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ウィリアム・キングドン・クリフォード（1845年5月4日- 1879年3月3日）は、イギリスの数学者であり哲学者でした。ヘルマン・グラスマンの研究に基づいて、彼は現在幾何代数と呼ばれるものを導入しました。これは、後にクリフォード代数として知られるようになったものの特殊なケースであり、彼の名誉にちなんで名付けられました。幾何代数の演算は、モデル化されている幾何学的オブジェクトを新しい位置にミラーリング、回転、平行移動、マッピングする効果があります。クリフォード代数全般、特に幾何代数は、数理物理学[ 1 ]、幾何学[ 2 ]、およびコンピューティング[ 3 ]においてますます重要性を増しています。クリフォードは、重力が根底にある幾何学の現れである可能性を最初に示唆した人物です。彼の哲学的著作の中で、彼は「精神物質」という表現を作り出しました。
エクセターで生まれたウィリアム・クリフォードは、ベッドフォード・サーカスのテンプルトン博士のアカデミーで教育を受け、学校では将来有望な才能を示した。[ 4 ]彼は15歳でキングス・カレッジ・ロンドンに進学し、その後ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジに進み、 1867年に2位のラングラー、2位のスミス賞受賞者となった後、1868年にフェローに選出された。[ 5 ] [ 6 ] 1870年、彼は1870年12月22日の日食を観測するためにイタリアへの遠征に参加した。その航海中、彼はシチリア沿岸で難破したが生き延びた。[ 7 ]
1871年、彼はユニバーシティ・カレッジ・ロンドンの数学と力学の教授に任命され、1874年には王立協会のフェローとなった。[ 5 ]彼はまた、ロンドン数学会と形而上学会 の会員でもあった。
クリフォードは1875年4月7日にルーシー・レーンと結婚し、彼女との間に2人の子供をもうけた。[ 8 ] ルーシー・クリフォードは優れた小説家、劇作家、ジャーナリストであった。
1876年、クリフォードは過労が原因と思われる精神的な不調に見舞われた。昼間は教鞭を執り、事務をこなし、夜は執筆活動に励んだ。アルジェリアとスペインでの半年間の休暇で18ヶ月間職務に復帰できたものの、その後再び体調を崩した。療養のためマデイラ島へ渡ったが、数か月後に結核で亡くなり、妻と2人の子供を残した。
学術誌『Advances in Applied Clifford Algebras』は、運動学と抽象代数学におけるクリフォードの功績について論文を掲載している。
「クリフォードは何よりもまず幾何学者だった。」
クリフォードの時代には、非ユークリッド幾何学の発見が幾何学に新たな可能性を開いた。曲率の概念が空間自体だけでなく曲線や曲面にも広く適用され、内在微分幾何学の分野が誕生した。クリフォードは、ベルンハルト・リーマンの1854年の論文「幾何学の基礎となる仮説について」に非常に感銘を受けた。[ 9 ] 1870年、彼はケンブリッジ哲学協会でリーマンの曲がった空間の概念について報告し、重力による空間の曲がりについての考察も加えた。クリフォードによるリーマンの論文の翻訳[ 10 ] [ 11 ]は1873年にネイチャー誌に掲載された。ケンブリッジでの彼の報告「物質の空間理論について」は1876年に出版され、アルベルト・アインシュタインの一般相対性理論を40年も先取りしていた。クリフォードは、非ユークリッド計量空間として楕円空間幾何学を詳述した。楕円空間における等距離曲線は、現在ではクリフォード平行線と呼ばれている。
クリフォードの同時代人は彼を鋭敏で独創的、機知に富み温厚な人物と評した。彼はしばしば夜遅くまで仕事をしており、それが彼の死を早めたのかもしれない。彼は代数形式や射影幾何学、教科書『力学の基礎』など、幅広いトピックに関する論文を発表した。グラフ理論を不変理論に応用した彼の研究は、ウィリアム・スポティスウッドとアルフレッド・ケンプによって引き継がれた。[ 12 ]
1878年、クリフォードはグラスマンの広範な代数学に基づいて、画期的な研究を発表しました。[ 13 ]彼はウィリアム・ローワン・ハミルトンによって開発された四元数とグラスマンの外積（別名外積）を統一することに成功しました。彼はグラスマンの創造物の幾何学的性質を理解し、四元数がグラスマンが開発した代数学にきれいに適合することを理解していました。四元数のバーソルは回転の表現を容易にします。クリフォードは、内積とグラスマンの外積の和で構成される幾何積の基礎を築きました。幾何積は最終的にハンガリーの数学者マルセル・リースによって形式化されました。内積は幾何代数学に計量を与え、線、平面、体積の距離と角度の関係を完全に組み込み、一方、外積はそれらの平面と体積に方向バイアスを含むベクトルのような性質を与えます。
この2つを組み合わせることで、除算の演算が用いられるようになった。これにより、空間における物体の相互作用に関する定性的な理解が大きく広がった。さらに重要なことに、これらの相互作用の空間的な結果を定量的に計算する手段も提供された。彼が幾何代数と呼んだこの結果は、3次元空間における物体の動きや投影を反映する代数を作り出すという長年の目標[ i ]を最終的に実現した。[ 14 ]
さらに、クリフォードの代数スキームは高次元にも拡張されます。代数演算は2次元または3次元の場合と同じ記号形式を持ちます。一般的なクリフォード代数の重要性は時間とともに高まり、その同型類は実代数として、四元数だけでなく他の数学体系でも特定されています。[ 15 ]
実解析と複素解析の領域は、4次元空間に埋め込まれた3次元球面の概念のおかげで、四元数の代数Hによって拡張された。この3次元球面に存在する四元数バーソルは、回転群SO(3)の表現を提供する。クリフォードは、ハミルトンの2四元数がテンソル積であることを指摘した。既知の代数の 2 つのテンソル積を提案し、代わりにHの他の 2 つのテンソル積を提案しました。クリフォードは、複素数Cから取られる「スカラー」は、代わりに分割複素数Dまたは双対数Nから取られる可能性があると主張しました。テンソル積の観点から、分割バイクォータニオンを生成する一方、双対四元数を形成します。双対四元数の代数は、運動学でよく用いられるマッピングであるスクリュー変位を表現するために使用されます。
哲学者としてのクリフォードの名前は、主に彼が作った「精神物質」と「部族的自己」という2つのフレーズと結びついている。前者は、バールーフ・スピノザの読書によって彼に示唆された彼の形而上学的概念を象徴しており、[ 5 ]クリフォード（1878）はそれを次のように定義した。[ 17 ]
これまで見てきたように、最も単純な感情でさえも複雑な要素であるこの要素を、私は「精神物質」と呼ぶことにする。無機物の分子は、動いていても心や意識は持たないが、精神物質のごく一部は持っている。分子が結合してクラゲの腹面を覆う膜を形成するとき、それに付随する精神物質の要素も結合して、かすかな知覚の萌芽を形成する。分子が結合して脊椎動物の脳と神経系を形成するとき、対応する精神物質の要素も結合して、ある種の意識を形成する。つまり、同時に起こる複合体の変化は互いに結びつき、一方の繰り返しが他方の繰り返しを意味するようになる。物質が生きている人間の脳という複雑な形をとるとき、対応する精神物質は知性と意志を持つ人間の意識の形をとる。
— 『物自体の性質について』（1878年）
クリフォードの構想に関して、フレデリック・ポロック卿は次のように述べている。
簡単に言えば、この概念は、精神が唯一の究極の実在であるというものです。ただし、私たちが意識的な感情や思考の複雑な形で知っている精神ではなく、思考や感情が構築されるより単純な要素のことです。仮説上の精神の究極の要素、あるいは精神物質の原子は、物質の仮説上の原子と正確に対応し、物質原子が現象である究極の事実です。物質と感覚的な宇宙は、特定の生物、つまり意識に組織化された精神と世界の残りの部分との間の関係です。これは、大まかで一般的な意味では唯物論と呼ばれる結果につながります。しかし、この理論は形而上学的な理論として、観念論の側に位置づけられなければなりません。専門的に言えば、それは観念論的一元論です。[ 5 ]
一方、部族的自己は、クリフォードの倫理観の鍵を握るものであり、良心と道徳法則は、各個人における「自己」の発達によって説明され、この「自己」が「部族」の福祉に資する行動を規定する。クリフォードが当時著名であった理由の多くは、宗教に対する彼の態度によるものであった。真理の概念に対する強い愛と公務への献身に突き動かされ、彼は蒙昧主義を助長し、宗派の主張を人間社会の主張よりも優先しているように見える教会制度に対して戦いを挑んだ。神学がまだダーウィニズムと和解していなかったため、その警戒感はさらに大きく、クリフォードは当時近代科学に帰せられていた反精神的傾向の危険な擁護者と見なされていた。[ 5 ]クリフォードの「同時性」または「精神物理学的並行性」の教義が、ジョン・ヒューリングス・ジャクソンの神経系のモデル、そして彼を通してジャネ、フロイト、リボー、アイの研究にどの程度影響を与えたかについても議論がある。[ 18 ]
クリフォードは1877年のエッセイ『信念の倫理』の中で、証拠のないことを信じるのは不道徳だと主張している。[ 19 ]彼は、古くて造りの悪い船に乗客を満載して出航させようと計画していた船主について述べている。船主は、その船が航海に耐えられないかもしれないという疑念を抱いた。「これらの疑念が彼の心を蝕み、彼を不幸にした。」彼は費用がかかるにもかかわらず、船を改装することを検討した。ついに、「彼はこれらの憂鬱な考えを克服することに成功した。」彼は「軽い気持ちで」船が出航するのを見送り、「そして、船が外洋の真ん中で沈没し、何事もなかったかのように終わったとき、彼は保険金を受け取った。」[ 19 ]
クリフォードは、船主は船が安全だと心から信じていたとしても、乗客の死に対して有罪であると主張している。「彼には目の前にある証拠に基づいて信じる権利はなかった」[ ii ]さらに、船が目的地に無事到着した場合でも、その決定は不道徳なままであると主張している。なぜなら、選択の道徳性は一度選択がなされると永遠に定義され、盲目的な偶然によって決まる実際の結果は関係ないからである。船主の罪は軽減されないだろう。彼の不正行為は決して発覚しないだろうが、それでも彼は当時入手可能な情報に基づいてその決定を下す権利はなかった。
クリフォードは、後にクリフォードの原則として知られるようになった「不十分な証拠に基づいて何かを信じることは、常に、どこでも、誰にとっても間違っている」という有名な結論で締めくくっている。[ 19 ]
そのため、彼は「盲信」（つまり、証拠がないにもかかわらず物事を信じること）を美徳とする宗教思想家たちと真っ向から対立する主張を展開している。この論文は、プラグマティスト哲学者ウィリアム・ジェームズが「信じる意志」講演で激しく批判したことで有名である。これら2つの著作は、証拠主義、信仰、そして過信をめぐる議論の試金石として、しばしば一緒に読まれ、出版される。
クリフォードは時空と相対性理論の完全な理論を構築したことはないが、これらの現代的な概念を予見するような注目すべき観察を著作の中でいくつか行っている。彼の著書『力学の要素』 （1878年）では、「双曲線における準調和運動」を紹介している。彼はパラメーター化された単位双曲線の式を書き、後に他の著者がそれを相対論的速度のモデルとして使用した。別の箇所では、彼は次のように述べている。[ 20 ]
この箇所では二重四元数に言及しているが、クリフォードはこれを独自に発展させて分割二重四元数とした。本書は「空間の歪みについて」という章へと続き、一般相対性理論の本質を論じている。クリフォードは1876年の著書『物質の空間理論について』でも自身の見解を述べている。
1910年、ウィリアム・バレット・フランクランドは、平行論に関する著書の中で、物質の空間理論を引用し、「この推測の大胆さは、思想史において確かに比類のないものである。しかしながら、現在に至るまで、それはイカロスの飛行の様相を呈している」と述べている。 [ 21 ]数年後、アルベルト・アインシュタインが一般相対性理論を提唱した後、様々な著者がクリフォードがアインシュタインを先取りしていたと指摘した。例えば、ヘルマン・ワイル（1923年）は、ベルンハルト・リーマンと同様に、相対性理論の幾何学的アイデアを先取りした人物の一人としてクリフォードを挙げている。 [ 22 ]
1940年、エリック・テンプル・ベルは『数学の発展』を出版し、その中でクリフォードの相対性理論の先見性について論じている。[ 23 ]
ジョン・アーチボルド・ウィーラーは、1960年にスタンフォードで開催された国際論理学・方法論・科学哲学会議（CLMPS）において、クリフォードを創始者として挙げ、一般相対性理論の幾何力学的な定式化を発表した。[ 24 ]
『時間の自然哲学』 （1961年）の中で、ジェラルド・ジェームズ・ウィットローはクリフォードの先見性を回想し、宇宙論におけるフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量を説明するためにクリフォードの言葉を引用している。[ 25 ]
コーネリアス・ランチョス（1970）はクリフォードの予感を次のように要約している。[ 26 ]
同様に、バネシュ・ホフマン（1973）は次のように書いています。[ 27 ]
1990年、ルース・ファーウェルとクリストファー・ニーは、クリフォードの先見性を認めた記録を調査した。[ 28 ]彼らは、「一般相対性理論の概念的アイデアの一部を予見したのは、リーマンではなくクリフォードだった」と結論付けた。クリフォードの先見性が認められなかった理由を説明するために、彼らは、クリフォードが計量幾何学の専門家であり、「計量幾何学は正統的な認識論にとって追求するには難しすぎた」と指摘した。[ 28 ] 1992年、ファーウェルとニーはクリフォードとリーマンの研究を続けた。[ 29 ]
彼らは、テンソルが一般相対性理論で用いられるようになったことで、物理学における幾何学的視点を発展させる枠組みが生まれ、リーマンやクリフォードの難解な幾何学的概念が再発見されるようになったと主張している。
世紀のイギリスの数学者10人に関する講義。（特に78～91ページを参照）
