分割四元数

抽象代数学において、分割四元数 または余四元数は、 1849 年にジェームズ コックルによって後者の名前で導入された代数構造を形成します。これらは、実数上の 4 次元の結合代数を形成します。

20 世紀に座標フリーの環と代数の定義が導入された後、分割四元数の代数は2×2実行行列の環と同型であることが証明されました。したがって、分割四元数の研究は実行行列の研究に還元することができ、これが 20 世紀と 21 世紀の数学の文献で分割四元数への言及がほとんどない理由を説明できるかもしれません。

分割四元数は、次の積の規則を満たす 4 つの基底要素1、i、j、kの線形結合(実係数を持つ)です。

i ² = −1、

j ² = 1、

k ² = 1、

ij = k = −ji です。

結合性により、これらの関係は

jk = −i = −kj、

ki = j = −ik、

また、ijk = 1です。

したがって、分割四元数は、{ 1, i, j, k}を基底とする 4 次元の実ベクトル空間を形成します。また、分配法則による上記の積の規則をすべての分割四元数に拡張することで、非可換環も形成します。

正方行列を考えてみましょう

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

これらは、対応する分割四元数と同じ乗算表を満たします。これらの行列は 2 行 2 列の行列の基底を形成するため、1、i、j、k をそれぞれにマッピングする一意の線形関数により、分割四元数から 2 行 2 列の実数行列への 代数同型性が誘導されます。${\displaystyle {\boldsymbol {1}}、{\boldsymbol {i}}、{\boldsymbol {j}}、{\boldsymbol {k}}}$

上記の乗法規則は、8 つの要素1、i、j、k、−1、−i、−j、−k がこの乗法の下で群を形成し、それが正方形の対称群である二面体群D ₄と同型であることを意味します。実際、座標が0または1である点を頂点とする正方形を考えると、行列は1/4 回転の時計回りの回転、は最初の対角線を中心とした対称性、はx軸を中心とした対称性です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$

1843 年にハミルトンによって導入された四元数と同様に、それらは 4次元の実結合代数を形成します。しかし、2×2 行列の実代数と同様に、そして四元数の実代数とは異なり、分割四元数には非自明な零因子、冪零元、およびべき等元が含まれます。(たとえば、⁠1/2⁠ (1 + j) は冪等な零因子であり、 i − j は冪等である。)実数上の代数として、分割四元数の代数は、上で定義された同型性により、2×2 実行列の代数と 同型です。

この同型性により、各分割四元数を 2×2 行列で識別できます。したがって、分割四元数のすべてのプロパティは、異なる名前で呼ばれることが多い行列の同様のプロパティに対応します。

分割四元数 q = w + x i + y j + z kの共役はq ^∗ = w − x i − y j − z kです。行列の観点で言えば、共役は対角要素を交換し、他の 2 つの要素の符号を変更することによって得られる 補因子行列です。

分割四元数とその共役の積は等方性二次形式である。

${\displaystyle N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

これは分割四元数のノルムまたは関連行列の 行列式と呼ばれます。

分割四元数q = w + x i + y j + z kの実部はw = ( q ^∗ + q )/2です。これは関連する行列のトレースに等しくなります。

2 つの分割四元数の積のノルムは、それらのノルムの積です。同様に、行列の積の行列式は、それらの行列式の積です。この特性は、分割四元数が合成代数を形成することを意味します。ゼロのノルムを持つ非ゼロの分割四元数が存在するため、分割四元数は「分割合成代数」を形成します。これがその名前の由来です。

非ゼロノルムの分割四元数には、乗法逆元、つまりq ^∗ / N ( q )があります。行列に関して言えば、これは、行列の行列式が非ゼロの場合にのみ行列が逆行列であると主張するクラメールの規則に相当し、この場合、行列の逆行列は、補因子行列を行列式で割った商です。

分割四元数と2×2実数行列の同型性は、非ゼロノルムの分割四元数の乗法群がと同型であり、ノルム1の分割四元数の群がと同型であることを示しています。${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} ).}$

幾何学的には、分割四元数は平面の鉛筆としてハミルトンの四元数と比較できます。どちらの場合も、実数は鉛筆の軸を形成します。ハミルトン四元数には虚数単位の球があり、反対側の虚数単位の任意のペアは実数直線を含む複素平面を生成します。分割四元数には、分割複素平面または通常の複素平面を生成する双曲単位と虚数単位の双曲面があります。これについては、以下の § 層化で説明します。

分割四元数は、複素要素を持つ2×2行列の単位結合部分代数として表現される。この表現は、分割四元数w + x i + y j + z kを行列に 写像する代数準同型によって定義できる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.}$

ここで、i (イタリック体) は虚数単位であり、分割四元数基底要素i (直立ローマン体) と混同しないでください。

この準同型の像は、次の形式の行列によって形成される 行列環である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},}$

ここで上付き文字は複素共役を表します。 ${\displaystyle ^{*}}$

この準同型写像は、分割四元数i、j、kをそれぞれ行列に 写像する。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.}$

この表現が代数準同型であることの証明は簡単だが、いくつかの退屈な計算を必要とする。これは、分割四元数を2×2実行行列として表現することから始めて、行列の相似性を使用することで回避できる。Sを行列と する。

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.}$

次に、分割四元数を2×2実行行列として表現する場合に適用すると、上記の代数準同型は行列の相似性になります。

${\displaystyle M\mapsto S^{-1}MS.}$

複素行列として表される分割四元数の場合、共役は補因子の行列であり、ノルムは行列式であることがほぼ直ちにわかります。

分割四元数を複素行列として表現すると、ノルム1の四元数の行列はまさに特殊ユニタリ群SU(1,1)の要素になります。これは双曲幾何学でポアンカレ円板モデルの双曲運動を記述するため に使用されます。^[1]

分割四元数は、 LE DicksonとAdrian Albertの方法に似た修正Cayley-Dickson構成法^[2]によって生成できる。分割代数C、H、Oの場合。 実分割の場合に2倍積を生成するときは乗法規則 を使用する。2倍共役なので、 aとbが分割複素数で分割四元数 の場合$${\displaystyle (a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})}$$${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b),}$$${\displaystyle N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).}$$${\displaystyle q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),}$

それから$${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2 }+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$$

このセクションでは、単一の分割四元数によって生成される 実部分代数を研究し、分類します。

p = w + x i + y j + z kを分割四元数とする。その実部はw = ⁠1/2⁠ ( p + p ^* )。q = p – w =とします⁠1/2⁠ ( p – p ^* )をその非実数部とします。 q ^* = – qであり、したがってp ²が実数となるのは、 p が実数 ( q = 0かつp = w ) または純粋に非実数の分割四元数( w = 0かつp = q ) の場合のみです。 ${\displaystyle p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).}$

pによって生成される部分代数の構造は、簡単に理解できる。 ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$

${\displaystyle \mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},}$

これは可換代数です。pが実数の場合を除いて、その次元は 2 です(この場合、部分代数は単に です)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

平方が実数である非実数元はaqの形を持ち、${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

考慮すべき 3 つのケースについては、次のサブセクションで詳しく説明します。

上記の表記法を用いると、（つまり、qが冪零であれば）N ( q ) = 0となり、つまり、0 ≤ t < 2 πとなるようなwとt が 存在すること、および ${\displaystyle q^{2}=0,}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .}$

これは、非実数部がべき乗であるすべての分割四元数のパラメータ化です。

これは、円の点によるこれらの部分代数のパラメータ化でもあります。つまり、形式の分割四元数は円を形成します。べき零元によって生成される部分代数には、円の 1 つの点が正確に含まれます。また、円には他の点は含まれません。 ${\displaystyle \mathrm {i} +\cos(t)\mathrm {j} +\sin(t)\mathrm {k} }$

冪零元によって生成される代数は、双対数平面および双対数平面と同型です。 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle }$

これはN ( q ) > 0の場合で ある 。${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

すると、⁠1/ん⁠ q は2枚の方程式のに属します。したがって、 0 ≤ t < 2 πとなる実数n、t、uが存在し、 ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.}$

${\displaystyle p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm { k} .}$

これは、非実数部が正のノルムを持つすべての分割四元数のパラメータ化です。

これは、2 枚の双曲面の反対点のペアによる対応する部分代数のパラメーター化でもあります。つまり、形式の分割四元数は 2 枚の双曲面を形成します。正ノルムの非実数部を持つ分割四元数によって生成される部分代数には、この双曲面上の反対点が各シートに 1 つずつ、正確に 2 つ含まれます。また、双曲面には他の点は含まれません。 ${\displaystyle \cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

正ノルムの非実数部を持つ分割四元数によって生成される代数は、複素数体および複素数体と同型です。 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

これはN ( q ) < 0の場合で ある 。${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

すると、⁠1/ん⁠ q は方程式y ² + z ² − x ² = 1の1枚の双曲面に属します。したがって、 0 ≤ t < 2 πと なる実数n、t、uが存在し、

${\displaystyle p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

これは、非実数部に負のノルムを持つすべての分割四元数のパラメータ化です。

これは、1 枚の双曲面の反対点のペアによる対応する部分代数のパラメータ化でもあります。つまり、この形式の分割四元数は 1 枚の双曲面を形成します。負のノルムの非実数部を持つ分割四元数によって生成される部分代数には、この双曲面上の反対点が正確に 2 つ含まれます。また、双曲面には他の点は含まれません。 ${\displaystyle \sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

負のノルムの非実数部を持つ分割四元数によって生成される代数は、分割複素数環と同型である。また、代数として、によって定義される写像によって も同型である。${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

上で見たように、ノルムが-1、1、0の純粋に非実数の分割四元数は、非実数四元数の空間で それぞれ 1 枚の双曲面、2枚の双曲面、円錐を形成します。

これらの面は対になって漸近線になっており、交差しません。その補面は6 つの接続された領域で構成されます。

• 2枚の双曲面の凹面側に位置する2つの領域。${\displaystyle N(q)>1}$
• 2枚の双曲面と円錐の間の2つの領域。${\displaystyle 0<N(q)<1}$
• 一枚のシートの円錐と双曲面の間の領域で${\displaystyle -1<N(q)<0}$
• 1枚のシートの双曲面の外側の領域。${\displaystyle N(q)<-1}$

この層化は、固定ノルムの分割四元数を考慮することによって洗練できます。すべての実数n ≠ 0に対して、ノルムnの純粋に非実数の分割四元数は双曲面を形成します。これらの双曲面はすべて上記の円錐の漸近線であり、これらの面はどれも他の面と交差しません。純粋に非実数の分割四元数の集合はこれらの面の非結合和であるため、これにより目的の層化が実現されます。

分割四元数は色のバランスに応用されている^{[3] 。このモデルは、代数を表す}対称行列のジョルダン代数を参照している。このモデルは、三色性およびヘリングの対立性を調和させ、色距離に 双曲幾何学のケイリー・クラインモデルを使用している。

コクアタニオンは、1849年にジェームズ・コックルによってロンドン・エディンバラ・ダブリン哲学雑誌で最初に（その名前で） ^{[4]紹介されました。コックルの紹介論文は、1904年の}クアタニオン協会の書誌^[5]に掲載されています。

アレクサンダー・マクファーレンは、 1900年にパリで開催された国際数学者会議で講演した際、分割四元数ベクトルの構造を外球面系と呼んだ。 ^{[6]マクファーレンは、1910年に}四元数協会紀要に発表した「空間代数の原理の統一と発展」という論文で「球面解析の双曲面対応物」について考察した。^[7]

ハンス・ベックは1910年に分割四元数変換をメビウス変換の円順列特性と比較した。^[8]分割四元数構造はAnnals of Mathematicsでも簡単に言及されている。^{[9] [10]}

• パラ四元数 (Ivanov and Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) パラ四元数構造を持つ多様体は微分幾何学と弦理論で研究されています。パラ四元数の文献では、k は−kに置き換えられています。
• 外球面システム (マクファーレン 1900)
• 分割四元数（ローゼンフェルド 1988）^[11]
• 反四元数 (Rosenfeld 1988)
• 擬四元数（ヤグロム 1968 ^[12]ローゼンフェルド 1988）

• パウリ行列
• 分割双四元数
• 分割八元数
• 双対四元数

• Brody, Dorje C.、 Eva- Maria Graefe。「複素化力学とコクアタニオンについて」。Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001。doi :10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005)、「パラエルミート多様体とパラクォータニオン多様体」、Differential Geometry and its Applications 23、pp. 205–234、arXiv :math.DG/0310415、MR 2158044。
• Mohaupt, Thomas (2006)、「特殊幾何学における新たな展開」、arXiv :hep-th/0602171。
• Özdemir, M. (2009)「分割四元数の根」応用数学レター22:258–63. [1]
• Özdemir, M. & AA Ergin (2006)「ミンコフスキー3次元空間における時間的四元数による回転」、Journal of Geometry and Physics 56: 322–36.[2]
• Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) コクアタニオン代数のいくつかの代数的および解析的性質、応用クリフォード代数の進歩。