖ q ‖ （ コス （ φ ） + n ^ 罪 （ φ ） ） 、 {\displaystyle q=\|q\|e^{\varphi {\hat {n}}}=\|q\|{\bigl (}{\cos(\varphi )+{\hat {n}}\,\sin(\varphi )}{\bigr )},}
角度が φ {\displaystyle \varphi } [ h ]
1 = ‖ q ‖ コス （ φ ） {\displaystyle a=\|q\|\,\cos(\varphi )}
そして単位ベクトルn ^ {\displaystyle {\hat {n}}}
v = n ^ ‖ v ‖ = n ^ ‖ q ‖ 罪 （ φ ） 。 {\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\,\sin(\varphi ).}
任意の単位四元数は、極形式で次のように表すことができます。
q = exp （ n ^ φ ） 。 {\displaystyle q=\exp {({\hat {n}}\varphi )}.}
四元数を任意の（実数）指数x で累乗した値は 、次のように表されます。
q x = ‖ q ‖ x e n ^ x φ = ‖ q ‖ x （ コス （ x φ ） + n ^ 罪 （ x φ ） ） 。 {\displaystyle q^{x}=\|q\|^{x}e^{{\hat {n}}x\varphi }=\|q\|^{x}{\bigl (}\cos(x\varphi )+{\hat {n}}\sin(x\varphi ){\bigr )}.}
測地線ノルム 単位四元数p とq の間の測地距離 d g ( p , q )[ 52 ]
d g （ p 、 q ） = ‖ ln （ p − 1 q ） ‖ 。 {\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)=\lVert \ln(p^{-1}q)\rVert .}
そして、これはS3 球面の大弧 に沿って点p と点qが なす角度の半分の絶対値に相当します。この角度は、 内積 からも計算できます。
d g （ p 、 q ） = アルコス （ 2 （ p ⋅ q ） 2 − 1 ） 。 {\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)={\arccos }{\bigl (}2(p\cdot q)^{2}-1{\bigr )}.}
3次元および4次元回転群 上記の意味に加えて、 「共役 」という言葉は、要素a を r a r −1 r はゼロでない四元数です。与えられた要素に共役なすべての要素 (この意味での共役) は、実部が同じで、ベクトル部のノルムも同じです。 (したがって、別の意味での共役は、この意味での共役の 1 つです。) [ 53 ]
したがって、非ゼロ四元数の乗法群は、共役によってコピーに作用する。R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 実部がゼロの四元数から構成される。実部がcos( φ ) である単位四元数 (絶対値が 1 の四元数) による共役は、2φの 角度による回転であり、回転軸はベクトル部分の方向である。四元数の利点は次のとおりである。[ 54 ]
すべての単位四元数（バーソル ）の集合は、3 S3 リー群 ）を形成し、その群を二重に覆います。 それで （ 3 、 R ） {\displaystyle {\text{SO}}(3,\mathbb {R} )} 行列式 が1 の実直交 3×3行列 の。これは、上記の対応関係の下では、 2 つの単位四元数がすべての回転に対応するためである。 プレート トリック を参照。
変数群の部分群の像は点群 であり、逆に、点群の逆像は変数群の部分群である。有限点群の逆像は、同じ名前に「二元」 という接頭辞を付けて呼ばれる。例えば、正二十面体群の逆像は 二元正二十面体群 である。
変数群は、行列式 が1 の複素ユニタリ 2 × 2 行列 の群であるSU(2) と同型である。
A を 、a + b i + c j + d k 、a、b、c、 dは すべて整数 か、すべて半整数 である。集合A は環 (実際には領域 ) であり、格子で もある。これをフルヴィッツ四元数の環と呼ぶ。この環には 24 個の単位四元数があり、これらはシュレーフリ記号 {3,4,3} 正 24 セルの頂点である 。これらは正 四面体 の回転対称群の二重被覆に対応する。同様に、シュレーフリ記号{3,3,5}を持つ 正 600 セル の頂点は、正二十面体 の回転対称群の二重被覆に対応する単位二十面体と みなすことができる。正八面体 の回転対称群の二重被覆は、二面体288胞 の頂点を表す四元数に対応する。[ 55 ]
四元数代数 四元数は、四元数代数 と呼ばれるさらに別の代数に一般化することができます。Fを 2 とは異なる特性を持つ任意の体とし、a とbを F の要素とします。基底1、 i 、 j 、 ij F 上の 4 次元ユニタリ結合代数は、i 2 = a j 2 = b ij = − ji (ij) 2 = − ab
四元数代数は、 a とb の選択に応じて、F 上の2×2行列の代数と同型であるか、 F 上の除算代数を形成する。
Cl 3,0 (ℝ) の偶数部分としての四元数四元数を偶数部分として定義することで、幾何学的計算における四元数の有用性を他の次元にも一般化することができる。クリー 3 、 0 + （ R ） {\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )} クリー 3 、 0 （ R ） 。 {\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} ).} これは、基本基底要素σ 1 、σ 2 、σ 3
σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = 1 、 {\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=1,} σ m σ n = − σ n σ m （ m ≠ n ） 。 {\displaystyle \sigma _{m}\sigma _{n}=-\sigma _{n}\sigma _{m}\qquad (m\neq n).}
これらの基本要素を3次元空間におけるベクトルを表すものとみなすと、単位ベクトルw に垂直な平面におけるベクトルrの 反射は 次のように表せることがわかる。
r ′ = − w r w 。 {\displaystyle r^{\prime }=-w\,r\,w.}
2回の反射は、2つの反射面間の角度の2倍の角度だけ回転するので、
r ′ ′ = σ 2 σ 1 r σ 1 σ 2 {\displaystyle r^{\prime \prime }=\sigma _{2}\sigma _{1}\,r\,\sigma _{1}\sigma _{2}}
これは、 σ 1 とσ 2 を含む平面内での 180° の回転に対応します。これは、対応する四元数の公式と非常によく似ています。
r ′ ′ = − k r k 。 {\displaystyle r^{\prime \prime }=-\mathbf {k} \,r\,\mathbf {k} .}
実際、2つの構造クリー 3 、 0 + （ R ） {\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )} H {\displaystyle \mathbb {H} } 同型 である。自然な同一視の一つは
1 ↦ 1 、 私 ↦ − σ 2 σ 3 、 j ↦ − σ 3 σ 1 、 k ↦ − σ 1 σ 2 、 {\displaystyle 1\mapsto 1,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2},}
そして、これがハミルトン関係を維持することは容易に確認できる。
私 2 = j 2 = k 2 = 私 j k = − 1. {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1.}
この図では、いわゆる「ベクトル四元数」（つまり、純粋な虚数四元数）は、ベクトルではなく、双ベクトルに対応します。双ベクトルとは、1 次元の 方向 ではなく、特定の 2 次元平面 に関連付けられた大きさ と方向を持つ 量です。複素数との関係もより明確になります。2 次元では、2 つのベクトル方向σ 1 σ 2があり、双ベクトル基底要素は σ 1 σ 2 σ 2 σ 3 σ 3 σ 1 σ 1 σ 2
この推論はさらに続く。クリフォード代数ではクリー 4 、 0 （ R ） 、 {\displaystyle \operatorname {Cl} _{4,0}(\mathbb {R} ),} ローターと呼ばれるこれらの四元数の一般化を使用したこのような空間での回転は、 同次座標 を含むアプリケーションで非常に役立ちます。しかし、基底二重ベクトルの数が基底ベクトルの数と等しくなり、各二重ベクトルが擬似ベクトル として識別できるのは3Dの場合のみです。
四元数をこのより広い設定に置くことにはいくつかの利点があります。[ 56 ]
ローターは幾何代数の自然な構成要素であり、二重反射の符号化として容易に理解できる。 幾何代数では、回転子とそれが作用する対象は同じ空間に存在します。これにより、線形代数に四元数を拡張する際に従来必要とされていた表現の変更や、新しいデータ構造やメソッドの符号化が不要になります。 ローターは、ベクトルやその他の四元数だけでなく、直線、平面、円、球、光線など、代数のあらゆる要素に普遍的に適用できます。 ユークリッド幾何学の共形モデル では、ローターを用いることで、回転、並進、拡大縮小を単一の代数要素に符号化することができ、どの要素にも普遍的に作用します。具体的には、ローターは任意の軸周りの回転を表現できるのに対し、四元数は原点を通る軸に限定されます。ローターエンコード変換を用いると、補間処理が特に容易になる。 ローターは、例えば特殊相対性理論 のミンコフスキー空間の ような擬ユークリッド空間 にも自然に適用できます。このような空間では、ローターを使用してローレンツブーストを 効率的に表現したり、ガンマ行列 を含む式を解釈したりすることができます。 クリフォード代数の幾何学的利用に関する詳細については、「幾何代数」を 参照してください。
ブラウアーグループ 四元数は、実数上の唯一の（非自明な）中心単純代数 （CSA）である。これは、実数上のすべてのCSAが、実数または四元数のいずれかとブラウアー同値であるという意味で言える。具体的には、実数の ブラウアー群は 、実数と四元数で表される2つのクラスから構成される。ここで、ブラウアー群は、あるCSAが別のCSA上の行列環 であるという同値関係を除いて、すべてのCSAの集合である。アルティン・ウェダーバーン定理 （特にウェダーバーンの部分）によれば、CSAはすべて除算代数上の行列代数であり、したがって四元数は実数上の唯一の非自明な除算代数である。
CSA（有限次元の体上の環）は、単純代数 （体と同様に非自明な両側イデアルを持たない）であり、その中心は体そのものである。これは拡張体 の非可換アナログであり、一般的な環の拡張よりも制約が厳しい。四元数が実数上の唯一の非自明なCSA（同値を除いて）であるという事実は、複素数が実数の唯一の非自明な有限体拡張であるという事実と比較することができる。
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(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\,r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\time {\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r,\,{\vec {v}})^{-1}&=\left({\frac {r}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}},\ {\frac {-{\vec {v}}}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da67f2add51237cc8bde1bc38ba73f4ee4016f7a)
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