共形幾何代数

共形幾何代数( CGA ) は、n次元の基本空間R ^p、qの点からR ^{p +1、q +1}のヌルベクトルへのマップの結果空間上に構築される幾何代数です。これにより、反射、回転、平行移動などの基本空間の操作を幾何代数のバーソルを使用して表すことができます。また、点、線、平面、円、球が特に自然で計算しやすい表現になることがわかります。

マッピングの効果は、基本空間内の一般化された（つまり、曲率ゼロを含む） k球が( k + 2)ブレードにマッピングされるため、基本空間の変換（または任意の 等角マッピング）の効果は、高次元空間での回転に対応することです。ベクトルの幾何積に基づくこの空間の代数では、このような変換は、非常に効率的に結合される3D での空間回転のための四元数の使用に似た、代数の特徴的なサンドイッチ演算に対応します。変換を表すローターの結果として、球、平面、円、その他の幾何学的オブジェクトの表現と、それらを接続する方程式はすべて共変的に変換されます。幾何学的オブジェクト（k球）は、オブジェクト上の点を表すk + 2 個の線形独立ベクトルのウェッジ積として合成できます。逆に、オブジェクトは、その表面上のk + 2個の異なる点を表すベクトルの繰り返しウェッジ積として分解できます。いくつかの交差演算も、整然とした代数形式を取得します。たとえば、ユークリッド基底空間R ³の場合、 2 つの球を表す 4 ベクトルの双対にウェッジ積を適用すると、交差円の 3 ベクトル表現の双対が生成されます。

この代数構造は効率的な計算に直接役立つため、射影幾何学と逆幾何学の古典的な手法を具体的で扱いやすい設定で探求することが容易になります。また、ねじ理論における計算を表現し、容易にする効率的な構造としても使用されています。CGA は特に、日常的なユークリッド空間R ^{3 を}5 次元ベクトル空間R ^4,1に射影写像することに関連して適用されており、ロボット工学やコンピューター ビジョンへの応用が研究されています。CGA は一般に、任意の擬似ユークリッド空間(たとえば、ミンコフスキー空間 R ^3,1から空間R ^4,2 )に適用できます。

この記事では、代数に焦点を当てています。これは、この特定の代数が長年にわたって最も注目されてきた主題であるためです。他のケースについては、別のセクションで簡単に説明します。モデル化されるオブジェクトを含む空間は、ここでは基本空間と呼ばれ、これらのオブジェクトをモデル化するために使用する代数空間は表現空間または共形空間と呼ばれます。同次部分空間は、代数空間の線形部分空間を指します。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

オブジェクトに関する用語、点、線、円、球、準球などは、基本空間内の幾何学的オブジェクト、またはそのオブジェクトを表す表現空間の同次部分空間のいずれかを意味するために使用されます。特に明記されていない限り、通常は後者を指します。^{[a]代数的には、同次部分空間のゼロでないヌル要素が使用され、1 つの要素が何らかの基準によって}正規化されている と見なされます。

太字の小文字のラテン文字は、原点から基本空間内の点までの位置ベクトルを表すために使用されます。斜体の記号は、表現空間の他の要素に使用されます。

基底空間R ³は、選択された原点からの変位の基底を拡張し、基底空間に直交し、互いに直交する2 つの基底ベクトルe ₋とe _{+ （} e ₋ ² = −1およびe ₊ ² = +1 ）を追加して表現空間を作成することによって表されます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

e ₊とe ₋の代わりに、2つのヌルベクトルn _oとn _∞を基底ベクトルとして使用すると便利です。ここで、n _o = ( e ₋ − e ₊ )/2、 n _∞ = e ₋ + e _+です。 x が基底空間にある 場合、次のことが確認できます。

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}{n_{\text{o}}}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\cdot n_{\infty }&=-1\qquad &n_{\text{o}}\cdot \mathbf {x} &=0\\{n_{\infty }}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\wedge n_{\infty }&=e_{-}e_{+}\qquad &n_{\infty }\cdot \mathbf {x} &=0\end{array}}}$

これらの特性から、他のすべての基底要素に直交する要素e _iを持つ基底の表現空間における一般ベクトルrの基底ベクトル係数の次の式が導かれます。

rに対するn _oの係数は−n _∞ ⋅ rである。

rに対するn _∞の係数は− n _o ⋅ r

rに対するe _iの係数はe _i ⁻¹ ⋅ rです。

基底空間のベクトル（原点から表現されるアフィン空間の点への写像）からの写像は、次の式で与えられる：^[b]

${\displaystyle g:\mathbf {x} \mapsto n_{\text{o}}+\mathbf {x} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}n_{\infty }}$

非ゼロのスカラー係数だけが異なる点やその他のオブジェクトはすべて、基本空間内の同じオブジェクトにマップされます。正規化が必要な場合は、表現空間から基本空間への点の単純な逆マップを生成する場合や距離を決定する場合など、条件g ( x ) ⋅ n _∞ = −1を使用できます。

前方マッピングは次のものと同等です:

• まず、 e ₁₂₃からe ₊ ∧ e ₁₂₃空間内の単位 3 次元球面上にx を共形射影します(5 次元では、これは部分空間r ⋅ (− n _o − ⁠1/2⁠ n _∞ ) = 0 );
• 次に、 e _– = 1を付加し、原点からの同じ直線上にあるすべての点を同一視することで、これを射影空間に持ち上げます（5次元では、これは部分空間r ⋅ (− n _o − ⁠1/2⁠ n _∞ ) = 1 );
• 次に正規化を変更すると、同次投影の平面は値1を持つn _o座標、つまりr ⋅ n _∞ = −1で与えられます。

ヌルコーン上の Xの逆写像は（Perwass式4.37）で与えられる。

${\displaystyle X\mapsto {\mathcal {P}}_{n_{\infty }\wedge n_{\text{o}}}^{\perp }\left({\frac {X}{-X\cdot n_{\infty }}}\right)}$

これは、まず光円錐から平面r ⋅ n _∞ = −1への立体射影を与え、次にn _oとn _{∞ の部分を捨てて、全体的な結果として、すべての等価な点}αX = α ( n _o + x + ⁠を写像することになります。1/2⁠ x ² n _∞ )からx。

R ^p、qの点x = 0はR ^{p +1、q +1}のn _oにマッピングされるため、n _oは原点の点の (表現) ベクトルとして識別されます。

R ^{p +1, q +1}内のn _∞係数がゼロでないが、n _{o係数がゼロのベクトルは、（逆写像を考慮すると）} R ^p、q内の無限ベクトルの像でなければなりません。したがって、方向n _{∞ は}、（等角）無限遠点を表します。これが、ヌル基底ベクトルを識別するための下付き文字_oと_{∞ の}理由です。

原点の選択は任意です。表現はアフィン空間であるため、他の任意の点を選択できます。原点は単に参照点を表し、代数的には他の任意の点と同等です。任意の変換と同様に、原点の変更は表現空間の回転に対応します。

およびとともに、これらは代数の 32 個の基本ブレードです。幾何積は混合次数であるため、Flat Point Origin は外積として表されます。( )。 ${\displaystyle I_{5}=e_{123}E}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E=e_{+}e_{-}}$

表現空間の任意の非ゼロのブレード Aが与えられたとき、次の形式の同次方程式のペアの解となるベクトルの集合は^{[3]である。}

${\displaystyle X^{2}=0}$

${\displaystyle X\wedge A=0}$

は、ヌルベクトルの同次 1 次元部分空間の和集合であり、したがって基本空間内の点の集合の表現です。これにより、特定のクラスの幾何学的オブジェクトを表現する便利な方法としてブレードAが選択されます。基本空間がユークリッド空間である場合のブレードAの具体的なケース(空間の次元数に依存しません) は次のとおりです。

• スカラー: 空集合
• ベクトル: 単一の点
• 双ベクトル: 点のペア
• 三ベクトル: 一般化された円
• 4次元ベクトル：一般化された球面
• 等

これらはそれぞれ、 A ²が正、ゼロ、負のいずれであるかに応じて 3 つのケースに分かれ、リストされているオブジェクト、単一点の退化したケース、または点がないケース ( X ∧ Aの非ゼロ解からヌル ベクトルが除外される) に対応します (場合によっては逆の順序になります)。

列挙した幾何学的オブジェクト（一般化されたn球面）は、より一般的な基本空間が擬似ユークリッドである場合には準球面となる。 ^[4]

平らな物体は、解に無限遠点が含まれていることで識別できます。したがって、n _∞ ∧ A = 0の場合、物体は線、平面などになり、ブレードAはそれぞれグレード 3、4 などになります。

このクラスのオブジェクトの 1 つを表すブレードA は、オブジェクト上の点を表す線形独立ベクトルの外積として見つけることができます。基本空間では、この線形独立性は、各点が他の点によって定義されたオブジェクトの外側にあることで表されます。したがって、たとえば、3 つの異なる点によって定義された一般化された円上にある 4 番目の点は、球を定義する 4 番目の点として使用することはできません。

e ₁₂₃内の点は、 と設定すればヌル円錐、つまりヌル放物線上に写像されます。${\displaystyle r\cdot n_{\infty }=-1}$

さまざまな種類の幾何学的オブジェクト A について、共形空間内のe ₁₂₃ st内の点の軌跡を考えることができます。${\displaystyle g(\mathbf {x} )\cdot A=0}$

まず、次のことを観察します${\displaystyle g(\mathbf {a} )\cdot g(\mathbf {b} )=-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{ 2}}$

比較する：

• x. a = 0 => x perp a; x.(a∧b) = 0 => x perp aかつx perp b
• x∧a = 0 => x は a と平行です。x∧(a∧b) = 0 => x は aまたはb と平行です（または何らかの線形結合と平行です）。

内積と外積の表現は双対化によって関連している

x∧A = 0 <=> x . A* = 0 (チェック - x が 1 次元、 A が n-1 次元の場合に動作します)

• 点: R ^4,1の A がヌル円錐上のベクトルである場合、R ³のxの軌跡は点になります。

(注意: 同次射影空間であるため、原点を通る光線上の任意の長さのベクトルは同等であり、したがって g(x).A =0 は g(x).g(a) = 0 と同等です)。

• 球面: A = S、つまりヌル円錐から外れたベクトルの場合、xの軌跡は球面になります。

S . X = 0の場合=>$${\displaystyle \mathbf {S} =g(\mathbf {a} )-{\tfrac {1}{2}}\rho ^{2}\mathbf {e} _{\infty }}$$${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {a} -\mathbf {x} )^{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho ^{2}=0}$

これらは球に対応する点である

ヌルコーンから外れたベクトル S の場合、どの方向が双曲的に直交しますか? (ローレンツ変換 pix を参照)

2+1 次元で、S が (1,a,b) の場合 (座標 e-、{e+、e _i } を使用)、S に双曲的に直交する点は、(-1,a,b) にユークリッド的に直交する点、つまり平面、またはn次元では、原点を通る超平面です。これは、原点を通らない別の平面を直線で切断し ( n -2 曲面の超曲面)、次に円錐を 2 点で切断します (何らかのn -3 円錐曲面)。そのため、何らかの円錐のように見える可能性があります。これは、 gによる球の像である曲面です。

• 平面: A = Pの場合、xの軌跡は平面であり、これはn _{o成分がゼロ}のベクトルです。同次射影空間では、このようなベクトルP は平面n _o =1 上のベクトルを表し、これは原点から無限に遠い (つまり、ヌル円錐の外側に無限に遠い) ため、g(x).P =0 は無限半径の球面、つまり平面上のxに対応します。

特に：

• ${\displaystyle \mathbf {P} ={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }}$原点から直交距離 αの法線を持つ平面上のxに対応します。${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$
• ${\displaystyle \mathbf {P} =g(\mathbf {a} )-g(\mathbf {b} )}$aとbの中間の平面に対応し、法線a - b

• 円
• 接線面
• 行
• 無限の線
• ポイントペア

• 反射

P g( x ) Pを形成すると 、ヌル円錐上の新しい方向g( x' )が得られることが確認できます。ここで、 x'は、g ( p )を満たすR ³内の点pの平面での反射に対応します。P = 0。

g( x ) . A = 0 => P g( x ) . A P = 0 => P g( x ) P . P A P (くさび積についても同様)、したがって、上のセクションの任意の量 A にP をサンドイッチ方式で適用する効果は、同様に点xの対応する軌跡を反映することであり、したがって、特定のタイプの A に対応する円、球、線、および平面は、 g( x )にP を適用して点x を反映するのとまったく同じ方法で反映されます。

この反射操作は、一般的な変換と回転を構築するために使用できます。

• 翻訳

二つの平行な平面での反射は平行移動を与える。

${\displaystyle g(\mathbf {x} ^{\prime })=\mathbf {P} _{\beta }\mathbf {P} _{\alpha }\;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {P} _{\alpha }\mathbf {P} _{\beta }}$

もし、そして${\displaystyle \mathbf {P} _{\alpha }={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {P} _{\beta }={\hat {\mathbf {a} }}+\beta \mathbf {e} _{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }=\mathbf {x} +2(\beta -\alpha ){\hat {\mathbf {a} }}}$

• 回転

${\displaystyle g(\mathbf {x} ^{\prime })={\hat {\mathbf {b} }}{\hat {\mathbf {a} }}\;g(\mathbf {x} )\;{\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {b} }}}$これは、原点を中心に角度 2 θ だけ回転したx'に対応します。ここで、 θ はaとb の間の角度です。これは、このローターをxに直接適用した場合と同じ効果です。

• 一般的なローテーション

一般的な点の周りの回転は、まず点を原点まで移動し、次に原点の周りを回転させ、最後に点を元の位置に戻すことで実現できます。つまり、演算子による挟み込みによって実現できます。${\displaystyle \mathbf {TR{\tilde {T}}} }$

${\displaystyle g({\mathcal {G}}x)=\mathbf {TR{\tilde {T}}} \;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {T{\tilde {R}}{\tilde {T}}} }$

• ネジ

ねじまたはモーターの効果（一般的な点の周りの回転と、それに続く回転軸に平行な移動）は、演算子g( x ) を挟むことによって実現できます。${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {T_{2}T_{1}R{\tilde {T_{1}}}} }$

M はパラメータ化することもできる(シャレスの定理)${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {T^{\prime }R^{\prime }} }$

• 反転

反転は球面における鏡映です。このような反転を使用して実行できるさまざまな操作については、反転幾何学で説明します。特に、反転とユークリッド変換の平行移動と回転を組み合わせると、任意の 等角写像、つまり角度を普遍的に保存する任意の写像を表現するのに十分です。(リウヴィルの定理)。

• 拡大

同じ中心を持つ 2 つの反転により、拡大が発生します。

クリフォード代数と幾何代数には、幅広い応用分野を持つ活気に満ちた学際的なコミュニティがあります。この分野の主な会議には、クリフォード代数と数理物理学への応用に関する国際会議 (ICCA) と、コンピュータサイエンスとエンジニアリングへの幾何代数の応用 (AGACSE) シリーズがあります。主な出版元は、Springer 誌のAdvances in Applied Clifford Algebrasです。