四元数と空間回転

pをqで共役させるとは、演算p ↦ qpq ⁻¹を指します。

軸を中心とした回転fについて考えてみましょう。${\displaystyle {\vec {v}}=\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }$回転角度は120° 、つまり2π / 3ラジアンです。 

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{3}}}$

長さ${\displaystyle {\vec {v}}}$√3の場合、半角はπ / 3 ( 60°) で、 cos 1/2 ( cos 60 ° = 0.5 )とsin √3 / 2 ( sin 60° ≈ 0.866 ) となります。したがって、これは単位四元数による共役です。

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\cdot {\frac {1}{\|{\vec {v}}\|}}{\vec {v}}\\&=\cos {\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }{\sqrt {3}}}\\&={\frac {1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }{2}}\end{aligned}}}$

fが回転関数である場合、

${\displaystyle f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )=u(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )u^{-1}}$

単位四元数の逆元は、その虚数成分の符号を変えるだけで得られることが証明できる。したがって、

${\displaystyle u^{-1}={\dfrac {1-\mathbf {i} -\mathbf {j} -\mathbf {k} }{2}}}$

そして

${\displaystyle f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )={\dfrac {1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }{2}}(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} ){\dfrac {1-\mathbf {i} -\mathbf {j} -\mathbf {k} }{2}}}$

これは、四元数演算の通常の規則を使用して、次のように簡略化できます。

${\displaystyle f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )=c\mathbf {i} +a\mathbf {j} +b\mathbf {k} }$

予想通り、この回転は立方体を一点に固定したまま、その固定点を通る長い対角線を中心に120°回転させることに相当します（3つの軸が周期的に入れ替わっていることに注目してください）。

四元数回転${\displaystyle \mathbf {p'} =\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}}$（と${\displaystyle \mathbf {q} =q_{r}+q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} }$）は代数的に操作して行列回転に変換できる${\displaystyle \mathbf {p'} =\mathbf {Rp} }$、 どこ${\displaystyle \mathbf {R} }$回転行列は次のように与えられます: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \mathbf {R} ={\begin{bmatrix}1-2s(q_{j}^{2}+q_{k}^{2})&2s(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r})&2s(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r})\\2s(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r})&1-2s(q_{i}^{2}+q_{k}^{2})&2s(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r})\\2s(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r})&2s(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r})&1-2s(q_{i}^{2}+q_{j}^{2})\end{bmatrix}}}$

ここ${\displaystyle s=\|q\|^{-2}}$qが単位四元数である場合、${\displaystyle s=1^{-2}=1}$。

これは、ベクトル解析と線形代数を用いて表現すれば得られる。${\displaystyle \mathbf {p} }$そして${\displaystyle \mathbf {q} }$スカラー部分とベクトル部分として扱い、式中の乗算演算の公式を使用します。${\displaystyle \mathbf {p'} =\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}}$.もし私たちが書くならば${\displaystyle \mathbf {p} }$として${\displaystyle \left(0,\ \mathbf {p} \right)}$、${\displaystyle \mathbf {p} '}$として${\displaystyle \left(0,\ \mathbf {p} '\right)}$そして${\displaystyle \mathbf {q} }$として${\displaystyle \left(q_{r},\ \mathbf {v} \right)}$、 どこ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(q_{i},q_{j},q_{k}\right)}$すると、方程式は次のようになります。${\displaystyle \left(0,\ \mathbf {p} '\right)=\left(q_{r},\ \mathbf {v} \right)\left(0,\ \mathbf {p} \right)s\left(q_{r},\ -\mathbf {v} \right)}$スカラー部分とベクトル部分として表現される2つの四元数の乗算式を使用することにより、

${\displaystyle \left(r_{1},\ {\vec {v}}_{1}\right)\left(r_{2},\ {\vec {v}}_{2}\right)=\left(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\ r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}\right),}$

この方程式は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}(0,\ \mathbf {p} ')=&((q_{r},\ \mathbf {v} )(0,\ \mathbf {p} ))s(q_{r},\ -\mathbf {v} )\\=&(q_{r}0-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} ,\ q_{r}\mathbf {p} +0\mathbf {v} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )s(q_{r},\ -\mathbf {v} )\\=&s(-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} ,\ q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )(q_{r},\ -\mathbf {v} )\\=&s(-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} q_{r}-(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )\cdot (-\mathbf {v} ),\ (-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )(-\mathbf {v} )+q_{r}(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )+(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )\times (-\mathbf {v} ))\\=&s\left(-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} q_{r}+q_{r}\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} ,\ \mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)+q_{r}^{2}\mathbf {p} +q_{r}\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\mathbf {v} \times \left(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} \right)\right)\\=&\left(0,\ s\left(\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +q_{r}^{2}\mathbf {I} +2q_{r}[\mathbf {v} ]_{\times }+[\mathbf {v} ]_{\times }^{2}\right)\mathbf {p} \right),\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \otimes }$は外積を表します。${\displaystyle \mathbf {I} }$は単位行列であり、${\displaystyle [\mathbf {v} ]_{\times }}$は、ベクトルと右から乗算される変換行列です。${\displaystyle \mathbf {u} }$外積を与える${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {u} }$。

以来${\displaystyle \mathbf {p} '=\mathbf {R} \mathbf {p} }$特定することができます${\displaystyle \mathbf {R} }$として${\displaystyle s\left(\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +q_{r}^{2}\mathbf {I} +2q_{r}[\mathbf {v} ]_{\times }+[\mathbf {v} ]_{\times }^{2}\right)}$展開すると、上記の行列形式で表された式が得られるはずです。

その表現${\displaystyle \mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}}$任意のベクトル四元数を回転させる${\displaystyle \mathbf {p} }$ベクトルで与えられる軸を中心に${\displaystyle \mathbf {a} }$角度によって${\displaystyle \theta }$、 どこ${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \theta }$四元数に依存する${\displaystyle \mathbf {q} =q_{r}+q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} }$。

${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \theta }$以下の式から求めることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{x},a_{y},a_{z})={}&{\frac {(q_{i},q_{j},q_{k})}{\sqrt {q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}}}}\\[2pt]\theta =2\operatorname {atan2} &\left({\sqrt {q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}}},\,q_{r}\right),\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \operatorname {atan2} }$は2引数アークタンジェントです。${\displaystyle \theta =2\operatorname {acos} (q_{r})}$機能するが、数値的に不安定（不正確）である。${\displaystyle q_{r}=\pm 1}$有限精度を持つ数値の場合。

四元数がスカラーに近づく場合は、縮退のため恒等回転の軸が明確に定義されないため、注意が必要です。

2 つの回転R _BとR _Aの合成の四元数定式化の利点は、合成回転R _C = R _B R _Aの回転軸と角度を直接得ることができることです。

空間回転Rに関連付けられた四元数は、回転軸Sと回転角から構成されるものとする。${\displaystyle \varphi }$この軸の周り。関連する四元数は次のように与えられる。 $${\displaystyle S=\cos {\frac {\varphi }{2}}+\mathbf {S} \sin {\frac {\varphi }{2}}.}$$ すると、回転R _BとR _Aの合成は、回転R _C = R _B R _Aとなり、回転軸と角度は四元数の積によって定義されます。 $${\displaystyle A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\quad {\text{and}}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}},}$$ それは $${\displaystyle C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {\gamma }{2}}=\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}}\right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right).}$$

この製品を展開して入手する $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {\gamma }{2}}=\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)+\left(\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \times \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right).}$$

この等式の両辺を恒等式（球面上の余弦定理）で割ります。 $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}},}$$ 計算 $${\displaystyle \mathbf {C} \tan {\frac {\gamma }{2}}={\frac {\mathbf {B} \tan {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {A} \tan {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {B} \times \mathbf {A} \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}}}.}$$

これは、2 つの回転の軸によって定義される複合回転の軸に関するロドリゲスの回転公式です。彼は 1840 年にこの公式を導き出しました (408 ページを参照)。 ^{[ 11 ]}

3 つの回転軸A、B、Cは球面三角形を形成し、この三角形の辺によって形成される平面間の二面角は回転角によって定義されます。ハミルトン^{[ 12 ]}はこれらの方程式の成分形式を示し、四元数積が 2 つの与えられた頂点とそれらに関連付けられた弧長から球面三角形の 3 番目の頂点を計算することを示しました。これはまた、楕円幾何学における点の代数を定義します。

回転が数値最適化によって推定される場合、回転四元数p' = q p q ^{−1は回転四元数}qに関して微分する必要があります。回転角の推定は、3D オブジェクト登録またはカメラキャリブレーションにおいて不可欠な手順です。単位qと純虚数p 、つまり 3D 空間での回転の場合、回転四元数の導関数は行列計算表記を使用して次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial \mathbf {q} }}\equiv \left[{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{0}}},{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{x}}},{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{y}}},{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{z}}}\right]=\left[\mathbf {qp} -(\mathbf {qp} )^{*},(\mathbf {qpi} )^{*}-\mathbf {qpi} ,(\mathbf {qpj} )^{*}-\mathbf {qpj} ,(\mathbf {qpk} )^{*}-\mathbf {qpk} \right].\end{aligned}}}$

導出は^{[ 13 ]に記載されている。}

複素数は、通常の代数規則を満たし、さらに規則i ² = −1 を満たす抽象記号iを導入することによって定義できます。これは、複素数演算のすべての規則を再現するのに十分です。例えば、次のようになります。

${\displaystyle (a+b\mathbf {i} )(c+d\mathbf {i} )=ac+ad\mathbf {i} +b\mathbf {i} c+b\mathbf {i} d\mathbf {i} =ac+ad\mathbf {i} +bc\mathbf {i} +bd\mathbf {i} ^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)\mathbf {i} .}$

同様に、四元数は、i² = j² = k² ⁼ i j k = ⁻¹という規則と、乗法の交換法則を除く通常の代数規則を満たす抽象記号i、j、kを^導入することによって定義できます（このような非交換乗法のよく知られた例は行列乗法です）。これから、四元数基底要素の乗法規則など、四元数演算のすべての規則が導き出されます。これらの規則を用いると、次のことが示せます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} )(e+f\mathbf {i} +g\mathbf {j} +h\mathbf {k} )=\\&(ae-bf-cg-dh)+(af+be+ch-dg)\mathbf {i} +(ag-bh+ce+df)\mathbf {j} +(ah+bg-cf+de)\mathbf {k} .\end{aligned}}}$

想像上の部分${\displaystyle b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} }$四元数のベクトルはベクトルのように振る舞う${\displaystyle {\vec {v}}=(b,c,d)}$3次元ベクトル空間では、実部a はRのスカラーのように振る舞います。幾何学で四元数を使用する場合、スカラーとベクトルの和として定義する方が便利です。

${\displaystyle a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =a+{\vec {v}}.}$

数値とベクトルは性質が大きく異なるため、数値をベクトルに加えることや、2つのベクトルを掛け合わせることは通常定義されない演算であるため、奇妙に感じる人もいるかもしれません。しかし、それが四元数の実部と虚部を表す単なる表記法であることを思い出せば、より妥当なものとなります。言い換えれば、正しい考え方は、ベクトル/虚部がゼロの四元数と、スカラー/実部がゼロの四元数を足し合わせるということです。

${\displaystyle q_{1}=s+{\vec {v}}=\left(s,{\vec {0}}\right)+\left(0,{\vec {v}}\right).}$

四元数の乗算は、ベクトル外積と内積の現代的な言語で表現できます（これらはそもそも四元数に触発されたものです^{[ 14 ]} ）。ベクトル/虚数部分を乗算する場合、規則i ² = j ² = k ² = ijk = −1の代わりに、四元数の乗算規則があります。

${\displaystyle {\vec {v}}{\vec {w}}=-{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}+{\vec {v}}\times {\vec {w}},}$

どこ：

• ${\displaystyle {\vec {v}}{\vec {w}}}$結果として得られる四元数は、
• ${\displaystyle {\vec {v}}\times {\vec {w}}}$ベクトル外積（ベクトル）
• ${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}}$ベクトルスカラー積（スカラー）です。

四元数の乗算は非可換である（反可換である外積のため）が、スカラー-スカラー乗算とスカラー-ベクトル乗算は可換である。これらの規則から、次のことが直ちに導かれる（ 「四元数」§  「四元数と三次元幾何学」を参照）。

${\displaystyle q_{1}q_{2}=\left(s+{\vec {v}}\right)\left(t+{\vec {w}}\right)=\left(st-{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\right)+\left(s{\vec {w}}+t{\vec {v}}+{\vec {v}}\times {\vec {w}}\right).}$

非ゼロ四元数の（左および右）乗法逆数または逆数は、共役対ノルム比によって与えられます（詳細は参照）。

${\displaystyle q_{1}^{-1}=\left(s+{\vec {v}}\right)^{-1}={\frac {\left(s+{\vec {v}}\right)^{*}}{\lVert s+{\vec {v}}\rVert ^{2}}}={\frac {s-{\vec {v}}}{s^{2}+\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}}},}$

これは直接計算によって検証できる（複素数の乗法逆数との類似性に注目）。

させて${\displaystyle {\vec {u}}}$を単位ベクトル（回転軸）とし、${\displaystyle q=\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}}$私たちの目標は、

${\displaystyle {\vec {v}}'=q{\vec {v}}q^{-1}=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\,{\vec {v}}\,\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)}$

ベクトルを生成する${\displaystyle {\vec {v}}}$角度だけ回転${\displaystyle \alpha }$軸の周り${\displaystyle {\vec {u}}}$拡張して（そして、${\displaystyle {\vec {u}}{\vec {v}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}$）、 我々は持っています

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}'&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\left({\vec {u}}{\vec {v}}-{\vec {v}}{\vec {u}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\vec {u}}{\vec {v}}{\vec {u}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\right){\vec {u}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right){\vec {u}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {u}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left(\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\times {\vec {u}}-\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\cdot {\vec {u}}\right)-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {u}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left({\vec {v}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {u}}\right)-0-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {u}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left({\vec {v}}-2{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\left(2{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)-{\vec {v}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]\end{aligned}}}$

もし私たちが許せば${\displaystyle {\vec {v}}_{\bot }}$そして${\displaystyle {\vec {v}}_{\|}}$の構成要素に等しい${\displaystyle {\vec {v}}}$垂直かつ平行${\displaystyle {\vec {u}}}$それぞれ、そして${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{\bot }+{\vec {v}}_{\|}}$そして${\displaystyle {\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)={\vec {v}}_{\|}}$結果として

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}'&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\left(2{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)-{\vec {v}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&=\left({\vec {v}}_{\|}+{\vec {v}}_{\bot }\right)\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\left({\vec {v}}_{\|}-{\vec {v}}_{\bot }\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}_{\|}\left(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)+{\vec {v}}_{\bot }\left(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

三角関数のピタゴラスの定理と倍角の定理を用いると、次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}'&={\vec {v}}_{\|}\left(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)+{\vec {v}}_{\bot }\left(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)\\[6pt]&={\vec {v}}_{\|}+\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin \alpha +{\vec {v}}_{\bot }\cos \alpha \end{aligned}}}$

これは回転の公式です${\displaystyle \alpha }$u →軸の周り。

四元数の乗算は非可換である。この事実は、定義によりq q ⁻¹ = 1であるにもかかわらず、 p ↦ q p q ⁻¹という式がそもそも成り立つ理由を説明する。単位四元数の乗算は三次元回転の合成に対応するため、三次元回転は一般に可換ではないことを示すことで、この性質を直感的に理解することができる。

右の図は、サイコロを使ってこれを説明しています。右手を使って、90 度の回転を2回行います。どちらのサイコロも、最初は左上の図のように配置されています（上面に1つの点があります）。パスAは、-y軸を中心とした回転（右手の法則を使用）から始まり、続いて+ z軸を中心とした回転が行われ、左下の図のような配置になります（上面に5つの点があります）。パスBは回転の順序を逆にして、上面に3つの点ができます。

あるいは、2冊の本を並べて置きます。一方の本をz 軸を中心に時計回りに90度回転させ、次にx軸を中心に180度回転させます。もう一方の本を、まずx軸を中心に180度回転させ、次にz軸を中心に時計回りに90度回転させます。2冊の本は平行になりません。これは、一般に、2つの異なる空間軸を中心とした2つの異なる回転の合成は可換ではないことを示しています。 

軸角表現を定義するために使用されるベクトル外積は、空間に方向（「左右対称性」）を与えます。3次元ベクトル空間では、方程式a × b = cの 3 つのベクトルは常に右手系（または外積の定義方法によっては左手系）を形成し、ベクトル空間の方向を固定します。あるいは、方向への依存性は、次のような参照によって表現されます。${\displaystyle {\vec {u}}}$これは、軸ベクトルに関する回転を指定します。四元数形式では、空間の向きの選択は乗算の順序に対応します。つまり、 ij = kですが、ji = − kです。向きを反転すると、上記の式はp ↦ q ⁻¹ p qとなり、つまり、単位qが共役四元数に置き換えられます。これは軸ベクトルと同じ挙動です。

以下の表は、アプリケーションをクォータニオン規約のいずれかに準拠しているかどうかで分類したものです。^{[ 16 ]}

どちらの規約を使用しても、作成されたアプリケーションの機能や正確性には影響しませんが、^{[ 16 ]}の著者らは、シュスター規約はハミルトンによるはるかに古い四元数乗算規約から逸脱しており、数学や理論物理学の分野では決して採用されない可能性があるため、放棄すべきだと主張しました。

回転を四元数（4つの数値）で表現する方が、直交行列（9つの数値）で表現するよりも簡潔です。さらに、与えられた軸と角度から対応する四元数を容易に構築でき、逆に、与えられた四元数から軸と角度を容易に読み取ることができます。これらは、行列やオイラー角でははるかに困難です。

ビデオゲームやその他のアプリケーションでは、「滑らかな回転」が求められることがよくあります。これは、シーンが一度に回転するのではなく、ゆっくりと回転することを意味します。これは、四元数における球面線形補間などの曲線を選択することで実現できます。この曲線の一方の端点は恒等変換1（またはその他の初期回転）であり、もう一方の端点は目的とする最終回転です。回転の他の表現方法では、この問題はより複雑になります。

コンピュータ上で複数の回転演算を行う場合、丸め誤差は必然的に蓄積されます。わずかにずれた四元数は、正規化後も回転を表しますが、わずかにずれた行列は直交性を失ってしまう可能性があり、適切な直交行列に戻すのが難しくなります。

四元数は、例えばピッチ／ヨー／ロール回転システムにおいて、ピッチが90°上下に回転するとヨーとロールが同じ動きに対応し、回転の自由度が失われるという、ジンバルロックと呼ばれる現象も回避します。例えば、ジンバルベースの航空宇宙慣性航法システムでは、航空機が急降下または急上昇している場合、これは致命的な結果を招く可能性があります。