対称バランス不完全ブロックデザイン（SBIBD）とは、 v = b （点の数とブロックの数が等しい）となるBIBDのことです。これらはBIBDの中で最も重要で、最もよく研究されているサブクラスです。射影平面、双平面、アダマール2デザインはすべてSBIBDです。これらはフィッシャーの不等式（b ≥ v）の極値例であるため、特に興味深いものです。
次数mのアダマール行列は、要素が ±1 であるm × m行列Hであり、HH ⊤ = m I m を満たす。ここで、 H ⊤はHの転置行列、I mはm × m単位行列である。アダマール行列は、最初の行と最初の列の要素がすべて +1 である標準形式(つまり、等価なアダマール行列に変換)に変換することができる。次数m > 2の場合、 m は4の倍数でなければならない。
標準化された形式の 4 a次アダマール行列が与えられた場合、最初の行と最初の列を削除し、すべての −1 を 0 に変換します。結果として得られる 0–1 行列Mは、アダマール 2-デザインと呼ばれる対称 2-(4 a − 1, 2 a − 1, a − 1) デザインのインシデンス行列です。[ 8 ]この構成は可逆であり、これらのパラメータを持つ対称 2-デザインのインシデンス行列を使用して、4 a次アダマール行列を形成できます。a = 2 の場合、今ではよく知られているファノ平面がアダマール 2-デザインとして得られます。
頻度方陣( F方陣) は、ラテン方陣の高次の一般化です。S = { s 1 , s 2 , ..., s m }を異なる記号の集合とし、( λ 1 , λ 2 , ..., λ m )を正の整数の頻度ベクトルとします。n次頻度方陣は、各行と各列に各記号s iがλ i回 ( i = 1,2,..., m )出現するn × n配列です。n = λ 1 + λ 2 + ... + λ mです。F方陣は、最初の行と最初の列で、 i < jのときs iのすべての出現がs jの出現より前に来る場合、標準形式です。
周波数ベクトル( λ 1 , λ 2 , ..., λ m )を持つ集合 { s 1 , s 2 , ..., s m } に基づく次数nの周波数正方形F 1と、周波数ベクトル ( μ 1 , μ 2 , ..., μ k )を持つ集合{ t 1 , t 2 , ..., t k } に基づく次数nの周波数正方形F 2は、 F 1とF 2を重ね合わせたときにすべての順序対( s i , t j )が正確にλ i μ j回出現する場合、直交します。
( n , k , p , t )-ロトデザインは、 n個の要素からなる集合Vと、 Vのk個の要素からなる部分集合（ブロック）からなる集合βで構成され、Vの任意のp個の部分集合Pに対して、 |P ∩ B| ≥ tとなるブロックBがβ内に存在する。L ( n , k , p , t )は、任意の( n , k , p , t )-ロトデザインにおける最小のブロック数を表す。以下は、最小のブロック数を持つ(7,5,4,3)-ロトデザインである。[ 17 ]
{1,2,3,4,7} {1,2,5,6,7} {3,4,5,6,7}。
ロトのデザインは、次のような方法で行われるあらゆる宝くじをモデル化しています。個人は、 n個の数字のセットからk 個の数字が選ばれたチケットを購入します。ある時点でチケットの販売が停止され、n個の数字からp個の数字がランダムに選択されます。これらが当選番号です。販売されたチケットのいずれかにt 個以上の当選番号が含まれている場合、チケット所有者に賞金が支払われます。一致する番号が多いチケットほど、賞金が高くなります。L( n , k , p , t ) の値は、賞金を確実に得るために購入する必要のある最小のチケット数であるため、ギャンブラーと研究者の両方にとって興味深いものです。
ハンガリーの宝くじは (90,5,5, t ) ロト設計であり、L(90,5,5,2) = 100 であることが知られています。パラメータ (49,6,6, t ) を持つ宝くじも世界中で人気があり、L(49,6,6,2) = 19 であることが知られています。しかし一般的に、これらの数値は計算が難しく、不明のままです。[ 18 ]
( v , k , λ )-メンデルゾーンデザイン、またはMD( v , k , λ )は、v集合Vと、 Vの異なる要素の順序付きkタプルの集合β （ブロックと呼ばれる）であり、Vの要素のx ≠ yである各順序対( x , y )はλ個のブロックで巡回的に隣接している。異なる要素の順序対( x , y )は、ブロック内で(..., x , y ,...)または( y ,..., x )として出現する場合に、ブロック内で巡回的に隣接している。MD( v , 3, λ )はメンデルゾーン三重システムMTS( v , λ )である。V = {0,1,2,3}上のMTS(4,1)の例は次のとおりである。
(0,1,2) (1,0,3) (2,1,3) (0,2,3)
任意の三重体系は、順序付けされていない三重体系 { a , b , c } を順序付けされた三重体系のペア ( a , b , c ) と ( a , c , b )に置き換えることによってメンデルソン三重体系にすることができるが、例が示すように、この命題の逆は真ではない。
( Q ,∗) が冪等半対称準群、すなわち、すべての x , y ∈ Q に対して x ∗ x = x (冪等) かつ x ∗ ( y ∗ x ) = y (半対称)である場合、β = { ( x , y , x ∗ y ) : x , y ∈ Q } とする。このとき、( Q , β )はメンデルゾーン三重系MTS (| Q |,1) となる。この構成は可逆である。[ 19 ]
準3デザインは、各ブロックの3つ組がx点またはy点で交差する対称デザイン（SBIBD）であり、xとyは固定されており、 3つ組の交差数（x < y ）と呼ばれます。λ ≤ 2の対称デザインは、 x = 0、y = 1の準3デザインです。PG（n、q）の点超平面デザインは、x = （q n −2 − 1）/（q − 1）およびy = λ = （q n −1 − 1）/（q − 1）の準3デザインです。準3デザインでy = λの場合、そのデザインはPG（n、q）または射影平面と同型です。[ 20 ]
t - ( v , k , λ ) デザインDは、2 つの異なるブロックがxまたはyのいずれかの点で交差する場合、交点数xとy ( x < y ) を持つ準対称です。これらのデザインは、 λ = 1のデザインの双対の調査で自然に発生します。非対称 ( b > v ) 2-( v , k ,1) デザインは、x = 0 およびy = 1 を持つ準対称です。対称 2-( v , k , λ ) デザインの倍数 (すべてのブロックを一定回数繰り返す)は、 x = λおよびy = kを持つ準対称です。アダマール 3-デザイン (アダマール 2-デザインの拡張) は準対称です。[ 21 ]
r = nかつk = 1の場合、これらはトスカーナ方陣と呼ばれ、 r = nかつk = n − 1の場合、これらはフィレンツェ方陣と呼ばれます。ローマ方陣はトスカーナ方陣であり、ラテン方陣でもあります（これらは行完全ラテン方陣とも呼ばれます）。バチカン方陣はフィレンツェ方陣であり、ラテン方陣でもあります。
