擬似ベクトル

物理学や数学において、擬似ベクトル（または軸ベクトル）^{[ 2 ]}とは、回転や並進などの連続的な剛体変換の下ではベクトルのように変換されるが、鏡映などの特定の不連続な剛体変換の下ではベクトルのように変換されない量のことである。例えば、回転する物体の角速度は擬似ベクトルである。なぜなら、物体が鏡に映ると、反射像は回転し、その角速度は元の物体の角速度の鏡像にならないからである。真のベクトル（極ベクトルとも呼ばれる）の場合、反射ベクトルと元のベクトルは鏡像でなければならない。 ^{[ 3 ]}

擬似ベクトルの例としては、向き付けられた平面の法線があります。向き付けられた平面は^、平面を張る2 つの非平行ベクトルaとb [ ^{4 ]}によって定義できます。ベクトルa × bは平面の法線です (法線は 2 つあり、それぞれ両側に 1 つずつあります。どちらがどちらかは右手の法則で決まります)。これは擬似ベクトルです。これはコンピュータグラフィックスにおいて、表面法線を変換する際に考慮する必要があるため、影響があります。3 次元では、ある点における極座標ベクトル場の回転と2 つの極座標ベクトルの外積は擬似ベクトルです。 ^{[ 5 ]}

磁場やトルクなど、多くのベクトル物理量は極ベクトルではなく擬似ベクトルとして振る舞います。数学では、3 次元において、擬似ベクトルは双ベクトルと等価であり、そこから擬似ベクトルの変換規則を導出できます。より一般的には、n次元外積代数および幾何代数において、擬似ベクトルはn − 1次元の代数の要素であり、⋀ ^{n −1} R ^{nと表記されます。「擬似」というラベルは、}擬似スカラーおよび擬似テンソルにさらに一般化でき、どちらも真のスカラーまたはテンソルと比較して、不適切な回転の下で符号反転が1回多く発生します。

擬似ベクトルの物理的な例としては、角速度^{[ 4 ]} 、角加速度、角運動量^{[ 4 ]} 、トルク^{[ 4 ]} 、磁場^{[ 4 ]}、磁気双極子モーメントなどがある。

擬似ベクトル角運動量L = Σ( r × p )を考えます。車を運転して前方を見ていると、各車輪の角運動量ベクトルは左を向いています (右手の法則により)。世界が鏡に映り、車の左右が入れ替わると、この角運動量「ベクトル」の「反射」(通常のベクトルとして見た場合) は右を向いていますが、車輪の実際の角運動量ベクトル (反射後も前方に回転している) は依然として左を向いています (右手の法則により)。これは、擬似ベクトルの反射における符号の反転に対応しています。

極ベクトルと擬似ベクトルの区別は、物理システムの解に対する対称性の影響を理解する上で重要になります。z = 0平面内の電流ループを考えてみましょう。このループ内部では、 z方向に向いた磁場が発生します。このシステムは、この平面を通る鏡面反射に対して対称（不変）であり、磁場は反射によって変化しません。しかし、磁場をベクトルとしてこの平面で反射すると、磁場が反転すると予想されます。この予想は、磁場が擬似ベクトルであり、符号反転によって磁場が変化しないことを認識することで修正されます。

物理学において、擬ベクトルは一般的に、2つの極ベクトルの外積、または極ベクトル場の回転によって得られるものです。外積と回転は慣例として右手の法則に従って定義されますが、左手の法則を用いて定義することも同様に可能です。右手の擬ベクトルと右手の法則を扱う物理学の体系全体は、左手の擬ベクトルと左手の法則を用いることで問題なく置き換えることができます。このように定義された左手の擬ベクトルは、右手の法則で定義された擬ベクトルとは方向が逆になります。

物理学におけるベクトル関係は座標系を用いずに表現できるが、ベクトルや擬似ベクトルを数値として表現するには座標系が必要である。ベクトルは順序付けられた3つの数値の組として表される。例：${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})}$擬似ベクトルもこの形式で表現されます。左手座標系と右手座標系の間で変換する場合、擬似ベクトルの表現はベクトルとして変換されず、ベクトル表現として扱うと符号が誤って変化するため、どの順序付きトリプレットがベクトルを表し、どのトリプレットが擬似ベクトルを表しているかを注意深く追跡する必要があります。この問題は、2 つのベクトルの外積を2 つのベクトルの外積に置き換えると発生しません。これにより、2 階テンソルであるバイベクトルが生成され、3×3 行列で表現されます。この 2 階テンソルの表現は、座標系の左右に関係なく、任意の 2 つの座標系間で正しく変換されます。

物理学における「ベクトル」の定義（極ベクトルと擬似ベクトルを含む）は、数学における「ベクトル」の定義（すなわち、抽象ベクトル空間の任意の要素）よりも具体的です。物理学の定義では、「ベクトル」は適切な回転の下で特定の方法で「変換」される成分を持つ必要があります。具体的には、宇宙のすべてが回転すると、ベクトルもまったく同じように回転します。（この議論では座標系は固定されています。言い換えれば、これは能動変換の観点です。）数学的には、宇宙のすべてが回転行列Rで記述される回転を受け、変位ベクトルxがx ′ = R xに変換される場合、任意の「ベクトル」v も同様にv ′ = R vに変換されなければなりません。この重要な要件こそが、ベクトル（例えば、速度のx、y、z成分から構成される場合がある）を他の物理量の三つ組と区別するものです（例えば、長方形の箱の長さ、幅、高さは、箱を回転させてもこれらの三つの成分が適切に変換されないため、ベクトルの三つの成分とはみなせません）。

（微分幾何学の用語では、この要件はベクトルを反変階数1のテンソルと定義することと同等である。より一般的な枠組みでは、高階テンソルは、アインシュタインの総和規約における添え字の上げ下げによって示されるように、共変階数と反変階数を任意に複数同時に持つこともできる。）

基本的な例として、通常の行列乗算演算子による行ベクトルと列ベクトルの演算が挙げられます。一方の演算では、単なるスカラーであるドット積が得られ、ランク0のテンソルとなります。もう一方の演算では、ダイアディック積が得られ、これは1つの反変インデックスと1つの共変インデックスを持つランク2の混合テンソルを表す行列となります。このように、標準的な行列代数の非可換性を利用して、共変ベクトルと反変ベクトルの区別を把握することができます。実際、より形式的で一般化されたテンソル表記法が登場する以前は、このようにして管理が行われていました。これは、一般的なテンソル空間の基底ベクトルを実用的な操作のためにどのように表現するかという点にも、依然として表れています。

これまでの議論は、軸を中心とした回転、つまり適切な回転のみに関係しています。しかし、不適切な回転、つまり鏡像反転の後に適切な回転が行われる場合も考慮することができます。（不適切な回転の一例として、 3 次元空間内の点を通る反転があります。）宇宙のすべてが不適切な回転行列Rで記述される不適切な回転を受けると仮定すると、位置ベクトルxはx ′ = R xに変換されます。ベクトルvが極ベクトルの場合、 v ′ = R vに変換されます。擬似ベクトルの場合、 v ′ = − R vに変換されます。

極ベクトルと擬似ベクトルの変換規則は、以下のように簡潔に表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v} &&{\text{(極ベクトル)}}\\\mathbf {v} '&=(\det R)(R\mathbf {v} )&&{\text{(擬似ベクトル)}}\end{aligned}}}$

ここで、記号は上記のとおりであり、回転行列R は適切な回転行列でも不適切な回転行列でも構いません。記号 det は行列式を表します。この式が成り立つのは、適切な回転行列と不適切な回転行列の行列式がそれぞれ +1 と −1 であるためです。

クロス積とカールにおける挙動

回転行列R（正回転行列または不正回転行列）については、次の数式が常に成り立つ。

${\displaystyle (R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))}$、

ここで、v ₁とv ₂は任意の 3 次元ベクトルです。（この等式は、幾何学的議論または代数的計算によって証明できます。）同様に、v が任意のベクトル場である場合、次の等式は常に成り立ちます。

${\displaystyle \nabla \times (R\mathbf {v} )=(\det R)(R(\nabla \times \mathbf {v} ))}$

ここで、∇ × はベクトル解析における回転演算を表す。

v ₁とv ₂が既知の極ベクトルであり、v ₃がそれらの外積、v ₃ = v ₁ × v ₂として定義されるとします。宇宙が回転行列Rによって変換される場合、v ₃は次のように変換されます。

$\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '\times \mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).}$

したがって、v ₃は擬ベクトルです。同様に、2 つの擬ベクトルの外積は擬ベクトルであり、極ベクトルと擬ベクトルの外積は極ベクトルであることを示すことができます。結論として、次のようになります。

• 極座標ベクトル × 極座標ベクトル = 擬似ベクトル
• 擬似ベクトル × 擬似ベクトル = 擬似ベクトル
• 極ベクトル × 擬似ベクトル = 極ベクトル
• 擬似ベクトル × 極ベクトル = 極ベクトル

これは、2を法とする加算と同型であり 、「極性」は1に対応し、「擬似」は 0に対応する。

同様に、v ₁が既知の極ベクトル場であり、v _{2がその回転}v ₂ = ∇ × v ₁と定義される場合、宇宙が回転行列Rによって変換されると、v _{2 は}次のように変換されます。

${\displaystyle \mathbf {v_{2}} '=\nabla \times \mathbf {v_{1}} '=\nabla \times (R\mathbf {v_{1}} )=(\det R)(R(\nabla \times \mathbf {v_{1}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )。}$

したがって、v ₂は擬ベクトル場である。同様に、擬ベクトル場の回転は極ベクトル場であることを示すことができる。結論として、次のようになる。

• ∇ × 極ベクトル場 = 擬似ベクトル場
• ∇ × 擬似ベクトル場 = 極ベクトル場

これは、del演算子∇を極ベクトルとして解釈した場合の、上記の外積の規則と同様です。

上記では、擬似ベクトルは能動変換を用いて議論されてきた。受動変換に近い別のアプローチは、宇宙を固定したまま、数学と物理学のあらゆる場所で「右手の法則」を「左手の法則」と入れ替えることである。これには、外積と回転の定義も含まれる。任意の極ベクトル（例えば、並進ベクトル）は変化しないが、擬似ベクトル（例えば、ある点における磁場）は符号が反転する。しかしながら、特定の放射性崩壊のようなパリティ違反現象を除けば、物理的な影響はない。^{[ 6 ]}

擬似ベクトルを形式化する一つの方法は次のとおりです。Vがn次元ベクトル空間である場合、Vの擬似ベクトルは、 Vの( n − 1) 乗の外積の要素⋀ ^{n −1} ( V ) です。V の擬似ベクトルは、Vと同じ次元のベクトル空間を形成します。  

この定義は、不適切な回転の下で符号反転を必要とする定義とは同等ではありませんが、すべてのベクトル空間に共通です。特に、nが偶数の場合、このような擬ベクトルは符号反転を起こさず、Vの基礎となる体の標数が 2 の場合、符号反転は影響を与えません。それ以外の場合、定義は同等ですが、追加の構造 (具体的には、体積形式または向き) がない場合、⋀ ^{n −1} ( V ) とVの自然な同一視はできないことに留意する必要があります。

それらを形式化するもう1つの方法は、それらを表現空間の要素として考えることです。${\displaystyle {\text{O}}(n)}$ベクトルは基本表現で変換します${\displaystyle {\text{O}}(n)}$データは以下によって与えられた${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{fund}},{\text{O}}(n))}$任意の行列に対して${\displaystyle R}$で${\displaystyle {\text{O}}(n)}$1つは${\displaystyle \rho _{\text{fund}}(R)=R}$擬似ベクトルは擬似基本表現に変換される${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{pseudo}},{\text{O}}(n))}$、 と${\displaystyle \rho _{\text{pseudo}}(R)=\det(R)R}$この準同型を別の角度から見ると、${\displaystyle n}$奇妙なことに、この場合${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{SO}}(n)\times \mathbb {Z} _{2}}$。 それから$\displaystyle \rho _{\text{pseudo}}$は群準同型の直積であり、 上の基本準同型の直積である。${\displaystyle {\text{SO}}(n)}$自明な準同型写像で${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$。

幾何代​​数では、基本要素はベクトルであり、この代数における積の定義を用いて要素の階層構造を構築します。特に、幾何代数ではベクトルから擬似ベクトルを構築します。

幾何代​​数における基本的な乗算は幾何積であり、 abのように 2 つのベクトルを単純に並べることで表されます。この積は次のように表現されます。

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {a\cdot b} +\mathbf {a\wedge b} \ ,}$

ここで、先頭の項は慣例的なベクトルの内積であり、2 番目の項は外積または外積と呼ばれます。代数の公理を使用すると、内積と外積のすべての組み合わせを評価できます。さまざまな組み合わせを記述するための用語が提供されています。たとえば、マルチベクトルは、さまざまなk値のk重外積の合計です。k重外積は、kブレードとも呼ばれます。

現在の文脈では、擬似ベクトルはこれらの組み合わせの 1 つです。この用語は、空間の次元(つまり、空間内の線形独立なベクトルの数) に応じて、異なる多重ベクトルに付随します。 3 次元では、最も一般的な 2 ブレードまたはバイベクトルは、2 つのベクトルの外積として表現でき、擬似ベクトルです。^{[ 7 ]}しかし、4 次元では、擬似ベクトルはトライベクトルです。^{[ 8 ]}一般に、これは( n − 1)ブレードであり、nは空間と代数の次元です。^{[ 9 ]} n次元空間には、n 個の基底ベクトルとn 個の基底擬似ベクトルがあります。各基底擬似ベクトルは、 n 個の基底ベクトルのうち 1 つを除くすべての外側 (外積) から形成されます。例えば、基底ベクトルを { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ }とする 4 次元では、擬似ベクトルは { e ₂₃₄ , e ₁₃₄ , e ₁₂₄ , e ₁₂₃ } と書くことができます。

• 外積代数
• クリフォード代数
• 反ベクトル、クリフォード代数における擬似ベクトルの一般化
• 方向付け可能性―方向付け不可能な空間についての議論。
• テンソル密度