イコシアン

数学において、イコシアンは、 600 セルのハミルトン四元数の特定の集合です。この用語は、関連しているが異なる 2 つの概念を指すために使用できます。

• イコシアン群:単位半径の 600 セルの頂点に位置する 120 個の四元数の乗法群。この群は、順序120の二元イコサヘドロン群と同型です。
• イコシアン環: 120 単位のイコシアンのすべての有限和。

イコシアン群を形成する 120 単位のイコシアンはすべて次の 偶数順列です。

• ½(±2, 0, 0, 0) の形式の 8 つのイコシアン
• ½(±1, ±1, ±1, ±1) の形式の 16 個のイコシアン
• ½(0, ±1, ±1 /φ , ± φ )の形式の96個のイコシアン

この場合、ベクトル ( a ,  b ,  c ,  d ) は四元数a  +  b i  +  c j  + d kを参照し、 φ は黄金比( √ 5  + 1)/2 を表します。これらの 120 個のベクトルは 600 セルの頂点を形成し、その対称群は順序 14400 の Coxeter 群H4です。さらに、ノルム 2 の 600 個の 20 進数直線は120 セルの頂点を形成します。20 進数直線の他のサブグループは、四次元方陣、16 セル、および24 セルに対応します。

イコシアンは黄金比( a  +  b √ 5 ) + ( c  +  d √ 5 ) i  + ( e  +  f √ 5 ) j  + ( g  +  h √ 5 ) kに存在します。ここで、8 つの変数は有理数です。この四元数は、ベクトル ( a、  b、  c、  d、  e、  f、  g、  h ) がE8 格子に同型である格子L上の点である場合にのみ、イコシアンになります。

より正確には、上記の要素の四元数ノルムは ( a  +  b √ 5 ) ²  + ( c  +  d √ 5 ) ²  + ( e  +  f √ 5 ) ²  + ( g  +  h √ 5 ) ²です。四元数ノルムがu  +  v √ 5である場合、そのユークリッドノルムはu  +  vとして定義されます。このユークリッドノルムはL上の二次形式を定義し、その格子はE8 格子と同型です。

この構成は、コクセター群 が のサブグループとして埋め込まれることを示しています。実際、四元数ノルムを保存する線型同型はユークリッドノルムも保存します。 ${\displaystyle H_{4}}$${\displaystyle E_{8}}$

• John H. Conway、Neil Sloane :球面パッキング、格子および群 (第 2 版)
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス：『The Symmetries of Things』（2008）
• Frans Marcelis Icosians と ADE 2011-06-07 にWayback Machineでアーカイブ
• アダム・P・ガウチャー 良い繊維