位数 8 の非可換群
Q 8 の サイクル図 。各色は、単位元 e = 1 に接続された任意の元の累乗の系列を示します。たとえば、赤色のサイクルでは、i 2 = e 、i 3 = i 、 i 4 = e が反映されます。赤色のサイクルでは、 i 2 = e 、 i 3 = i、 i 4 = e も反映されます。 群論 において 、 四元数群 Q 8 （単に Q と表記されることもある）は、乗法の下で四元 数 の8元部分 集合に同型な、 位数 8
の 非可換群である。これは 、群表現 によって与えられる。
{
1
,
i
,
j
,
k
,
−
1
,
−
i
,
−
j
,
−
k
}
{\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}
Q
8
=
⟨
e
¯
,
i
,
j
,
k
∣
e
¯
2
=
e
,
i
2
=
j
2
=
k
2
=
i
j
k
=
e
¯
⟩
,
{\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,}
ここで、 e は 単位元であり、 e は 群の他の元と 可換である。WR ハミルトン によって発見されたこれらの関係は、実数上の代数として四元数も生成する。
Q8 の 別のプレゼンテーション は
Q
8
=
⟨
a
,
b
∣
a
4
=
e
,
a
2
=
b
2
,
b
a
=
a
−
1
b
⟩
.
{\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle a,b\mid a^{4}=e,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\rangle .}
他の多くの有限群と同様に、これは 代数的数 体のガロア群として 実現できる 。 [1]
二面体群と比較して 四元数群 Q 8は 二面体群 D 4 と同じ順序を持ちます が、ケーリーグラフとサイクルグラフで示されるように構造が異なります。
D 4 の図では、グループ要素は定義表現 R 2 の 文字 F に対する作用でマークされています。 Q 8については、 R 2 または R 3 に忠実な表現がないため、 同じことはできません 。 D 4 は、 Q 8 が 四元数のサブセットとして見ることができるのと同じように、 分割四元数 のサブセットとして実現できます 。
ケイリー表 Q8の ケイリー表 （ 掛け算表）は 次のように表される： [2]
プロパティ Q 8 では 要素 i 、 j 、 kは すべて4の 位数 を持ち、そのうちの2つはグループ全体を生成します。この冗長性を省くために2つの要素のみに基づいた Q 8の別の 表現 [3] は次のとおりです。
⟨
x
,
y
∣
x
4
=
1
,
x
2
=
y
2
,
y
−
1
x
y
=
x
−
1
⟩
.
{\displaystyle \left\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\right\rangle .}
たとえば、グループ要素を 辞書式 最小正規形で記述すると、次のようになります。
{
e
,
e
¯
,
i
,
i
¯
,
j
,
j
¯
,
k
,
k
¯
}
↔
{
e
,
x
2
,
x
,
x
3
,
y
,
x
2
y
,
x
y
,
x
3
y
}
.
{\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}\leftrightarrow \{e,x^{2},x,x^{3},y,x^{2}y,xy,x^{3}y\}.}
四元数群はハミルトン群 であるという珍しい性質を持っています 。Q 8 は非可換ですが、すべての 部分群は 正規群 です 。 [4]すべてのハミルトン群には Q 8 のコピーが含まれています 。 [5]
四元数群 Q 8 と二面体群 D 4は、 べき零非 可換群
の 2 つの最小の例です。
Q 8 の中心 と 交換 子部分群 は部分群です 。 Q 8の 内部自己同型群は、 その中心を法とする群、つまり クラインの 4 元群 Vに 同型な 因子群 によって与えられます。 Q 8 の完全 自己同型群は 、 4 つの文字の 対称群 であるS 4に 同型で あり(下の 行列表現を 参照 )、したがって Q 8の 外部自己同型群は S 4 /V であり、これは S 3 に同型です 。
{
e
,
e
¯
}
{\displaystyle \{e,{\bar {e}}\}}
Q
8
/
{
e
,
e
¯
}
,
{\displaystyle \mathrm {Q} _{8}/\{e,{\bar {e}}\},}
四元数群 Q 8 には5 つの共役類があり、 したがって 1, 1, 1, 1, 2 の次元を持つ複素数上の
5 つの 既約表現があります。
{
e
}
,
{
e
¯
}
,
{
i
,
i
¯
}
,
{
j
,
j
¯
}
,
{
k
,
k
¯
}
,
{\displaystyle \{e\},\{{\bar {e}}\},\{i,{\bar {i}}\},\{j,{\bar {j}}\},\{k,{\bar {k}}\},}
自明な表現 。
i、j、k 核による符号表現 : Q 8 には、それぞれ i、j、k によって生成される巡回部分群の 3 つの最大正規部分群があります。各最大正規部分群 Nについて、2 元商群 G / N を 因数分解した 1 次元表現が得られます。この表現は、 N の元を1 に、 N の 外側の元を -1 に送ります 。
2 次元表現: 下記の 行列表現 で説明します 。これは 実数 上では実現できませ んが、複素表現です。実際、これは 上の代数として考えられた四元数であり 、その動作は による左乗算です 。
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Q
8
⊂
H
{\displaystyle Q_{8}\subset \mathbb {H} }
Q 8 の文字 表はD 4 の文字表と同じであることがわかります 。
それにもかかわらず、上の行の 既約な指標はすべて実数値を持ち、これにより の 実 群代数 を極小の両側 イデアルに 分解する ことができます。
χ
ρ
{\displaystyle \chi _{\rho }}
G
=
Q
8
{\displaystyle G=\mathrm {Q} _{8}}
R
[
Q
8
]
=
⨁
ρ
(
e
ρ
)
,
{\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]=\bigoplus _{\rho }(e_{\rho }),}
ここで、 べき等元 は既約元に対応する。
e
ρ
∈
R
[
Q
8
]
{\displaystyle e_{\rho }\in \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}
e
ρ
=
dim
(
ρ
)
|
G
|
∑
g
∈
G
χ
ρ
(
g
−
1
)
g
,
{\displaystyle e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g,}
となることによって
e
triv
=
1
8
(
e
+
e
¯
+
i
+
i
¯
+
j
+
j
¯
+
k
+
k
¯
)
e
i
-ker
=
1
8
(
e
+
e
¯
+
i
+
i
¯
−
j
−
j
¯
−
k
−
k
¯
)
e
j
-ker
=
1
8
(
e
+
e
¯
−
i
−
i
¯
+
j
+
j
¯
−
k
−
k
¯
)
e
k
-ker
=
1
8
(
e
+
e
¯
−
i
−
i
¯
−
j
−
j
¯
+
k
+
k
¯
)
e
2
=
2
8
(
2
e
−
2
e
¯
)
=
1
2
(
e
−
e
¯
)
{\displaystyle {\begin{aligned}e_{\text{triv}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{i{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{j{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{k{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{2}&={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\end{aligned}}}
これらの既約イデアルはそれぞれ、実中心単純代数 と同型であり 、最初の 4 つは実体 と同型です 。最後のイデアルは、 次の対応により
四元数 の スキュー体 と同型です。
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(
e
2
)
{\displaystyle (e_{2})}
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
1
2
(
e
−
e
¯
)
⟷
1
,
1
2
(
i
−
i
¯
)
⟷
i
,
1
2
(
j
−
j
¯
)
⟷
j
,
1
2
(
k
−
k
¯
)
⟷
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})&\longleftrightarrow 1,\\{\tfrac {1}{2}}(i-{\bar {i}})&\longleftrightarrow i,\\{\tfrac {1}{2}}(j-{\bar {j}})&\longleftrightarrow j,\\{\tfrac {1}{2}}(k-{\bar {k}})&\longleftrightarrow k.\end{aligned}}}
さらに、によって与えられる 射影準同型には 、べき等性によって生成される核イデアルがあります。
R
[
Q
8
]
→
(
e
2
)
≅
H
{\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H} }
r
↦
r
e
2
{\displaystyle r\mapsto re_{2}}
e
2
⊥
=
e
1
+
e
i
-ker
+
e
j
-ker
+
e
k
-ker
=
1
2
(
e
+
e
¯
)
,
{\displaystyle e_{2}^{\perp }=e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),}
したがって、四元数は商環 としても得られます 。これは の実数表現としては既約です が、複素数に拡張すると 2 次元既約の 2 つのコピーに分割されることに注意してください。実際、複素群代数は であり、 は 双 四元 数の代数です 。
R
[
Q
8
]
/
(
e
+
e
¯
)
≅
H
{\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H} }
Q
8
{\displaystyle Q_{8}}
C
[
Q
8
]
≅
C
⊕
4
⊕
M
2
(
C
)
,
{\displaystyle \mathbb {C} [\mathrm {Q} _{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} ),}
M
2
(
C
)
≅
H
⊗
R
C
≅
H
⊕
H
{\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }
行列表現 SL (2, C )のサブグループとしての四元数群の乗算表 。エントリは、引数に対応するセクターで表されます: 1 (緑)、 i (青)、-1 (赤)、- i (黄)。 上で説明した2次元の既約複素 表現は、 一般線型群 の部分群として 四元数群 Q 8 を与えます。四元数群は、四元数代数の乗法部分群です。
GL
(
2
,
C
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )}
H
=
R
1
+
R
i
+
R
j
+
R
k
=
C
1
+
C
j
,
{\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=\mathbb {C} 1+\mathbb {C} j,}
これは、複素ベクトル空間を基底として考えた場合、それ自身への左乗法による 正規表現 を持ち 、その基底は -線型写像 に対応する。 結果として得られる表現
ρ
:
H
→
M
(
2
,
C
)
{\displaystyle \rho :\mathbb {H} \to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}
{
1
,
j
}
,
{\displaystyle \{1,j\},}
z
∈
H
{\displaystyle z\in \mathbb {H} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
ρ
z
:
a
+
j
b
↦
z
⋅
(
a
+
j
b
)
.
{\displaystyle \rho _{z}:a+jb\mapsto z\cdot (a+jb).}
{
ρ
:
Q
8
→
GL
(
2
,
C
)
g
⟼
ρ
g
{\displaystyle {\begin{cases}\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )\\g\longmapsto \rho _{g}\end{cases}}}
は次のように与えられる:
e
↦
(
1
0
0
1
)
i
↦
(
i
0
0
−
i
)
j
↦
(
0
−
1
1
0
)
k
↦
(
0
−
i
−
i
0
)
e
¯
↦
(
−
1
0
0
−
1
)
i
¯
↦
(
−
i
0
0
i
)
j
¯
↦
(
0
1
−
1
0
)
k
¯
↦
(
0
i
i
0
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}
上記の行列はすべて単位行列式を持つので、これは特殊線型群 におけるQ 8 の表現である 。 [6]
SL
(
2
,
C
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}
変形では、ユニタリ行列 による表現が与えられます (右の表を参照)。 を線形写像に対応させて、次の よう に表されるものとします。
g
∈
Q
8
{\displaystyle g\in \mathrm {Q} _{8}}
ρ
g
:
a
+
b
j
↦
(
a
+
b
j
)
⋅
j
g
−
1
j
−
1
,
{\displaystyle \rho _{g}:a+bj\mapsto (a+bj)\cdot jg^{-1}j^{-1},}
ρ
:
Q
8
→
SU
(
2
)
{\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SU} (2)}
e
↦
(
1
0
0
1
)
i
↦
(
i
0
0
−
i
)
j
↦
(
0
1
−
1
0
)
k
↦
(
0
i
i
0
)
e
¯
↦
(
−
1
0
0
−
1
)
i
¯
↦
(
−
i
0
0
i
)
j
¯
↦
(
0
−
1
1
0
)
k
¯
↦
(
0
−
i
−
i
0
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}
物理学者は、通常のパウリ行列 を扱うために、行列表現 に異なる規則を排他的に使用していることは注目に値します 。
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
e
↦
(
1
0
0
1
)
=
1
2
×
2
i
↦
(
0
−
i
−
i
0
)
=
−
i
σ
x
j
↦
(
0
−
1
1
0
)
=
−
i
σ
y
k
↦
(
−
i
0
0
i
)
=
−
i
σ
z
e
¯
↦
(
−
1
0
0
−
1
)
=
−
1
2
×
2
i
¯
↦
(
0
i
i
0
)
=
i
σ
x
j
¯
↦
(
0
1
−
1
0
)
=
i
σ
y
k
¯
↦
(
i
0
0
−
i
)
=
i
σ
z
.
{\displaystyle {\begin{matrix}&e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\quad \,1_{2\times 2}&i\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-i\!\\\!\!-i\!\!&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{x}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-1\!\\1&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{y}&k\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-i\!\!&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i\sigma _{z}\\&{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-1\!&0\\0&\!\!\!-1\!\end{pmatrix}}=-1_{2\times 2}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{x}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!-1\!\!&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{y}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!-i\!\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{z}.\end{matrix}}}
この特定の選択は、基底で スピン1/2状態を 記述し、 角運動量ラダー演算子 を考慮する場合に便利でエレガントである。
(
J
→
2
,
J
z
)
{\displaystyle ({\vec {J}}^{2},J_{z})}
J
±
=
J
x
±
i
J
y
.
{\displaystyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}.}
SL(2,3) の部分群としての四元数群の乗算表 。体元は 0、+、- で示される。 Q 8には 有限体 上の2次元ベクトル空間へ の重要な作用もある （右の表）。 モジュラー表現は 次のように与えられる。
F
3
=
{
0
,
1
,
−
1
}
{\displaystyle \mathbb {F} _{3}=\{0,1,-1\}}
ρ
:
Q
8
→
SL
(
2
,
3
)
{\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SL} (2,3)}
e
↦
(
1
0
0
1
)
i
↦
(
1
1
1
−
1
)
j
↦
(
−
1
1
1
1
)
k
↦
(
0
−
1
1
0
)
e
¯
↦
(
−
1
0
0
−
1
)
i
¯
↦
(
−
1
−
1
−
1
1
)
j
¯
↦
(
1
−
1
−
1
−
1
)
k
¯
↦
(
0
1
−
1
0
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}
この表現は拡張フィールド から取得できます :
F
9
=
F
3
[
k
]
=
F
3
1
+
F
3
k
,
{\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {F} _{3}[k]=\mathbb {F} _{3}1+\mathbb {F} _{3}k,}
ここで 、乗法群には 8 次数の 4 つの生成元があります。それぞれに対して、 2 次元 -ベクトル空間には 次の線形写像が存在します。
k
2
=
−
1
{\displaystyle k^{2}=-1}
F
9
×
{\displaystyle \mathbb {F} _{9}^{\times }}
±
(
k
±
1
)
,
{\displaystyle \pm (k\pm 1),}
z
∈
F
9
,
{\displaystyle z\in \mathbb {F} _{9},}
F
3
{\displaystyle \mathbb {F} _{3}}
F
9
{\displaystyle \mathbb {F} _{9}}
{
μ
z
:
F
9
→
F
9
μ
z
(
a
+
b
k
)
=
z
⋅
(
a
+
b
k
)
{\displaystyle {\begin{cases}\mu _{z}:\mathbb {F} _{9}\to \mathbb {F} _{9}\\\mu _{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)\end{cases}}}
さらに 、次を 満たす フロベニウス自己同型 があります。上記の表現行列は次のようになります。
ϕ
(
a
+
b
k
)
=
(
a
+
b
k
)
3
{\displaystyle \phi (a+bk)=(a+bk)^{3}}
ϕ
2
=
μ
1
{\displaystyle \phi ^{2}=\mu _{1}}
ϕ
μ
z
=
μ
ϕ
(
z
)
ϕ
.
{\displaystyle \phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi .}
ρ
(
e
¯
)
=
μ
−
1
,
ρ
(
i
)
=
μ
k
+
1
ϕ
,
ρ
(
j
)
=
μ
k
−
1
ϕ
,
ρ
(
k
)
=
μ
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho ({\bar {e}})&=\mu _{-1},\\\rho (i)&=\mu _{k+1}\phi ,\\\rho (j)&=\mu _{k-1}\phi ,\\\rho (k)&=\mu _{k}.\end{aligned}}}
この表現は、Q 8を GL(2, 3) の 正規部分群 として実現する 。したがって、各行列に対して 、群の自己同型性
m
∈
GL
(
2
,
3
)
{\displaystyle m\in \operatorname {GL} (2,3)}
{
ψ
m
:
Q
8
→
Q
8
ψ
m
(
g
)
=
m
g
m
−
1
{\displaystyle {\begin{cases}\psi _{m}:\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {Q} _{8}\\\psi _{m}(g)=mgm^{-1}\end{cases}}}
実際、これらは完全な自己同型群を次のように与えます
。
ψ
I
=
ψ
−
I
=
i
d
Q
8
.
{\displaystyle \psi _{I}=\psi _{-I}=\mathrm {id} _{\mathrm {Q} _{8}}.}
Aut
(
Q
8
)
≅
PGL
(
2
,
3
)
=
GL
(
2
,
3
)
/
{
±
I
}
≅
S
4
.
{\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {Q} _{8})\cong \operatorname {PGL} (2,3)=\operatorname {GL} (2,3)/\{\pm I\}\cong S_{4}.}
これは対称群S 4 と同型である。なぜなら線型写像は 射影空間 の4つの点、すなわち4つの1 次元部分空間を置換するからである。
m
:
F
3
2
→
F
3
2
{\displaystyle m:\mathbb {F} _{3}^{2}\to \mathbb {F} _{3}^{2}}
F
3
2
,
{\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2},}
P
1
(
F
3
)
=
PG
(
1
,
3
)
.
{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {F} _{3})=\operatorname {PG} (1,3).}
また、この表現は、通常の表現によって与えられる埋め込みに加えて、
対称群 S 8 におけるQ 8 の埋め込みを与える 8 つの非ゼロベクトルを並べ替えます。
F
3
2
,
{\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2},}
ガロア群 リチャード・デデキントは、 四元数群を ガロア理論 に関連付ける試みの中でこの体を考慮した 。 [7] 1936年に エルンスト・ヴィットは、 ガロア理論を通じた四元数群へのアプローチを発表した。 [8]
Q
[
2
,
3
]
{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]}
1981年、リチャード・ディーンは、四元数群がガロア群 Gal(T/ Q ) として実現できることを示した。ここで Qは 有理数 体 、Tは 多項式の
分解体である。
x
8
−
72
x
6
+
180
x
4
−
144
x
2
+
36
{\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}
。 この展開では、 ガロア理論の基本定理を用いて、 Q とTの間の4つの中間体 とそのガロア群、および体上の4次巡回拡大に関する2つの定理を指定します。 [1]
一般化四元数群 4n 次の 一般化四元数群 Q4n は [ 3 ] で定義される。
⟨
x
,
y
∣
x
2
n
=
y
4
=
1
,
x
n
=
y
2
,
y
−
1
x
y
=
x
−
1
⟩
{\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle }
整数 n ≥ 2 に対して、通常の四元数群は n = 2で与えられる。 [9] コクセターは Q 4 nを 二 環群と呼び、 二元多面体群 の特別な場合であり、 多面体群 および 二面体群 と関連している。一般化された四元数群は、 によって生成される
の部分群として実現できる。
⟨
2
,
2
,
n
⟩
{\displaystyle \langle 2,2,n\rangle }
⟨
ℓ
,
m
,
n
⟩
{\displaystyle \langle \ell ,m,n\rangle }
(
p
,
q
,
r
)
{\displaystyle (p,q,r)}
(
2
,
2
,
n
)
{\displaystyle (2,2,n)}
GL
2
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}
(
ω
n
0
0
ω
¯
n
)
and
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right){\mbox{ and }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}
ここで [ 3]は [10] と によって生成される単位四元数のサブグループとして実現することもできる 。
ω
n
=
e
i
π
/
n
{\displaystyle \omega _{n}=e^{i\pi /n}}
x
=
e
i
π
/
n
{\displaystyle x=e^{i\pi /n}}
y
=
j
{\displaystyle y=j}
一般化された四元数群は、すべてのアーベル 部分群が巡回的である という性質を持つ。 [11] この性質を持つ有限 p 群 （すべてのアーベル部分群は巡回的である）は、上で定義されたように巡回群または一般化された四元数群のいずれかであることが示される。 [12] 別の特徴付けは、位数 p の唯一の部分群が存在する有限 p 群は、巡回群または一般化された四元数群と同型の 2 群のいずれかであるということである。 [13] 特に、奇数の標数を持つ有限体 Fの場合、SL 2 ( F )の 2-シロー部分群は 非アーベル的であり、位数 2 の部分群を 1 つだけ持つため、この 2-シロー部分群は一般化された四元数群でなければならない（Gorenstein 1980、p. 42）。 F の大きさを p r （ p は素数）とすると、 SL 2 ( F ) の2-シロー部分群の大きさは2 n （ n = ord 2 ( p 2 − 1) + ord 2 ( r ) ） となる 。
ブラウアー ・スズキの定理は、 シロー 2 部分群が一般化四元数である群は単純ではないことを示しています。
別の用語では、2のべき乗の位数の二環式群を「一般化四元数群」と呼んでおり、 [14] 次のように表現できる。
⟨
x
,
y
∣
x
2
m
=
y
4
=
1
,
x
2
m
−
1
=
y
2
,
y
−
1
x
y
=
x
−
1
⟩
.
{\displaystyle \langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}
参照
注記
^ abディーン 、 リチャード(1981)。「四元数群 を 持つ有理多項式」 アメリカ数学月刊誌 。88 (1): 42–45。doi :10.2307/2320711。JSTOR 2320711。 ^ Wolfram Alpha の表も参照 ^ abc ジョンソン 1980年、44-45頁 ^ ホール（1999）、190ページを参照 ^ クロシュ（1979）67ページを参照 ^ アルティン 1991 ^ Richard Dedekind (1887) 「Konstrucktion der Quaternionkörpern」、Ges.数学。ヴェルク II 376–84 ^ Ernst Witt (1936) 「Konstruktion von galoisschen Körpern...」 Crelle's Journal 174: 237-45 ^ 一部の著者（例えば、Rotman 1995、pp. 87、351）は、この群を二環群と呼び、 n が2の累乗の場合に一般化四元数群という名前を使用しています。 ^ ブラウン 1982、98 ページ ^ ブラウン 1982、p. 101、演習 1 ^ Cartan & Ailenberg 1999、定理 11.6、p. 262 ^ ブラウン 1982、定理 4.3、p. 99 ^ ローマン、スティーブン （2011）。 群論の基礎：高度なアプローチ 。 シュプリンガー。pp.347-348。ISBN 9780817683016 。
参考文献
外部リンク 
![{\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]=\bigoplus _{\rho }(e_{\rho }),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0423c29bb89895d16ba24c75d109cd83f4c1296e)
![{\displaystyle e_{\rho }\in \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81876cff41adf0d4af43e995bf57f4cf78cd3403)
![{\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a455ed6df2808b6afaa226a79b2fb9bef98b70)
![{\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cb1aa498837f7c0eee18a46a52b7472a35fe0c)
![{\displaystyle \mathbb {C} [\mathrm {Q} _{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c160c7e64c60d36f110da91e9ada29fe38b8613)
.svg/500px-Quaternion_group;_Cayley_table;_subgroup_of_SL(2,C).svg.png)
.svg/500px-Quaternion_group;_Cayley_table;_subgroup_of_SL(2,3).svg.png)
![{\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {F} _{3}[k]=\mathbb {F} _{3}1+\mathbb {F} _{3}k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58db7ebffd1e7e44da3319d3737b2a74d7a24284)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2da23a271e183b4c292756c7776c10d97fddea)
