スピノール

幾何学と物理学において、スピノル（「スピナー」IPA / s p ɪ n ər /と発音）は、ユークリッド空間に関連付けることができる複素数ベースのベクトル空間の要素です。^{[b]スピノルは、ユークリッド空間がわずかな（}無限小の）回転を受けると線形変換します。 ^[c]しかし、幾何学的なベクトルやテンソルとは異なり、スピノルは空間が360°回転すると負に変換されます（図を参照）。スピノルが元の状態に戻るには、720°回転する必要があります。 この特性はスピノルの特徴です。つまり、スピノルはベクトルの「平方根」と見なすことができます（ただし、これは不正確であり、誤解を招く可能性があります。ベクトル束のセクションの「平方根」と見なす方が適切です。つまり、余接束の外代数束の場合は、微分形式の「平方根」になります）。

実質的に同様のスピノルの概念をミンコフスキー空間に関連付けることも可能であり、その場合、特殊相対論のローレンツ変換が回転の役割を果たす。スピノルは1913年にエリー・カルタンによって幾何学に導入された。 ^{[1] [d] 1920年代に物理学者は、}電子やその他の亜原子粒子の固有角運動量、つまり「スピン」を記述するためにスピノルが不可欠であることを発見した。^[e]

スピノルは、回転下での特定の動作方法によって特徴付けられます。スピノルは、全体的な最終的な回転だけでなく、その回転がどのように達成されたかの詳細（回転群内の連続パスによって）に応じて、さまざまな方法で変化します。ベルトトリックパズルで示されているように、回転を介して同じ全体的な回転をもたらすパスの位相的に区別可能な2つのクラス（ホモトピークラス）があります。これらの2つの非同値なクラスは、反対の符号のスピノル変換をもたらします。スピングループは、クラスを追跡するすべての回転のグループです。^[f]各回転は、パスのエンドポイントとして2つの非同値な方法で取得できるため、回転グループを二重にカバーします。定義により、スピノルの空間には、スピングループの（複素）線形表現が備わっており、スピングループの要素は、ホモトピークラスに真に依存する方法で、スピノルの空間上で線形変換として機能します。 ^[g]数学的には、スピノルは回転群SO(3)の2つの値の射影表現によって記述されます。

スピノルは、純粋にスピン群（またはその微小回転のリー代数）の表現空間の要素として定義することもできますが、通常はクリフォード代数の線型表現を含むベクトル空間の要素として定義されます。クリフォード代数は、基底に依存しない方法でユークリッド空間とその内積から構築できる結合代数です。スピン群とそのリー代数はどちらも自然な方法でクリフォード代数に埋め込まれており、アプリケーションではクリフォード代数が最も扱いやすい場合がよくあります。^[h]クリフォード空間はスピノル空間上で動作し、スピノル空間の要素はスピノルです。^{[3]ユークリッド空間の}正規直交基底を選択した後、クリフォード代数の表現はガンマ行列によって生成されます。ガンマ行列は、一連の標準的な反交換関係を満たす行列です。スピノルは、これらの行列が作用する列ベクトルです。たとえば、3 次元ユークリッドでは、パウリ スピン行列はガンマ行列の集合であり、^[i]これらの行列が作用する 2 成分の複素列ベクトルはスピノルです。しかし、クリフォード代数の特定の行列表現、つまり「列ベクトル」(またはスピノル) を正確に構成するものは、基底行列とガンマ行列の選択に本質的に関係しています。スピン群の表現として、スピノルを (複素^{[j] ) 列ベクトルとして実現すると、次元が奇数の場合は既}約になり、次元が偶数の場合はいわゆる「半スピン」またはワイル表現のペアに分解されます。^[k]

スピノルの特徴と、スピノルを幾何学的ベクトルや他のテンソルと区別する点は微妙です。システムの座標に回転を適用することを考えてみましょう。システム自体のオブジェクトは移動しておらず、座標のみが移動しているため、システムの任意のオブジェクトに適用すると、それらの座標値には常に補正変化が生じます。たとえば、幾何学的ベクトルには、座標と同じ回転を受けるコンポーネントがあります。より広い意味では、システムに関連付けられたテンソル(たとえば、何らかの媒体の応力) にも、座標系自体の変化を補正するために調整される座標記述があります。

スピノルは、座標の単一の孤立した回転の特性のみに関心がある物理システムの記述のこのレベルでは現れません。むしろ、スピノルは、単一の回転ではなく、座標系が初期構成と最終構成の間で徐々に (連続的に) 回転すると想像するときに現れます。システムに関連付けられているよく知られた直感的な (「テンソル」) 量のいずれについても、変換法則は座標が最終構成にどのように到達したかの正確な詳細には依存しません。一方、スピノルは、座標の段階的な回転がどのようにそこに到達したかに敏感になるように構築されています。つまり、スピノルはパス依存性を示します。座標の任意の最終構成に対して、実際には同じ構成をもたらす座標系の 2 つの (「位相的に」) 等価でない段階的な(連続的な) 回転が存在することがわかります。この曖昧さは、段階的な回転のホモトピー クラスと呼ばれます。ベルトトリック(回転するオブジェクトの両端が外部参照に物理的に繋がれている) は、2 つの異なる回転 (1 つは角度 2 π、もう 1 つは角度 4 π )を示しており、最終的な構成は同じですがクラスが異なります。スピノルは実際に、このホモトピー クラスに完全に依存する符号反転を示します。これが、クラスを感知できないベクトルやその他のテンソルとスピノルを区別するものです。

スピノルは、直交座標の選択を使用して具体的なオブジェクトとして表示できます。たとえば、3 つのユークリッド次元では、 3 つの座標軸(の周りの角運動量) に対応するパウリ スピン行列を選択することでスピノルを構築できます。これらは複素要素を持つ 2×2 行列であり、これらの行列が行列乗算によって作用する 2 成分の複素列ベクトルがスピノルです。この場合、スピン グループは、行列式が1 である 2×2ユニタリ行列のグループと同型であり、これは自然に行列代数内にあります。このグループは、パウリ行列自体が張る実ベクトル空間に共役によって作用し、^[m]それをそれらの間の回転のグループとして実現しますが、^[n]列ベクトル (つまり、スピノル) にも作用します。

より一般的には、クリフォード代数は、標準的なドット積を持つユークリッド空間や標準的なローレンツ計量を持つミンコフスキー空間など、（非退化）二次形式を備えた任意のベクトル空間Vから構築できます。スピノルの空間は、成分を持つ列ベクトルの空間です。直交リー代数（つまり、無限小の「回転」）と二次形式に関連付けられたスピン群は両方とも（標準的に）クリフォード代数に含まれているため、すべてのクリフォード代数表現は、リー代数とスピン群の表現も定義します。^[o]次元と計量シグネチャに応じて、スピノルを列ベクトルとして実現することは、既約である場合もあれば、いわゆる「ハーフスピン」またはワイル表現のペアに分解される場合もあります。^[p]ベクトル空間Vが4次元の場合、代数はガンマ行列によって記述されます。 ${\displaystyle 2^{\lfloor \dim V/2\rfloor }}$

スピノルの空間は、クリフォード代数の基本表現として正式に定義されます。(これは、既約表現に分解される場合とされない場合があります。) スピノルの空間は、直交リー代数のスピン表現として定義することもできます。これらのスピン表現は、線形表現で因数分解されない特殊直交群の有限次元射影表現としても特徴付けられます。同様に、スピノルは、中心が非自明に作用するスピン群の有限次元群表現の 要素です。

スピノルの概念を見るための枠組みは本質的に 2 つあります。表現論的な観点と幾何学的な観点です。

表現論的観点からは、通常のテンソル構成では形成できない直交群のリー代数の表現がいくつかあることが事前にわかっています。これらの失われた表現はスピン表現、その構成要素はスピノルと呼ばれます。この観点から、スピノルは回転群SO( n , )の二重被覆の表現、またはより一般的には、計量シグネチャ( p ,  q )を持つ空間上の一般化特殊直交群SO ⁺ ( p ,  q , )の二重被覆の表現に属している必要があります。これらの二重被覆はリー群であり、スピン群Spin( n )またはSpin( p ,  q )と呼ばれます。スピノルのすべての特性、およびその応用と導出対象は、まずスピン群で明示されます。これらの群の二重被覆の表現は、群自体の二重値の射影表現をもたらします。 (これは、量子ヒルベルト空間内のベクトルに対する特定の回転の作用が符号までしか定義されないことを意味します。) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

要約すると、が または上のベクトル空間であり、が準同型であるデータによって指定された表現が与えられた場合、スピノルはベクトル空間 の要素です。 ${\displaystyle (V,{\text{スピン}}(p,q),\rho )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho :{\text{スピン}}(p,q)\rightarrow {\text{GL}}(V)}$${\displaystyle V}$

幾何学的な観点からは、スピノルを明示的に構築し、関連するリー群の作用下でスピノルがどのように動作するかを調べることができます。この後者のアプローチには、スピノルが何であるかの具体的かつ基本的な説明を提供できるという利点があります。ただし、フィエルツ恒等式などのスピノルの複雑な特性が必要な場合、このような説明は扱いにくくなります。

クリフォード代数^[5]（幾何代数と呼ばれることもある）の言語は、クリフォード代数の分類を通じて、すべてのスピン群のスピン表現とそれらの表現間のさまざまな関係の完全な図を提供します。これにより、アドホックな構成 の必要性が大幅に排除されます。

詳細には、Vを非退化対称双線型形式gを持つ有限次元複素ベクトル空間とします。クリフォード代数Cℓ( V ,  g )は、反交換関係xy + yx = 2 g ( x ,  y )とともにVによって生成される代数です。これは、ガンマ行列またはパウリ行列によって生成される代数の抽象版です。V = の場合、標準形式g ( x ,  y ) = x ^T y = x ₁ y ₁ + ... + x _n y _nで、クリフォード代数を Cℓ _n ( ) と表します。正規直交基底の選択により、非退化形式のすべての複素ベクトル空間はこの標準例と同型であるため、この表記はdim ( V ) = nの場合に、より一般的に乱用されます。n = 2 kが偶数の場合、Cℓ _n ( ) は、 2 ^k  × 2 ^k複素行列の代数Mat(2 ^k ,  )に（一意ではない方法で）代数として同型です（アルティン-ウェダーバーンの定理と、クリフォード代数が中心単純であるという簡単に証明された事実により）。n = 2 k  + 1が奇数の場合、Cℓ _{2 k +1} ( )は、 2 ^k  × 2 ^k複素行列の2つのコピーの代数Mat (2 ^k ,  ) ⊕ Mat(2 ^k ,  )に同型です。 したがって、どちらの場合でも、Cℓ( V ,  g )には、一般に Δ で表され、次元 2 ^{[ n /2]}の 一意の（同型を除いて）既約表現（単純クリフォード加群とも呼ばれる）があります。リー代数so ( V ,  g )はクリフォード代数を備えたCℓ( V ,  g )のリー部分代数として埋め込まれているので${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$_{${\displaystyle \mathbb {C} }$}${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$リー括弧としての交換子と同様に、空間 Δ はso ( V ,  g )のリー代数表現でもあり、スピン表現と呼ばれます。n が奇数の場合、このリー代数表現は既約です。nが偶数の場合、さらに^{[説明が必要]} 2 つの既約表現 Δ = Δ + ⊕ Δ − に分割さ_れ 、_ワイル表現または半スピン表現と呼ばれます。

Vが実ベクトル空間である場合の実数上の既約表現ははるかに複雑であり、詳細については Clifford 代数の記事を参照してください。

スピノルは、通常、複素数上のベクトル空間を形成し、回転群の表現を因数分解しないスピン群の線型群表現を備えています (図を参照)。スピン群は、ホモトピー類を追跡する回転群です。回転群は単連結ではなく、単連結スピン群はその二重被覆であるため、回転群のトポロジに関する基本情報をエンコードするにはスピノルが必要です。したがって、すべての回転に対して、それを表すスピン群の 2 つの要素があります。幾何ベクトルやその他のテンソルは、これら 2 つの要素の違いを感じることはできませんが、表現の下で任意のスピノルに影響を与えるときに反対の符号を生成します。スピン群の要素を1 パラメータの回転族のホモトピー類と考えると、各回転は、恒等関数へのパスの 2 つの異なるホモトピー類によって表されます。回転の 1 パラメータ族が空間内のリボンとして視覚化され、そのリボンの弧長パラメータがパラメータ (その接線、法線、従法線フレームが実際に回転を与える) である場合、これら 2 つの異なるホモトピー類はベルト トリックパズルの 2 つの状態 (上記) で視覚化されます。スピノルの空間は、座標で明示的に構築できる補助的なベクトル空間ですが、最終的には同型性までしか存在せず、座標系などの任意の選択に依存しない「自然な」構築はありません。スピノルの概念は、そのような補助的な数学的対象として、標準的なドット積を持つユークリッド空間やローレンツ計量を持つミンコフスキー空間などの二次形式を備えた任意のベクトル空間に関連付けることができます。後者の場合、「回転」にはローレンツ ブーストが含まれますが、それ以外の理論は実質的に同様です。^{[引用が必要]}

クリフォード代数または表現論の観点から、上記の構成は、スピノルをゼロ次元時空における幾何学的対象として定義するものと考えることができる。ディラックスピノルなどの物理学のスピノルを得るには、構成を拡張して4次元時空（ミンコフスキー空間）上のスピン構造を得る。実質的には、各点がSO(3,1)対称性を持つ4次元ベクトル空間である時空の接多様体から始めて、各点でスピン群を構築する。点の近傍には、滑らかさと微分可能性の概念が備わっている。標準的な構成は、スピン群の下で変換するアフィン空間であるファイバー束の構成である。ファイバー束を構築した後、ディラック方程式やファイバー束上のワイル方程式などの微分方程式を検討することができる。これらの方程式 (ディラックまたはワイル) には、平面波の解があり、ファイバーの特性である対称性、つまり、上記の (0 次元) クリフォード代数/スピン表現理論から得られるスピノルの対称性を持っています。微分方程式のこのような平面波解 (またはその他の解) は、適切にはフェルミオンと呼ばれます。フェルミオンはスピノルの代数的性質を持っています。一般的な慣例により、物理学では「フェルミオン」と「スピノル」という用語は、互いの同義語として互換的に使用されることがよくあります。^{[引用が必要]}

自然界のスピン1/2の基本粒子はすべて、ニュートリノを除いてディラック方程式で記述されるようです。なぜそうなるのか、先験的な理由はないようです。スピノルの完全に有効な選択は、 Cℓ2,2 ( )${\displaystyle \mathbb {R} }$の非複素化バージョン、つまりマヨラナスピノルです。^[6]また、ワイルスピノルが基本粒子として自然界に現れること_に特別な禁止事項はないようです。

ディラック、ワイル、マヨラナスピノルは相互に関連しており、その関係は実幾何代数に基づいて解明することができます。^[7]ディラックとワイルのスピノルは複素表現ですが、マヨラナスピノルは実表現です。

ワイルスピノルは、電子などの質量を持つ粒子を記述するには不十分である。ワイル平面波解は必然的に光速で移動するからである。質量を持つ粒子には、ディラック方程式が必要である。素粒子物理学の標準モデルの初期構築は、電子とニュートリノの両方を質量のないワイルスピノルとして開始する。ヒッグス機構は電子に質量を与える。古典ニュートリノは質量がないままであり、したがってワイルスピノルの例であった。^{[q]しかし、観測された}ニュートリノ振動のため、現在ではそれらはワイルスピノルではなく、おそらくマヨラナスピノルであると考えられている。^[8]ワイルスピノル基本粒子が自然界に存在するかどうかは不明である。

凝縮物質物理学の状況は異なります。半導体からはるかに珍しい物質まで、多種多様な物理的物質で2次元および3次元の「時空」を構築できます。2015年、プリンストン大学の科学者が率いる国際チームは、ワイルフェルミオンとして動作する準粒子を発見したと発表しました。 ^[9]

スピノルの構成の主要な数学的応用の 1 つは、特殊直交群のリー代数の線型表現の明示的な構成を可能にし、その結果として群自体のスピノル表現を可能にすることです。より深いレベルでは、スピノルはアティヤ-シンガーの指数定理へのアプローチの核心であり、特に半単純群の離散級数表現の構成を提供することがわかっています。

特殊直交リー代数のスピン表現は、重みによってワイル構成によって与えられるテンソル表現と区別されます。テンソル表現の重みはリー代数の根の整数線形結合ですが、スピン表現の重みはその半整数線形結合です。明確な詳細はスピン表現の記事で見つけることができます。

スピノルは、簡単に言えば、「その変換が物理空間の回転と特定の方法で関連している空間のベクトル」と説明できます。^[10]別の言い方をすると、

スピノルは、任意の次元数の空間における回転群の線形表現を提供し、各スピノルはまたは の成分を持ちます。^[2]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{\nu}}$${\displaystyle n=2\nu +1}$${\displaystyle 2\nu}$

日常の類推を説明するいくつかの方法が、プレートトリック、タングロイド、およびその他の配向エンタングルメントの例の観点から定式化されてきました。

それにもかかわらず、この概念は、ディラックの伝記作家グレアム・ファーメロが語る マイケル・アティヤの発言からもわかるように、一般的に理解するのが非常に難しいと考えられています。

スピノルを完全に理解している人はいない。スピノルの代数は形式的には理解されているが、その一般的な意味は謎に包まれている。ある意味では、スピノルは幾何学の「平方根」を記述しており、−1 の平方根を理解するのに何世紀もかかったのと同じように、スピノルについても同じことが言えるかもしれない。^[11]

スピノルの最も一般的な数学的形式は、1913年にエリー・カルタンによって発見されました^。[12]「スピノル」という言葉は、ポール・エーレンフェストが量子物理学の研究で作ったものです。^[13]

スピノルは、1927年にヴォルフガング・パウリがスピン行列を発表した際に初めて数理物理学に応用されました。^[14]翌年、ポール・ディラックは、スピノルとローレンツ群の関係を示すことにより、電子スピンの完全な相対論的理論を発見しました。^[15] 1930年代までに、ディラック、ピート・ハイン、およびニールス・ボーア研究所（当時はコペンハーゲン大学理論物理学研究所として知られていました）の他の研究者は、スピノルの微積分を教え、モデル化するために、タングロイドなどのおもちゃを作成しました。

スピノル空間は、1930年にギュスターヴ・ジュベット^[16]とフリッツ・ザウター[ 17]によって行列代数の左イデアルとして表現されました。^[18]より具体的には、パウリが行ったようにスピノルを複素数値2D列ベクトルとして表現する代わりに、左列の要素のみがゼロでない複素数値2×2行列として表現しました。このようにして、スピノル空間はMat(2,  )の極小左イデアルになりました。^{[r] [20]}${\displaystyle \mathbb {C} }$

1947年、マルセル・リースはクリフォード代数の極小左イデアルの要素としてスピノル空間を構築した。1966年/1967年に、デイビッド・ヘステネス^{[21] [22]は}、スピノル空間を時空代数Cℓ _1,3 ( )の偶数部分代数Cℓ ⁰ _1,3 ( )に置き換えた。^{[18] [20] 1980年代の時点で、}デイビッド・ボームとバジル・ハイリーを中心としたバークベック大学の理論物理学グループは、ザウターとリースによる極小左イデアルとのスピノルの同一視に基づいて、量子論への代数的アプローチを開発してきた。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

低次元のスピノルの簡単な例は、クリフォード代数Cℓ _{p ,  q} ( )${\displaystyle \mathbb {R} }$の偶数次数部分代数を考えることで生じる。これは、加算と乗算に関して互いに直交するn = p  +  q個のベクトルの正規直交基底から構築された代数であり、そのうちpはノルム+1、 qはノルム-1を持ち、基底ベクトルの積則は $${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}+1&i=j,\,i\in (1,\ldots ,p)\\-1&i=j,\,i\in (p+1,\ldots ,n)\\-e_{j}e_{i}&i\neq j.\end{cases}}}$$

クリフォード代数 Cℓ _2,0 ( ) は、1 つの単位スカラー 1、2 つの直交単位ベクトルσ ₁およびσ ₂、および 1 つの単位擬似スカラーi = σ ₁ σ ₂の基底から構築されます。上記の定義から、( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = 1、および( σ ₁ σ ₂ )( σ ₁ σ ₂ ) = − σ ₁ σ ₁ σ ₂ σ ₂ = −1 であることが明らかです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

_{Cℓ 2,0 ( ) の偶数次数基底元によって張られる偶数部分代数 Cℓ 0 2,0} ( )は、その^表現_を介してスピノルの空間を決定します。これは、 1 とσ ₁ σ ₂の実線型結合で構成されます。実代数として、Cℓ ⁰ _2,0 ( ) は複素数体と同型です。その結果、共役演算（複素共役に類似）が許容されます。これは、クリフォード元の 逆と呼ばれることもあり、 クリフォード関係によって次のように記述できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$  ${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}.}$$$${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=ab\sigma _{1}\sigma _{2}.}$$

偶クリフォード元γ ∈ Cℓ ⁰ _2,0 ( )${\displaystyle \mathbb {R} }$のベクトルへの作用は、Cℓ _2,0 ( )の 1 次元とみなされ、一般ベクトルu = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂をベクトルに 写像することによって決定されます。 ここで、は の共役であり、積はクリフォード乗算です。この状況では、スピノル^{[s] は}通常の複素数です。スピノルへのの作用は、通常の複素乗算によって与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},}$$${\displaystyle \gamma^{*}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \phi}$$${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi .}$$

この定義の重要な特徴は、通常のベクトルとスピノルの区別であり、偶数次数がそれぞれ異なる方法でどのように作用するかに表れています。一般に、クリフォード関係式を簡単に確認すると、偶数次数が通常のベクトルと共役交換することがわかります。 $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.}$$

一方、スピノルへの作用と比較すると、通常のベクトルへのの作用は、スピノルへの作用の 2 乗として現れます。${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi }$${\displaystyle \gamma}$

たとえば、平面回転に対するこの意味を考えてみましょう。ベクトルを角度θだけ回転することは、 γ ² = exp( θ σ ₁ σ ₂ )に対応するため、スピノルに対する対応する作用はγ = ± exp( θ σ ₁ σ ₂ /2)を介します。一般に、対数分岐のため、一貫した方法で符号を選択​​することは不可能です。したがって、スピノル上の平面回転の表現は 2 値です。

2 次元でのスピノルの応用では、偶数次数の要素の代数 (つまり、複素数の環) がスピノルの空間と同一であるという事実を利用するのが一般的です。したがって、言葉の乱用により、この 2 つはしばしば混同されます。その場合、「スピノルのベクトルへの作用」について話すことができます。一般的な設定では、このような記述は意味がありません。ただし、2 次元および 3 次元 (たとえば、コンピューター グラフィックスに適用する場合) では意味があります。

• 偶数次要素は、σ _1からσ ₂に向かう90° のベクトル回転に対応しており、これは次のことを確認することで確認できます。ただし、これは 45° のスピノル回転にのみ対応します。$${\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• 同様に、偶数次要素γ  = − σ ₁ σ ₂はベクトル回転が 180° に対応するが、スピノル回転は 90° のみである。$${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(-\sigma _{2}\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}}$$$${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_{1}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• さらに進むと、偶数次要素γ  = −1 は360° のベクトル回転に対応しますが、スピノル回転は 180° になります。$${\displaystyle (-1)\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}}$$

クリフォード代数 Cℓ _3,0 ( ) は、1 つの単位スカラー 1、3 つの直交単位ベクトルσ ₁、σ ₂およびσ ₃、3 つの単位バイベクトルσ ₁ σ ₂、σ ₂ σ ₃、σ ₃ σ ₁および擬似スカラーi = σ ₁ σ ₂ σ ₃。( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = ( σ ₃ ) ² = 1、および( σ ₁ σ ₂ ) ² = ( σ ₂ σ ₃ ) ² = ( σ ₃ σ ₁ ) ²であることを示すのは簡単です。 = ( σ ₁ σ ₂ σ ₃ ) ² = −1。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

偶数次要素の部分代数はスカラー拡大 とベクトル回転 から構成され 、 $${\displaystyle u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,}$$$${\displaystyle u'=\gamma u\gamma ^{*},}$$

単位ベクトルv = a ₁ σ ₁  +  a ₂ σ ₂  +  a ₃ σ ₃で定義された軸の周りの角度θのベクトル回転に相当します。

特別な場合として、 v = σ ₃の場合には、前のセクションで考察したσ ₁ σ ₂回転が再現されることが容易にわかります。また、このような回転では、 σ ₃方向のベクトルの係数は不変です。

$${\displaystyle \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.}$$

二元ベクトルσ ₂ σ ₃、σ ₃ σ ₁、σ ₁ σ ₂は、実際には1843年に発見されたハミルトンの 四元数 i、j、kです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}}$$

偶数次数要素を四元数代数と同一視すると、二次元の場合と同様に、偶数次数要素代数の唯一の表現はそれ自身になります。^[t]したがって、三次元の（実数^[u]）スピノルは四元数であり、偶数次数要素のスピノルへの作用は通常の四元数の乗算によって与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$

式 (1) は角度θによるベクトル回転を表すもので、γ に現れる角度は半分になっていることに注意してください。したがって、スピノル回転γ ( ψ ) =  γψ (通常の四元数の乗算) は、スピノルψ を対応するベクトル回転の角度の半分の角度だけ回転させます。もう一度言いますが、ベクトル回転をスピノル回転に持ち上げる問題は 2 値です。つまり、式 (1) でθ /2の代わりに(180° +  θ /2)を使用すると、同じベクトル回転が生成されますが、スピノル回転の負の値になります。

3D での回転のスピノル/クォータニオン表現は、対応するスピン マトリックスの顕著な簡潔さと、それらを掛け合わせて異なる軸の周りの連続的な回転の複合効果を計算する際の単純さから、コンピューター ジオメトリやその他のアプリケーションでますます普及しつつあります。

スピノルの空間は、具体的な構成と抽象的な構成によって明示的に構築できます。これらの構成の同値性は、複素クリフォード代数のスピノル表現の一意性の結果です。次元 3 の完全な例については、「3 次元のスピノル」を参照してください。

ベクトル空間Vと二次形式gが与えられると、クリフォード代数の明示的な行列表現Cℓ( V ,  g )は次のように定義できます。Vieg ( e ^μ e ^ν ) = η μν^の正規直交基底e ¹ ... e ⁿを選択します。ここで、μ ≠ νの場合、 η ^μμ = ±1およびη ^μν = 0です。k = ⌊ n /2⌋とします。γ ^μ γ ^ν + γ ^ν γ ^μ = 2 η ^μν 1となるように2 ^k  × 2 ^kの行列γ ¹ ... γ ⁿのセットを修正します(つまり、ガンマ行列の規則を修正します)。すると、 e ^μ → γ ^μへの割り当ては、クリフォード代数の単項式e ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ e ^{μ _{k を}}積γ ^{μ ₁}に代入することで、代数準同型Cℓ( V ,  g ) → Mat(2 ^k ,  )に一意に拡張される。 ⋅⋅⋅ γ ^{μ _k}の行列を線形に拡張します。ガンマ行列が作用する空間はスピノルの空間になります。ただし、このような行列を明示的に構築する必要があります。次元3では、ガンマ行列をパウリシグマとして定義すると、行列は、非相対論的量子力学で使用されるおなじみの 2 成分スピノルを生成します。同様に、4 × 4ディラックガンマ行列を使用すると、3+1 次元の相対論的量子場理論で使用される 4 成分ディラックスピノルが生成されます。一般に、必要な種類のガンマ行列を定義するには、ワイル・ブラウアー行列を使用することができます。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}}$

この構成では、クリフォード代数Cℓ( V ,  g )、リー代数so ( V ,  g )、およびスピン群Spin( V ,  g )の表現はすべて、正規直交基底の選択とガンマ行列の選択に依存します。これは慣例に関する混乱を引き起こす可能性がありますが、トレースなどの不変量は選択に依存しません。特に、物理的に観測可能なすべての量は、このような選択に依存しません。この構成では、スピノルは 2 ^{k 個}の複素数のベクトルとして表すことができ、スピノルインデックス (通常はα、  β、  γ ) で表されます。物理学の文献では、抽象的なスピノル構成が使用される場合でも、 このようなインデックスがスピノルを表すためによく使用されます。

スピノルを抽象的に定義する方法は少なくとも 2 つあるが、本質的には同等である。1 つのアプローチは、Cℓ ( V ,  g )の自身への左作用の最小イデアルを特定しようとするものである。これらは、左乗法c  : xω → cxωによるCℓ( V ,  g )の明白な作用を許容する、形式Cℓ( V ,  g ) ωのクリフォード代数の部分空間である。このテーマには 2 つのバリエーションがある。クリフォード代数の冪零元である原始元ω を見つけるか、冪等元である原始元 ω を見つけるかのどちらかである。冪等元を介した構成は、冪等元を生成できるという意味でより基本的である。^[23]このようにして、スピノル表現はクリフォード代数自体の特定の部分空間と同一視される。 2 番目のアプローチは、Vの特別な部分空間を使用してベクトル空間を構築し、そのベクトル空間の 外部にクリフォード代数の作用を指定することです。

どちらのアプローチでも、基本的な概念は等方性部分空間 Wです。それぞれの構成は、この部分空間を選択する際の初期の自由度に依存します。物理的に言えば、これは、たとえVの優先基底が与えられていても、スピン空間の基底を指定できる測定プロトコルが存在しないという事実に対応します。

上で述べたように、( V ,  g )を非退化双線型形式を備えた n 次元複素ベクトル空間とします。 V が実ベクトル空間であれば、 V をその複素化 で置き換え、上の誘導双線型形式をg で表します。W を最大等方性部分空間、つまりg | _W = 0となるVの最大部分空間とします。n = 2 kが偶数であれば、 W ′をWの補空間となる等方性部分空間とします。n = 2 k + 1が奇数であれば、 W ′ をW ∩  W ′ = 0 となる最大等方性部分空間とし、U をW ⊕  W  ′の直交補空間とします。 偶数次元と奇数次元の両方において、 WとW ′は次元k を持ちます。${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

W ′ は等方性なので、 Cℓ( V ,  g )内のW ′の要素の乗算は歪んでいる。したがって、W ′ のベクトルは反交換であり、Cℓ( W ′ ,  g | _{W ′} ) = Cℓ( W ′ , 0)は外積Λ ^∗ W ′である。したがって、W ′とそれ自身のk重積W ′ ^kは 1 次元である。ω をW ′ ^kの生成元とする。 W ′の基底w ′ ₁ , ..., w ′ _kに関して、1 つの可能性は次のように設定することである 。$${\displaystyle \omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.}$$

ω ² = 0 (つまり、ω は2次のべき零)であり、さらにすべてのw ′ ∈ W ′に対してw ′ ω = 0 であることに注意してください。次の事実は簡単に証明できます。

1. n = 2 kのとき、左イデアルΔ = Cℓ( V ,  g ) ω は極小左イデアルである。さらに、これは偶クリフォード代数の作用に制限すると、 2つのスピン空間Δ ₊ = Cℓ ^even ωとΔ ₋ = Cℓ ^odd ωに分割される。
2. n = 2 k + 1の場合、左イデアルCℓ( V、  g ) ωへの単位ベクトルuの作用により、空間は、それぞれの固有値 +1 と −1 に対応する、同型の既約固有空間のペア（両方とも Δ で示される）に分解されます。

詳細には、例えばnが偶数であるとします。IはCℓ( V ,  g ) ωに含まれる非ゼロの左イデアルであるとします。I がωの非ゼロのスカラー倍数を含むことを証明することにより、I がCℓ( V ,  g ) ωと等しくなければならないことを示します。

Wの基底w _iとW ′の相補基底w _i ′を固定して、

I ⊂ Cℓ( V ,  g )  ωという仮定により、Iの任意の元はαωの形をとらなければならないことに注意してください。 αω ∈ Iを任意のそのような元とします。 選択された基底を使用して、 次 のように書くことができます。ここで、 a _{i 1 ... i p}はスカラー、B _{j は}クリフォード代数の補助元です。 ここで、 αの展開で、要素w _i : で最大同次次を持つ任意の 非ゼロ単項式aを選ぶと(合計は暗示されません)、積は 、要求どおり ω の非ゼロのスカラー倍になります。$${\displaystyle \alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}}$$$${\displaystyle \alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .}$$$${\displaystyle a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}}$$$${\displaystyle w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega }$$

n が偶数の場合、この計算はベクトル空間としてもそれを示している ことに注意してください 。最後の等式では、再びWが等方性であることを使用しました。物理学の用語で言えば、これは、真空ωに作用するWの反可換生成演算子を使用してスピノルを作成することにより、 Δ がフォック空間のように構築されることを示しています。 $${\displaystyle \Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega }$$

最小理想構成による計算は、等方性部分空間Wの外代数 Λ ^∗ W = ⊕ _j Λ ^j Wを用いてスピノル表現を直接定義できることを示唆している。Δ = Λ ^∗ W はベクトル空間のみで考慮されたWの外代数を表すものとする。これがスピン表現となり、その要素はスピノルと呼ばれる。^{[24] [25]}

クリフォード代数の Δ への作用は、まずVの元の Δ への作用を与え、次にこの作用がクリフォード関係式を尊重し、クリフォード代数の普遍的性質によって完全なクリフォード代数の自己準同型環End(Δ)への準同型に拡張されることを示すことによって定義されます。詳細は、 Vの次元が偶数か奇数かによって若干異なります。

dim( V ) が偶数のとき、V = W ⊕ W ′です。ここで、W ′は選ばれた等方性補集合です。したがって、任意のv ∈ Vは、 w ∈ Wかつw ′ ∈ W ′で、v = w + w ′として一意に分解されます。 vのスピノルへ の作用は、 によって与えられます。 ここで、i ( w ′ ) は、非退化の二次形式を使用してV をV ^∗と同一視したw ′との内積であり、ε ( w ) は外積を表します。この作用は、クリフォード積と呼ばれることもあります。 であることが検証でき 、したがってc はクリフォード関係を尊重し、クリフォード代数から End(Δ) への準同型に拡張されます。 $${\displaystyle c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)}$$$${\displaystyle c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,}$$

^{スピン表現Δはさらにスピン群[26]}の一対の既約複素表現（半スピン表現、またはワイルスピノル）に分解され、 $${\displaystyle \Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.}$$

dim( V ) が奇数のとき、V = W ⊕ U ⊕ W ′ であり、ここでU はWに直交する単位ベクトルuによって張られる。クリフォード作用cは前と同じようにW ⊕ W ′上で定義され、一方u (の倍数) のクリフォード作用は 次のように定義される 。前と同じように、 c はクリフォード関係式を尊重し、準同型写像を誘導することが証明される。 $${\displaystyle c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}}$$