ジンバルロック

ジンバル ロックとは、多次元機構において、軸の特定の位置合わせで自由度が1 つ失われることです。3 次元の 3ジンバル機構では、ジンバルのうち 2 つの軸が平行構成に駆動され、縮退した 2 次元空間で システムが回転するように「ロック」されると、ジンバル ロックが発生します。

ジンバルロックという用語は、個々のジンバルが実際には拘束されていないという意味で誤解を招く可能性があります。3 つのジンバルはすべて、それぞれのサスペンション軸を中心に自由に回転できます。ただし、ジンバルの 2 つの軸が平行に配置されているため、1 つの軸を中心に回転できるジンバルが存在せず、吊り下げられた物体はその軸を中心に事実上ロックされた状態 (つまり、回転できない状態) になります。

この問題は、座標系が他の変数の特定の値でその変数の 1 つの定義を失うという 他の状況にも一般化できます。

ジンバルは、軸を中心に回転できるように吊り下げられたリングです。ジンバルは通常、複数の軸を中心に回転できるように、互いに重ねて配置されています。

これらはジャイロスコープや慣性計測装置に使用され、外側のジンバルサスペンションが任意の方向を向いている間、内側のジンバルの方向を固定したままにすることができます。コンパスやフライホイールエネルギー貯蔵機構では、物体を直立状態に維持することができます。これらはロケットのスラスタの方向を決めるために使用されます。^[1]

数学におけるいくつかの座標系は、角度を測定するために使用される実際のジンバルのように動作し、特にオイラー角がそうです。

ネストされたジンバルが 3 つ以下の場合、カバーする空間の特性により、システム内のある時点でジンバル ロックが必然的に発生します。

正確なジンバル ロックを生成できるのは 2 つの特定の方向だけですが、実際の機械式ジンバルはそれらの方向の近くで問題に遭遇します。ジンバルのセットがロック構成に近い場合、ジンバ​​ル プラットフォームの小さな回転には周囲のジンバルの大きな動きが必要です。比率はジンバル ロックのポイントでのみ無限ですが、慣性 (各ジンバル リングの質量による)、ベアリング摩擦、ジンバルの周囲の空気またはその他の流体の流動抵抗 (真空でない場合)、およびその他の物理的および工学的要因によるジンバルの実際の速度と加速の制限により、そのポイントに近いプラットフォームの動きが制限されます。

ジンバル ロックは、方位角(水平角) と仰角 (垂直角) を中心に回転するセオドライトなどの 2 自由度を持つジンバル システムで発生することがあります。これらの 2 次元システムは、天頂と天底でジンバル ロックが発生する可能性があります。これは、これらのポイントでは方位角が明確に定義されておらず、方位角方向の回転によってセオドライトが指している方向が変わらないためです。

地平線から経緯台に向かって飛行するヘリコプターを追跡する場合を考えてみましょう。経緯台は三脚に取り付けられた望遠鏡で、ヘリコプターを追跡するために方位角と仰角を移動できます。ヘリコプターは経緯台に向かって飛行し、望遠鏡によって仰角と方位角が追跡されます。ヘリコプターは方向を変えて以前のコースに対して 90 度で飛行するとき、三脚の真上 (つまり天頂) を飛行します。望遠鏡は、ジンバル方向の 1 つまたは両方で不連続なジャンプを行わずにこの操作を追跡することはできません。ターゲットを追跡できる連続的な動きはありません。ジンバル ロック状態です。そのため、天頂の周りには、ターゲットのすべての動きを望遠鏡で連続的に追跡できない方向が無限にあります。^[2]たとえヘリコプターが天頂を通過せず、天頂付近を通過するだけでジンバルロックが発生しない場合でも、ヘリコプターが急速に方位を移動するため、システムはヘリコプターを追跡するために非常に高速に移動する必要があることに注意してください。最も近いポイントが天頂に近いほど、この操作はより高速に実行する必要があります。実際に天頂を通過すると、これらの「ますます高速になる」動きの限界は無限に高速になり、つまり不連続になります。

ジンバル ロックから回復するには、ユーザーは天頂を回る必要があります。具体的には、仰角を下げ、方位角をターゲットの方位角に合わせて変更し、次に仰角をターゲットに合わせて変更します。

数学的には、これは球面座標が天頂と天底における球面上の座標チャートを定義しないという事実に対応します。あるいは、トーラスT ²から球面S ^{2 (方位角と仰角が与えられた点によって与えられる) への対応するマップ}T ² → S ^{2は、これらの点における}被覆マップではありません。

3 つのジンバル軸が互いに垂直 (つまり、ロール、ピッチ、ヨーの角度がそれぞれ 0)で真北に飛行している航空機にレベル センシング プラットフォームが搭載されている場合を考えてみましょう。航空機が 90 度ピッチアップすると、航空機とプラットフォームのヨー軸ジンバルがロール軸ジンバルと平行になり、ヨーに関する変化を補正できなくなります。

この問題は、ロール ジンバル軸とヨー ジンバル軸の間の大きな角度を維持するためにモーターでアクティブに駆動される 4 番目のジンバルを使用することで解決できます。別の解決策としては、ジンバル ロックが検出されたときに 1 つ以上のジンバルを任意の位置に回転させてデバイスをリセットする方法があります。

現代の慣習では、ジンバルの使用は完全に避けられています。慣性航法システムでは、慣性センサーを車体に直接取り付け（ストラップダウンシステムと呼ばれます）^[3]、感知した回転と加速度を四元数法を使用してデジタル的に統合し、車両の方向と速度を導き出すことでこれを実現できます。ジンバルを置き換える別の方法は、流体ベアリングまたは浮遊チャンバーを使用することです。^[4]

よく知られているジンバルロック事件は、アポロ11号の月面ミッションで発生しました。この宇宙船では、慣性計測装置（IMU）にジンバルセットが使用されていました。エンジニアはジンバルロックの問題を認識していましたが、4つ目のジンバルの使用を拒否していました。^[5]この決定の背後にある理由の一部は、次の引用から明らかです。

冗長ジンバルの利点は、装置のシンプルさ、サイズの利点、および直接 3 自由度ユニットの対応する暗黙の信頼性によって上回られるようです。

— デビッド・ホアグ、アポロ月面ジャーナル

彼らは、85 度のピッチに近づくと作動するインジケーターを使用する代替ソリューションを好みました。

その点に近づくと、閉じた安定化ループでは、トルクモーターに理論上はジンバルを瞬時に180度回転させる命令を出すことができる。しかし、LMでは、コンピューターは70度で「ジンバルロック」警告を点滅させ、85度でIMUをフリーズさせた。

—  Paul Fjeld、アポロ月面ジャーナル

ジンバルをこれ以上速く動かそうとするのではなく、システムは単に諦めてプラットフォームをフリーズさせました。この時点から、宇宙船はジンバルロック位置から手動で移動させなければならず、プラットフォームは星を基準にして手動で再調整しなければなりませんでした。^[6]

月着陸船が着陸した後、司令船に乗っていた マイク・コリンズは「クリスマスに4つ目のジンバルを送ってくれたらどうかな？」と冗談を言った。

ロボット工学では、ジンバル ロックは一般に「リスト フリップ」と呼ばれます。これは、ロボット アームで「トリプル ロール リスト」が使用されているためです。トリプル ロール リストでは、ヨー、ピッチ、ロールを制御する 3 つのリスト軸がすべて共通点を通過します。

手首の反転 (手首特異点とも呼ばれる) の例としては、ロボットが移動する経路によってロボットの手首の 1 番目と 3 番目の軸が一列に並ぶことが挙げられます。次に、手首の 2 番目の軸は、エンド エフェクタの方向を維持するために、ゼロ時間で 180 度回転しようとします。特異点の結果は非常に劇的なものになる可能性があり、ロボット アーム、エンド エフェクタ、およびプロセスに悪影響を及ぼす可能性があります。

ロボット工学において特異点を回避することの重要性から、産業用ロボットおよびロボットシステムの米国国家規格 - 安全要件では、特異点を「2つ以上のロボット軸が同一線上に並ぶことで、予測できないロボットの動きと速度が生じる状態」と定義しています。^[7]

ジンバル ロックの問題は、応用数学でオイラー角を使用するときに発生します。3Dモデリング、組み込みナビゲーション システム、ビデオ ゲームなどの3Dコンピュータ プログラムの開発者は、この問題を回避するように注意する必要があります。

形式的な言葉で言えば、ジンバル ロックが発生するのは、オイラー角から回転への写像 (位相的には、3 次元トーラスT ³から実射影空間 RP ³への写像で、これは正式にはSO(3)と呼ばれる 3 次元剛体の回転空間と同じ) がどの点でも局所同相ではないため、ある点では階数(自由度) が 3 未満に低下し、その時点でジンバル ロックが発生するためです。オイラー角は、3 つの数値を使用して 3 次元空間内の任意の回転を数値的に記述する手段を提供しますが、この記述が一意ではないだけでなく、ターゲット空間 (回転) のすべての変更がソース空間 (オイラー角) の変更によって実現できるわけではない点がいくつかあります。これは位相的な制約です。つまり、3 次元トーラスから 3 次元実射影空間への被覆写像は存在しません。唯一の (非自明な) 被覆写像は、クォータニオンの使用の場合のように、3 次元球面からのものです。

比較すると、すべての平行移動は、 3 つの数値、、 、 を使用して、3 つの垂直な軸 、 、 軸に沿った 3 つの連続する線形運動の連続として記述できます。回転についても同じことが言えます。すべての回転は、3 つの数値、、 、 を使用して、互いに垂直な 3 つの軸の周りの 3 つの回転運動の連続として記述できます。線形座標と角度座標のこの類似性により、オイラー角は非常に直感的になりますが、残念ながらジンバル ロックの問題に悩まされます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \gamma}$

3D 空間での回転は、いくつかの方法で行列を使用して数値的に表現できます。これらの表現の 1 つは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{ \begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\終了{整列}}}$

調べる価値のある例は、 のときに起こります。 および がわかっているので、上記の式は次の式と等しくなります。 ${\displaystyle \beta ={\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \cos {\tfrac {\pi }{2}}=0}$${\displaystyle \sin {\tfrac {\pi }{2}}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma & \cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

行列の乗算を実行する:

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\-\cos \alpha &\sin \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &0\\-\cos \alpha \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma &\cos \alpha \sin \gamma +\sin \alpha \cos \gamma &0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

最後に三角法の公式を使用します。

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin(\alpha +\gamma )&\cos(\alpha +\gamma )&0\\-\cos(\alpha +\gamma )&\sin(\alpha +\gamma )&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

上記の行列でとの値を変更しても同じ効果があります。回転角度は変わりますが、回転軸は の方向のままです。行列の最後の列と最初の行は変わりません。と が異なる役割を取り戻す唯一の解決策は、 を変更することです。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha +\gamma }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \beta }$

XYZ規則を使用して、上記のオイラー角で回転する飛行機を想像することができます。この場合、最初の角度はピッチです。次にヨーが設定され、最後の回転は再び飛行機のピッチです。ジンバル ロックのため、自由度の 1 つ (この場合はロールする能力) が失われています。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \gamma }$

また、オイラー角を使用して行列で回転を表すために、上記のXYZ規則以外の別の規則を選択したり、角度の別の変化間隔を選択したりすることもできますが、最終的には自由度が失われる値が少なくとも 1 つ存在します。

ジンバル ロックの問題によってオイラー角が「無効」になるわけではありません (オイラー角は常に明確に定義された座標系として機能します) が、一部の実用的なアプリケーションには適さなくなります。

ジンバル ロックの原因は、計算においてオイラー角に基づく 3 つの軸回転として方向が表現されることです。したがって、考えられる解決策は、方向を別の方法で表現することです。これは、回転行列、四元数 (四元数と空間回転を参照)、または方向を 3 つの別個の関連した値ではなく値として扱う同様の方向表現として行うことができます。このような表現が与えられた場合、ユーザーは方向を値として保存します。変換によって生成された角度の変化を定量化するために、方向の変化はデルタ角度/軸回転として表現されます。結果の方向は、後続の変換で浮動小数点エラーが蓄積されるのを防ぐために、再正規化する必要があります。行列の場合、結果を再正規化するには、行列を最も近い正規直交表現に変換する必要があります。四元数の場合、再正規化には四元数の正規化を実行する必要があります。

• SO(3)のチャート
• 飛行力学 – 飛行体の性能、安定性、制御の研究
• グリッド北 – 直交地理座標系Pages displaying short descriptions of redirect targets（極地探検における航行問題と同等）
• 慣性航法システム – 連続的に計算される推測航法
• 動作計画 – 計算問題
• 四元数と空間回転 – 四元数と 3D 回転の対応
• キーホール問題- 速度と加速度の制限下でジンバル軸付近をトラッキングする際の問題

• ジンバルロック - YouTubeで説明