フルヴィッツ四元数順序

フルヴィッツ四元数順序は、適切な数体上の四元数代数における特定の順序である。この順序は、最大対称性を持つ曲面、すなわちフルヴィッツ面との関連で、リーマン面理論において特に重要である。^[1] フルヴィッツ四元数順序は1967年に志村五郎によって研究されたが、^[2] 1998年にノアム・エルキーズによって初めて明示的に記述された。^[3] この用語の別の用法については、フルヴィッツ四元数を参照（両方の用法とも文献では現行である）。

を の極大実数​​部分体とします。ここで はの7次原始根です。の整数環はで、要素は正の実数 と同一視できます。を四元数代数、または記号代数 とします。${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle (\rho )}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\eta ]}$${\displaystyle \eta =\rho +{\bar {\rho }}}$${\displaystyle 2\cos({\tfrac {2\pi }{7}})}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle D:=\,(\eta ,\eta )_{K},}$

となるように、 また、およびとします。 ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=\eta }$${\displaystyle ij=-ji}$${\displaystyle D.}$${\displaystyle \tau =1+\eta +\eta ^{2}}$${\displaystyle j'={\tfrac {1}{2}}(1+\eta i+\tau j)}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }=\mathbb {Z} [\eta ][i,j,j'].}$

すると、はの最大順序となり、ノアム・エルキーズによって明示的に記述される。^[4]${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$${\displaystyle D}$

順序は要素によっても生成される ${\displaystyle Q_{\mathrm {Hur} }}$

${\displaystyle g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij}$

そして

${\displaystyle g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).}$

実際、位数は基底上の自由 - 加群である。ここで生成元は関係式を満たす。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\eta ]}$${\displaystyle \,1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}}$

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,}$

これを中心で割ると、 (2,3,7)三角形群の適切な関係式が得られます。

イデアルによって定義される主合同部分群は、定義により、 ${\displaystyle I\subset \mathbb {Z} [\eta ]}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}(I)=\{x\in {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1} :x\equiv 1(}$モッド${\displaystyle I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} })\},}$

すなわち、 における縮小ノルム1の元の群は、イデアルを法とした 1 に等しい。対応するフックス群は、 P SL(2,R)への表現による主合同部分群の像として得られる。 ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$${\displaystyle I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$

この順序は、カッツ、シャップス、ヴィシュネ^[5]によって、シストールの漸近的下限を満たすフルヴィッツ面の族を構築するために使用されました。ここでgは種数であり、ピーター・ブザーとピーター・サーナック^[6]の以前の結果を改良したものです。曲面のシストールを参照してください。 ${\displaystyle sys>{\frac {4}{3}}\log g}$

• (2,3,7) 三角形群
• クライン四次方程式
• マクビース表面
• 最初のハーウィッツ三重奏