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| 600セル | |
|---|---|
 シュレーゲル図、頂点中心 （頂点と辺） | |
| タイプ | 凸正則4次元多面体 |
| シュレーフリ記号 | {3,3,5} |
| コクセター図 |     |
| 細胞 | 600 （{3,3}） |
| 顔 | 1200 {3} |
| エッジ | 720 |
| 頂点 | 120 |
| 頂点図形 |  二十面体 |
| ペトリー多角形 | 30角形 |
| コクセターグループ | H 4 , [3,3,5], 順序14400 |
| デュアル | 120セル |
| プロパティ | 凸面、等角面、等投影面、等面体面 |
| 均一インデックス | 35 |
幾何学において、600セルは、シュレーフリ記号{3,3,5}を持つ凸正4次元多面体（プラトン立体の4次元類似体）である。C 600、ヘキサコシコローン[1]、ヘキサコシヘドロイド[2]としても知られている。四面体セルに囲まれているため、テトラプレックス（「テトラヘドラル複合体」の略）やポリテトラヘドロン とも呼ばれる。
600 セルの境界は、各頂点で 20 個の四面体セルが交わる 600 個の四面体 セルで構成されています。これらを合わせると、1200 個の三角形の面、720 個の辺、120 個の頂点が形成されます。これは、 20面体の4次元類似体です。20 面体が各頂点で5 個の三角形が交わるのと同様に、600 セルは各辺で 5 個の四面体が交わります。その双対多面体は120 セルです。
幾何学
600 セルは、6 つの凸正多面体の 5 番目です (同じ半径で複雑さとサイズの順)。[a]これは、直前の24 セル の 25 個の重なり合うインスタンスに分解できます。[5] 24 セルは、その直前の 4 次元立方体(8 セル)の 3 つの重なり合うインスタンスに分解でき、8 セルは、その直前の16 セルの 2 つのインスタンスに分解できます。[6]
逆の手順で前者のインスタンスから各インスタンスを構築すると、前者の半径は維持されますが、一般的にはより短い辺の長さの後続のインスタンスが生成されます。24セルの辺の長さはその半径に等しくなりますが、600セルの辺の長さはその半径の約0.618倍であり、[7]これが黄金比です。
座標
単位半径直交座標
4次元空間の原点を中心とし、長さの辺を持つ単位半径 600 セルの頂点1/φ ≈ 0.618 (ただし φ = 1 + √ 5/2 ≈ 1.618は黄金比）は次のように表すことができます[8]。
8つの頂点は
- (0, 0, 0, ±1)
座標を並べ替えると、次の形式の 16 個の頂点が得られます。
- （± 1/2、± 1/2、± 1/2、± 1/2 )
残り の96頂点は、
- （± φ/2、± 1/2、± φ −1/2、0)
最初の 8 個は16 セルの頂点であり、次の 16 個は4 次元立方体の頂点であり、これら 24 個の頂点を合わせると24 セルの頂点となることに注意してください。残りの 96 個の頂点はスナブ 24 セルの頂点であり、これは別の 24 セル (最初のセルの双対) の 96 辺をそれぞれ黄金比で一貫した方法で分割することで見つけることができます。[9]
四元数として解釈すると、[b]これらは単位イコシアンになります。
24 セルには、大円 (4 つまたは 6 つの頂点を通る中心平面) 上に位置する正方形、六角形、三角形があります。 [c] 600 セルには、25 の重なり合う内接 24 セルがあり、各頂点と正方形は 5 つの 24 セルで共有され、各六角形または三角形は 2 つの 24 セルで共有されます。[e] 各 24 セルには 3 つの分離した 16 セルがあるため、600 セルには 75 の重なり合う内接 16 セルがあります。[f]各 16 セルは、座標参照フレーム の選択に対する個別の正規直交基底を構成します。
600セルの60本の軸と75個の16セルは幾何学的構成を構成し、構成の言語では60 5 75 4と書かれ、各軸が5つの16セルに属し、各16セルに4つの軸が含まれていることを示します。[10] 各軸は正確に15本の他の軸と直交しており、これらはそれが存在する5つの16セル内のその軸の仲間です。
ホップ球座標
600セルには、大円五角形と十角形（10個の頂点を通る中心平面）も存在します。[11]
600 セルの目に見える要素は、十角形の辺だけです (600 セルの辺であるため)。その他の大円多角形の辺は、600 セルの内部弦であり、この記事の 600 セルのレンダリングには表示されません (破線で示されている場合を除く)。[k]
対称性により、各頂点を通過する各種類の多角形は同数であるため、120 個の頂点すべてを、1 種類のみの中心多角形 (十角形、六角形、五角形、正方形、または三角形) の集合の交点として説明することができます。たとえば、120 個の頂点は、頂点を共有しない15 組の完全に直交する正方形の頂点、またはすべての軸のペアが直交する 100組の非直交六角形の双対、または各頂点で 6 個が交差する 144 個の非直交五角形として見ることができます。600 セルのこの後者の五角形対称性は、ホップ座標[13] (𝜉 i、𝜂、𝜉 j ) [n]の集合によって表され、次のように与えられます。
- （{<10} 𝜋/5、{≤5} 𝜋/10、{<10} 𝜋/5 )
ここで、{<10} は 10 桁の数字の順列 (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) であり、{≤5} は 6 桁の数字の順列 (0 1 2 3 4 5) です。𝜉 i座標と𝜉 j座標は、大円十角形の 10 頂点にまたがります。偶数と奇数の数字は、各十角形に内接する 2 つの大円五角形の頂点を表します。[o]
構造
多面体断面
頂点間の距離は、外接超球面上の弧の度数で測定すると、36° = の値のみを持ちます。𝜋/5、60° = 𝜋/3、72° = 2𝜋/5、90° = 𝜋/2、108° = 3𝜋/5、120° = 2𝜋/3、144° = 4𝜋/5、180° = 𝜋である。任意の頂点Vから出発して、36°と144°にイコサヘドロン の12頂点、 [ p] 60°と120°にドデカヘドロンの20頂点、72°と108°にもっと大きなイコサヘドロン の12頂点、90°にイコシドデカヘドロンの30頂点、そして最後に180°にVの反対側の頂点がある。[14] [15] [16] これらは、重なり合う頂点が色付けされたH3コクセター平面投影で見ることができる。[17]
これらの多面体断面は、 3 次元という意味で立体ですが、もちろんその頂点はすべて 600 セルの表面上にあります (中空であり、立体ではありません)。各多面体は、600 セル (超平面) を通る平行断面としてユークリッド 4 次元空間内にあります。600 セルの境界面エンベロープの湾曲した 3 次元空間では、多面体は頂点 V を、自身の中心を囲むのと同じように囲みます。しかし、その中心は 600 セルの内部にあり、表面上にはありません。V は実際には多面体の中心ではありません。4 次元の超平面から 600 セルの表面に向かって外側にずれているからです。したがって、V は多面体に基づく 4 角錐の頂点です。
黄金のコード
120の頂点は互いに8つの異なる弦の長さで分布しています[18]。600セルのこれらの辺と弦は、単に5つの大円多角形の辺と弦です。 [19] 長さの昇順で、√ 0.𝚫、√ 1、√ 1.𝚫、√ 2、√ 2.𝚽、√ 3、√ 3.𝚽、√ 4です。[s]
24 セルの4 つの超三次弦( √ 1、√ 2、√ 3、√ 4 ) [c] が、600 セルの追加の大円である 10 角形と 5 角形の 4 つの新しい弦と交互になっていることに注目してください。新しい黄金弦の長さは必然的に分数の平方根になりますが、図に示すように、√ 5の2 つの黄金分割を含む黄金比[q]に関連する非常に特殊な分数です。 [r]
境界封筒
600セルは、24セルの既存の24頂点の間に96の頂点を追加することで24セルを完成させます。 [u]実質的に、600セルに内接する24セルが24個追加されます。[f]このようにして形成された新しい表面は、より小さく、より多数のセル[v]と面 のモザイク状になります。辺の長さがの四面体です。1/φ ≈ 0.618 辺の長さが 1 の八面体の代わりになります。これは24 セルの√ 1辺を囲み、 √ 2弦や√ 3弦のように 600 セル内の目に見えない内部弦になります。
四面体は八面体よりも短い三角形の辺で構成されているため（1/φ、逆黄金比）、600 セルは、24 セルや四次元立方体のように単位半径座標系で単位辺の長さを持ちません。つまり、これら 2 つとは異なり、600 セルは放射状に正三角形ではありません。これら 2 つと同様に、600 セルは特別な方法で放射状に三角形になっていますが、[z]正三角形ではなく黄金三角形が中心で交わる方法です。[aa] この特性を持つ均一多面体は、4 次元の 600 セル、3 次元の20-12 面体、および 2 次元の10 角形など、ごくわずかです。(20-12 面体は 600 セルの赤道断面であり、10 角形は 20-12 面体の赤道断面です。) 放射状に黄金の多面体は、その半径で黄金三角形から構築できる多面体です。
600 個の小さな四面体セルの境界エンベロープが、24 個の八面体セルの 25 個のエンベロープを包みます (これらの湾曲した 3 次元エンベロープの間に 4 次元空間を追加します)。これらの隙間の形状は、何らかの八面体 4 角錐である必要がありますが、600 個のセルでは規則的ではありません。[ab]
測地線
600セルの頂点弦は、十角形、六角形、五角形、正方形、三角形の5種類の測地 線大円多角形に配置されています。 [22]
√ 0.𝚫 = 𝚽 の辺は 72 個の平らな正十角形を形成し、そのうち 6 個は各頂点で交差します。[p]二十六面体が 6個の中央十角形 (60 辺 = 6 × 10) に分割できるの と同様に、600 セルは 72 個の十角形 (720 辺 = 72 × 10) に分割できます。720 個の√ 0.𝚫辺は、表面を 1200 個の三角形の面と 600 個の四面体セル、つまり 600 セルに分割します。720 個の辺は、√ 3.𝚽離れた 360 個の平行なペアで発生します。十角形や二十六面体と同様に、辺は多面体の中心で交わる黄金三角形で発生します。 72個の大十角形は、交差しない12個のクリフォード平行測地線6組に分割することができ、[af]各組の1つの十角形大円のみが各頂点を通過し、各組の12個の十角形は120個の頂点すべてに到達します。[24]
√ 1弦は 200 個の中心六角形 (16 個が 25 セット、各六角形が 2 セット) を形成し、[d]そのうち 10 個が各頂点で交差します[ag] (頂点で交わる 5 つの 24 セルのそれぞれから 4 つずつで、各六角形はそれらの 24 セルのうち 2 つに存在します)。[i] 16 個の六角形の各セットは、25 個の 重なり合う内接 24 セルの 1 つの 96 辺と 24 頂点で構成されます。√ 1弦は、2 つの√ 0.𝚫辺離れた頂点を結合します。各√ 1弦は、面で結合された 2 つの四面体セル (三角錐)の長径であり、共有面の中心を通ります。面が 1200 個あるので、√ 1 の弦は 1200 個あり、√ 3離れた 600 の平行ペアになります。六角形の平面は非直交 (60 度離れている) ですが、1 つの六角形の 3 つの軸すべてがその双対の 3 つの軸すべてに直交する100 の双対として発生します。 [25] 200 個の大六角形は、交差しない 20 個のクリフォード平行測地線の 10 セットに分割でき、各セットの 1 つの六角形大円だけが各頂点を通過し、各セットの 20 個の六角形は 120 個の頂点すべてに到達します。[26]
√ 1.𝚫弦は 144 個の中心五角形を形成し、そのうち 6 個は各頂点で交差します。[k] √ 1.𝚫弦は、 72 個の十角形と同じ平面で頂点から頂点ごとに走ります。つまり、2 つの五角形が各十角形に内接します。√ 1.𝚫弦は、測地線大円上で 2 つの√ 0.𝚫辺離れた頂点を結合します。720 個の√ 1.𝚫弦は、 √ 2.𝚽 = φ 離れた360 個の平行なペアで発生します。
√ 2弦は 450 の中心正方形を形成し、そのうち 15 個は各頂点で交差します (頂点で交わる 5 つの 24 セルのそれぞれから 3 個ずつ)。√ 2弦は、 3 つの√ 0.𝚫辺 (および 2 つの √ 1 弦) 離れた頂点を結びます。√ 2弦は600 本あり、 300の平行ペアがあり、√ 2離れています。450 個の大正方形 (225 の完全に直交するペア) は、30 個の交差しないクリフォード平行測地線の 15 セットに分割でき、各セットの正方形大円は 1 つだけ各頂点を通過し、各セットの 30 個の正方形 (15 の完全に直交するペア) は 120 個の頂点すべてに到達します。[27]
√ 2.𝚽 = φ 弦は、 720 個の中央二等辺三角形 (各十角形に内接する 10 個ずつの 72 セット) の脚を形成し、各頂点で 6 つが交差します。各二等辺三角形の 3 番目の辺 (底辺) の長さは√ 3.𝚽です。√ 2.𝚽弦は、72 個の十角形と同じ平面で頂点から 3 番目の頂点まで走り、測地線大円上で√ 0.𝚫辺 3 つ離れた頂点を結びます。√ 2.𝚽弦は 720 個あり、360 組の平行ペアで√ 1.𝚫離れています。
√ 3弦は 400 個の正三角形 (32 個が 25 セット、各三角形が 2 セット) を形成し、そのうち 10 個が各頂点で交差します (5 つの 24 セルのそれぞれから 4 個、各三角形が 2 つの 24 セルにあります)。32 個の三角形の各セットは、96 個の√ 3弦と、25 個の重なり合う内接 24 セルの 1 つの 24 個の頂点で構成されます。√ 3弦は、200 個の六角形と同じ平面で頂点から頂点まで走ります。つまり、各六角形には 2 つの三角形が内接します。√ 3弦は、4 つの√ 0.𝚫辺離れた頂点(測地線の大円では2 つの√ 1弦離れた頂点) を結合します。各√ 3弦は、同じ 24 セル内の 2 つの立方体セルの長径です。[ah] √ 3弦 は 1200 本あり、√ 1間隔で 600 組の平行ペアになっています。
√ 3.𝚽弦（五角形の対角線）は、720 個の中央二等辺三角形（各五角形に 5 組ずつ 144 組が内接）の脚を形成し、各頂点で 6 組が交差しています。各二等辺三角形の 3 番目の辺（底辺）は、長さ √ 1.𝚫 の五角形の辺であるため、これらは黄金三角形です。√ 3.𝚽弦は、72 個の十角形と同じ平面で頂点から 4 番目の頂点まで走り、測地線上の 4 つの√ 0.𝚫辺離れた頂点を結びます。√ 3.𝚽弦は720 本あり、360 組の平行ペアで√ 0.𝚫離れています。
√ 4弦は、60 の長径 (4 つの直交軸の 75 セットで、各セットは16 セルで構成されます)、600 セルの 120 の長半径として発生します。√ 4弦は、測地線の大円上で5 つの√ 0.𝚫辺離れた反対の頂点を結合します。12 の直径の 25 の異なるが重なり合うセットがあり、それぞれが 25 の内接する 24 セルの 1 つを構成します。 [j] 4 つの直交直径の 75 の異なるが重なり合うセットがあり、それぞれが 75 の内接する 16 セルの 1 つを構成します。
600 セルのこれらすべての異なる弦の長さの二乗の合計[ai]は、14,400 = 120 2です。[aj] これらはすべて頂点を通る中心多角形ですが、600 セルには、どの頂点も通らない注目すべき大円が 1 つあります (0 角形)。[an] さらに、4 次元空間には、中心平面にまったく存在しない 3 次元球面上の測地線があります。2 つの 600 セル頂点間の測地線の最短経路は、単純な円形ではなく螺旋状です。これらは、単純な回転ではなく、等傾斜 (対角) 回転に対応します。[ao]
上に列挙した測地多角形はすべて、それぞれ回転角度によって特徴付けられる3種類の中心平面上にあります。十角形平面（𝜋/5離れている）、六角形の平面（𝜋/3離れている（25の内接する24セルにも）、正方形の平面（𝜋/2離れている。また、75 の内接する 16 セルと 24 セルにも離れている。600 セルのこれらの中心平面は、それぞれが202 面体を形成する 4 つの直交中心超平面 (3 次元空間) に分割できる。90 度離れた 450 個の大正方形、60 度離れた 200 個の大六角形、36 度離れた 72 個の大十角形がある。[at] 各大正方形平面は、別の大正方形平面と完全に直交している。各大六角形平面は、2 つの頂点 (1 つの長径が√ 4 ) のみと交差する平面、すなわち大二角形平面と完全に直交している。[au]各大十角形平面は、頂点と交差しない 平面、すなわち大 0 角形平面と完全に直交している。[al]
大円多角形の繊維化
相似な大円多角形（正方形、六角形、十角形）の各セットは、交差しないクリフォード平行大円（30 個の正方形、20 個の六角形、または 12 個の十角形）の束に分割できます。[af]クリフォード平行大円の 各ファイバー束[ap]は、600 セルを満たす離散ホップファイバーであり、120 個の頂点すべてを 1 回だけ訪れます。 [32]各離散ホップファイバーには、ファイバーのマップまたはスケールモデルとして機能する個別の多面体である3 次元ベースがあります。 [av] 各束の大円多角形は互いに螺旋状になっており、面結合セルの螺旋リングを描きます。このリングは互いに入れ子になり、どのセルでも交差することなく互いを通過し、600 セルをそれぞれの分離したセルセットで正確に満たします。異なる繊維束とその細胞リングはそれぞれ同じ空間（600細胞）を埋めているが、その繊維は異なる「方向」でクリフォード平行に走っている。異なる繊維構造の大円多角形はクリフォード平行ではない。[33]
十角形
.svg/500px-Regular_star_figure_6(5,2).svg.png)
600 セルのファイバには、72 の大十角形の 6 つのファイバが含まれます。12 の大十角形の 6 つのファイバ束です。[ae]各束の 12 個のクリフォード平行十角形は完全に分離しています。隣接する平行十角形は、他の大十角形の辺によって張られています。
各繊維束[aq]は、それぞれ 30 個の四面体セルからなる 20 個のらせんリングを描き[ad] 、各十角形の周りに 5 つのリングが入れ子になっている。[34]この繊維のホップ写像は二十面体であり、12 個の頂点のそれぞれが大きな十角形に、20 個の三角形の面のそれぞれが 30 個のセルのリングに持ち上げられる。[av] 各四面体セルは、6 つの繊維のそれぞれにおいて 20 個のセルリングのうちの 1 つのみを占める。四面体セルは、6 つの辺のそれぞれを別の繊維の十角形に寄与するが、その辺を繊維の 5 つの異なるセルリングに寄与する。[ac]
600細胞は、6つの特徴的なホップファイバの12の大円と30細胞リングで構成され、30 2 12 5と表記される30の「点」と12の「線」の幾何学的構成となる。これは、600細胞とn次元の完全な正多面体を発見したスイスの数学者ルートヴィヒ・シュレーフリ[36]にちなんで、シュレーフリの二重6構成と呼ばれている。[37]
六角形
24 セルのファイバには、 16の大六角形の 4 つのファイバ、つまり 4 つの大六角形の 4 つのファイバ束が含まれます。各ファイバ束の 4 つのクリフォード平行六角形は完全に分離しています。隣接する平行六角形は、他の大六角形の辺によって張られています。各ファイバ束は、それぞれ 6 つの八面体セルの 4 つのらせんリングを描き、各六角形の周囲に 3 つのリングがネストされています。各八面体セルは、4 つのファイバのそれぞれで 1 つのセル リングのみを占めます。八面体セルは、各ファイバの 3 つの異なるクリフォード平行六角形に 12 の辺のうち 3 つを提供しますが、各辺はファイバの 3 つの異なるセル リングに提供します。
600 セルには 25 の 24 セルが含まれており、5 つの互いに素な 24 セルの複合体として (10 通りの方法で) 見ることができます。[k] この 200 の大六角形には 10 のファイバ化があり、20 の大六角形の 10 のファイバ束があります。各束の 20 のクリフォード平行六角形は完全に互いに素です。隣接する平行六角形は、大十角形の辺で覆われています。[ar]各ファイバ束は、それぞれ 6 つの八面体セルの 20 のらせんリングを描き、各六角形の周囲に 3 つのリングが入れ子になっています。このファイバ化のホップ マップは十二面体で、20 の頂点がそれぞれ大六角形の束に持ち上がります。[26] 各八面体セルは、10の繊維のそれぞれにおける20の6八面体リングのうちの1つのみを占める。20の6八面体リングは、それぞれ4つの6八面体リングからなる5つの互いに交わらない24セルに属し、600セルの各六角形繊維は5つの互いに交わらない24セルから構成される。
正方形
16 セルのファイバ化には、 6つの大正方形の 3 つのファイバ化、つまり 2 つの大正方形の 3 つのファイバ束が含まれます。各束の 2 つのクリフォード平行正方形は完全に分離しています。隣接する平行正方形は、他の大正方形の辺によって張られています。各ファイバ束は、それぞれ 8 つの四面体セルの 2 つのらせんリングを描きます。各四面体セルは、3 つのファイバ化のそれぞれで 1 つのセル リングのみを占めます。四面体セルは、6 つの辺のそれぞれを異なる正方形に提供します (3 つのファイバ化のそれぞれに、交差しない 2 つの反対の辺を提供します) が、ファイバ化内の 2 つの異なるセル リングの両方に各辺を提供します。
600 セルには 75 個の 16 セルが含まれており、15 個の互いに素な 16 セルの複合体として (10 通りの方法で) 見ることができます。450 個の大正方形には 15 のファイバ分割があり、30 個の大正方形のファイバ束が 15 個あります。各束の 30 個のクリフォード平行正方形は完全に互いに素です。隣接する平行正方形は、大十角形の辺で張られています。[as]各ファイバ束は、それぞれ 8 個の四面体セルの 30 個のセル互いに素ならせんリングを描きます。[ax] このファイバ分割のホップ マップは、20 面体 12 面体で、30 個の頂点がそれぞれ大正方形の束に持ち上げられます。[27] 各四面体セルは、15 個のファイバ分割のそれぞれで、30 個の 8 四面体リングのうち 1 つだけを占めます。
クリフォード平行セルリング
密集したらせん状のセルリング[38] [39] [32]のファイブレーションはセル同士が互いに素であるが、頂点、辺、面を共有している。600セルの各ファイブレーションは、隣接するセルリングの対応する面が互いに面結合した密集したセルリングと見ることができる。[ba] 同じファイブレーションは、完全に素なセルリングが少数あり、それらが全く接触していない最小限の疎な配置と見ることもできる。[g]
大十角形のファイブレーションは、各十角形で交わる5つのセルリングのうち1つを除いて他のすべてを省略することで、面結合した20個のセルリングとしてではなく、空間を隔てた4つの完全に互いに素な30セルリングとして（5つの異なる方法で）見ることができる。[40] これを実現する5つの異なる方法は、5つすべてが同じ離散ファイブレーションに対応するという点で同等である（6つの十角形ファイブレーションが同等であるのと同じ意味で、6つすべてが同じ600セルをカバーする）。4つのセルリングは依然として完全なファイブレーションを構成しており、それらには120頂点すべてを訪れる12のクリフォード平行十角形がすべて含まれる。[bb] この 4 つのセルリングのサブセットは、12 つの 72 十角形のうちの 12 つのサブセットと次元的に類似しています[bc]。どちらも、120 個の頂点すべてを訪れる完全に互いに素なクリフォード平行多面体の集合です。 [bd] 4 つのセルリングのサブセットは、 12 つの 72 十角形のうちの 12 つのファイブレーション内の5 つのファイブレーションの 1 つ、つまりファイブレーションのファイブレーションです。すべてのファイブレーションは、サブファイブレーションを持つこの 2 レベル構造を持ちます。
24 セルの大六角形のファイブレーションは、各六角形で交わる 3 つのセル リングのうち 1 つを除くすべてのセル リングを省略することで、面結合した 4 つのセル リングとしてではなく、空間を隔てた 2 つの完全に互いに素な 6 セル リングとして (3 つの異なる方法で) 見ることができます。したがって、600 セルの大六角形の 10 個のファイブレーションはそれぞれ、2 つの完全に互いに素な 8 面体セル リングとして見ることができます。
16 セルの大正方形の繊維は、各正方形で交わる 2 つのセル リングのうち 1 つを省略することで、2 つの面結合セル リングとしてではなく、隣接するセル リング サイズの空きスペースを持つ 1 つの 8 四面体セル リングとして (2 つの異なる方法で) 見ることができます。したがって、600 セルの大正方形の 15 の繊維はそれぞれ、1 つの四面体セル リングとして見ることができます。[ax]
600 セルのファイバの疎な構造は、600 セル、24 セル、または16 セルの低対称性分解に対応し、セルは異なる色で表され、セル リングとセル間の空間を区別します。[be] 600 セルの特定の低対称性形式は、大 10 角形ファイバの疎な構造に対応し、20 面体のスナブ テトラヘドロン形式 (2 次元球面上のこれらのファイバのベース [av] ) と次元的に類似しています。20個のBoerdijk - Coxeterセル リング[ad]のそれぞれは、20 面体の対応する面から持ち上げられます。[bh]
建設
600セルは、5セル、120セル、および多角形{7}以上を除く、最初の4次元のすべての凸正多面体の幾何学を組み込んでいます。[44] したがって、600セルを構築または分解する方法は数多くありますが、どれも簡単ではありません。通常の前身である24セルから600セルを構築することは、視覚化するのが難しい場合があります。
ゴセットの建設
ソロルド・ゴセットは、96 頂点のスナブ 24 セルを含む半正則 4 次元多面体を発見しました。これは、同じ半径でサイズと複雑さが増す一連の凸 4 次元多面体の中で、24 セルと 600 セルの間に位置しています。ゴセットは、スナブ 24 セルを中間形式として使用して、24 セルから 600 セルを 2 段階で構築しました。最初のより複雑な手順 (別の場所で説明) では、24 セルのエッジの黄金分割で特別なスナブ切断を行うことで、スナブ 24 セルを構築します。 [9] 2 番目の手順では、スナブ 24 セルの面に 4 次元ピラミッド (頂点) を追加することで、600 セルを簡単に構築します。[45]
スナブ 24 セルは、24 個の頂点 (および各頂点の周りの 20 個の四面体セルのクラスター) が切り取られた縮小された 600 セルであり、[u]削除された各 20 面体ピラミッドの代わりに「平坦な」20 面体セルが残ります。[p] したがって、スナブ 24 セルには 24 個の 20 面体セルと残りの 120 個の四面体セルがあります。ゴセットの 600 セル構築の 2 番目のステップは、この縮小の逆です。つまり、20 個の四面体セルの 20 面体ピラミッドが各 20 面体セル上に配置されます。
ゴセット法によって単位半径 24 セルから単位半径 600 セルを構築するには、実際には3 つのステップが必要です。スナブ 24 セルの前駆体である 24 セルの半径は同じではありません。スナブ 24 セルは切り詰められたものであるため、より大きくなります。単位半径 24 セルから始めて、最初のステップは、その中球の周りを往復させて、外側の標準双対、つまりより大きな 24 セルを構築することです。24 セルは自己双対であるためです。このより大きな 24 セルは、単位半径のスナブ 24 セルに切り詰めることができます。
細胞クラスター
ゴセットの構築は非常に間接的であるため、600 個の四面体セルが湾曲した 3 次元表面エンベロープにどのように収まるか、[v]または 24 個のセルの八面体セルの下にある表面エンベロープにどのように配置されるかを直接視覚化するのにはあまり役立ちません。そのためには、四面体セルのクラスターから 600 個のセルを直接構築すると便利です。
我々のほとんどは、4次元空間で600個の細胞を外側から視覚化したり、4次元空間での感覚経験が全くないために、600個の細胞の外側の景色を認識したりするのが難しい。 [46]しかし、600個の細胞の表面エンベロープを内側から視覚化することはできるはずだ。なぜなら、その体積は、我々が実際に「歩き回って」探索できる3次元空間だからだ。[47]細胞クラスターから600個の細胞を構築するこれらの演習では、奇妙に小さい、閉じた曲面空間 ではあるが、完全に3次元空間の中にいる。その空間では、どの方向にも直線でわずか10辺の長さだけ移動して出発点に戻ることができる。
二十面体
600 セルの頂点図形は20 面体です。[p] 20 個の四面体セルが各頂点で出会い、頂点を頂点とし、その周囲を底辺の 20 面体で囲んだ20 面体ピラミッドを形成します。600 セルの二面角はです。𝜋/3 + アークコサイン(− 1/4）≈ 164.4775°。 [49]
600 個のセル全体は、このような 24 個の 20 面体ピラミッド (20 面のうち 8 面 (図では黄色) で面同士が接合) と、24 個の 5 面体セルのクラスター (4 個のセルが 1 つの周囲で面接合) から構成され、20 面体の間に残っている隙間を埋めます。各 20 面体は、2 つの青い面によって隣接する 5 個のセルのクラスターと面接合されています。これらの面は 1 つの辺を共有しています (この辺は、5 つの面のうち中央の 4 面体の 6 辺のうちの 1 つでもあります)。各 20 面体は 6 つの 5 セルのクラスターで囲まれ、6 つの 20 面体が 5 個のセルのクラスターで囲まれています。5 つの四面体セルが各 20 面体の辺を囲んでいます。2 つは 2 つが 20 面体ピラミッドの内側から、3 つは外側から来ています。[bl]
24 個の 20 面体ピラミッドの頂点は、600 個のセルに内接する 24 個のセルの頂点です。他の 96 個の頂点 (20 面体の頂点) は、内接する24 個のセルの頂点です。この 24 個のセルは、ここで説明した 20 面体と 4 面体とまったく同じ構造を持ちますが、20 面体は 4 面体セルで満たされた 4 個のピラミッドではなく、中央の頂点がないため、単に「平坦な」 3 次元 20 面体セルです。
二十面体ピラミッドの頂点を繋ぐ 24 セルの辺は、黄色の面の中心を通ります。8 つの黄色の面と 12 の青い面で二十面体を着色するには、5 つの異なる方法があります。[bm] したがって、各二十面体ピラミッドの頂点は、5 つの異なる 24 セルの頂点であり、[i] 120 の頂点は 25 (5 ではない) の 24 セルで構成されます。[f]
二十面体は、その反対の黄色い面によって測地線「直線」に面結合され、4 次元で 6 つの二十面体ピラミッドのリングに曲げられています。その頂点は、大円六角形の頂点です。この六角測地線は、12 の四面体セルのリングを横切り、交互に面同士および頂点同士で結合しています。面結合された四面体の各ペア (各三角形の双錐体) の長径は、六角形の辺 (24 セルの辺) です。各頂点で交差する 6 つの二十面体ピラミッドのリングが 4 つあり、 24 セル (六角形の繊維) には6 つの八面体のセルが互いに分離して 4 つのリングが連結しています。[bq]
四面体セルは面結合して三重らせんを形成し、4 次元方向に 30 個の四面体セルのリングに曲がっています。[ad] 3 つのらせんは 10 辺の測地線「直線」で、互いにクリフォード平行[af]に走る大円十角形です。6 辺を持つ各四面体は 6 つの異なる十角形[ac]に関与し、それによって 600 セルの 6 つの十角形繊維すべてに関与しています。
600 セルを 20 セルのクラスターと 5 セルのクラスターに分割するのは不自然なことです。すべてのセルは同じだからです。任意の頂点を中心とする 20 面体ピラミッド クラスターを選択することから始めることができます。したがって、600 セルには 120 個の重なり合う 20 面体があります。[bj] 120 個の頂点はそれぞれ 5 つの 24 頂点 24 セルの頂点であるため、5*120/24 = 25 個の重なり合う 24 セルがあります。[k]
八面体
600セル表面を25個の四面体セルの24個のクラスターに分割する別の便利な方法があり、これによりより多くの構造が明らかになり[55]、600セルをその前身である24セルから直接構築することができます。
5 つのセルのクラスター (上記) のいずれかから開始し、その中心セルを、新しいより大きな四面体セルのクラスターの中心オブジェクトと見なします。中心セルは、セルで始まる 600 セルの最初のセクションです。それをより多くの四面体セルで囲むことで、セルで始まるより深いセクションに到達できます。
まず、 5 つのセルのクラスターは、面が結合した四面体 (三角形の双錐体) の重なり合った 4 組で構成され、その長径は長さ√ 1の 24 セルの辺 (六角形の辺) であることに注意してください。さらに 6 つの三角形の双錐体が 5 つのクラスターの表面の凹部に収まるため、[br] 、 4 つの頂点を接続する外部弦も長さ√ 1の 24 セルの辺になります。これらは辺の長さ√ 1の四面体を形成し、これはセルで始まる 600 セルの 2 番目のセクションです。[bs] 600 セルには、 これらの√ 1四面体セクション が 600 個あります。
6 つの三角形の二面体が凹部に収まると、元のクラスターの 5 つのセルと 8 つの頂点に加えて、12 の新しいセルと 6 つの新しい頂点ができます。6 つの新しい頂点は、明らかに 24 セルのセルである、辺の長さが√ 1 の八面体であるセルで始まる、600 セルの 3 番目のセクションを形成します。 [bt] これまで部分的に埋められているように (17 個の四面体セルによって)、この√ 1八面体には、短い三角錐が収まる凹面があります。これは、正四面体セルと同じ体積ですが、不規則な四面体形状です。[bu] 各八面体は 1 + 4 + 12 + 8 = 25 個の四面体セルを囲みます。17 個の正四面体セルと、それぞれが 3 つの隣接する八面体セルにまたがる 6 つの異なる正四面体セルから 6 分の 1 の断片 6 つで構成される、体積的に等しい 8 個の四面体セルです。[bv]
このように、単位半径600セルは、その前身である単位半径24セル[ab]から直接構築することができ、その八面体のファセットのそれぞれに、（上記の方法で）辺の長さがの25個の正四面体セルから構築された14頂点[bx]の切頂[bw]不規則八面体ピラミッドを配置することによって構築できます。1/φ ≈ 0.618。
2つのトーラスの結合
600セルの表面を四面体セルのクラスターに分割する別の便利な方法があり、これにより、600セルのより多くの構造[56]と10角形繊維が明らかになります。600セル全体を、5つの20面体ピラミッドの2つのリングの周りに組み立てることができ、頂点から頂点まで2つの測地線「直線」に結合されます。
120セルは2つの互いに素なトーラスに分解できる。600セルの双対であるため、600セルにもこの同じ双対トーラス構造が存在するが、やや複雑である。120セルの10セル測地線パスは、600セルの10頂点の十角形パスに対応する。[57]
まず、共通の辺の周りに 5 つの四面体を組み立てます。この構造は、角張った「空飛ぶ円盤」に似ています。これを頂点同士を「パンケーキ」のように重ねて 10 個にします。各「空飛ぶ円盤」の間の環状リングを 10 個の四面体で埋めて、二十面体を形成します。これは、5 つの頂点が積み重なった二十面体ピラミッドと見ることができ、5 つの余分な環状リングの隙間も埋められています。[bz]表面は、10 個の五角形反柱を 積み重ねたものと同じです。つまり、五角形の断面を持つ三角形の面を持つ柱です。 [58] 柱状のリングに曲げると、150 個のセル、10 辺の長さ、100 個の露出した三角形の面、[ca] 150 個の露出した辺、および 50 個の露出した頂点で構成されるトーラスになります。露出した面ごとに別の四面体を積み重ねます。これにより、50 個の隆起頂点、50 個の谷頂点、および 100 個の谷辺を持つ、250 個のセルからなるやや凹凸のあるトーラスが得られます。[cb] 谷は 10 辺の長さの閉じたパスであり、前述の 10 頂点の 10 角形パスの他のインスタンスに対応します (大円 10 角形)。これらの 10 角形は、中心コア 10 角形の周りを螺旋状に回りますが、[cc]数学的にはすべて同等です (すべて中心平面にあります)。
最初のトーラスと連結する 250 セルの 2 番目の同一のトーラスを構築します。これは 500 セルになります。これらの 2 つのトーラスは、谷の頂点が隆起した頂点に接するように結合し、100 個の四面体の空隙が残り、谷の端で結合する残りの 100 個の四面体で埋められます。この 100 個の四面体セットは、デュオシリンダーの境界上にあり、クリフォード トーラスを形成します。[cd] これらは、正方形の 10×10 配列に「展開」できます。ちなみに、この構造は、四面体八面体ハニカムに 1 つの四面体層を形成します。両側に 250 セルのトーラスと結合する「卵の箱」のような凹部とピークが 50 個あります。[by] この場合、ハニカムのように八面体ではなく、各凹部に2 つの四面体で構成される三角形の両錐体が適合します。
この600セルの分解は対称性[[10,2 + ,10]]、次数400を持ち、大反プリズムと同じ対称性を持つ。[59] 大反プリズムは600セルから上部の2つの150セルのトーラスを取り除いたもので、300四面体の中間層だけが残り、20面体から上面5つと下面5つを取り除いた10面ベルト（五角形反プリズム）と次元的に類似している[bc]。[ce]
2 つの 150 セルのトーラスにはそれぞれ 6 つのクリフォード平行大十角形 (1 つの周りに 5 つ) が含まれており、2 つのトーラスは互いにクリフォード平行であるため、600 セルの半分だけをセルで埋めているにもかかわらず、これらを合わせると 120 頂点すべてに達する 12 の十角形の完全なファイバリングが構成されます。
ボルダイク・コクセターらせん環
600セルは、30セルの20のセル分離した絡み合ったリングに分割することもできます。[34]各リングの長さは10辺で、600セル全体を満たす個別のホップファイバを形成します。 [60] [61] 30面結合四面体の各リングは、4次元でリングに曲げられた 円筒形のBoerdijk-Coxeterらせん です。
30セルリングは、互いに隣接する3つのシアン色のクリフォード平行大十角形の30個の頂点によって占められる3次元空間であり、36° = 𝜋/5 = すべての頂点ペアで 600 セルの辺の長さ 1 つ分離れています。[cg] これらの頂点ペアを結合する 30 本のマゼンタ色の辺は、らせん状の三角錐、つまり 30 個の辺が結合した三角形の面からなる斜めの 30 グラムの螺旋を形成し、これが600 セルのペトリー多角形です。[cf] 30 セル リングの双対 (セルの中心を接続して作成された斜めの 30 角形) は、 120 セルのペトリー多角形、つまり 600 セルの双対多面体です。[aw] 30 セル リングの中心軸は、30 面の中心を通るがどの頂点とも交差しない 30 角形の大測地線です。[an]
15 個のオレンジ色のエッジと 15 個の黄色のエッジは、別々の 15 グラムのらせんを形成します。各オレンジまたは黄色のエッジは、2 つのシアン色の大十角形の間を横切ります。これらの 15 グラムのらせんの連続するオレンジまたは黄色のエッジは、同じ大円上にはなく、36° 傾斜した異なる中心面にあります = 𝝅/5互いに接続されています。[at] 各 15 グラムらせんは、等傾斜線のエッジ パス、つまり等傾斜回転の測地線パスとして注目に値します。 [ao] 等傾斜線は、 15 グラムの2 つおきの頂点と交差し、中間の頂点は通過しない円曲線です。1 つの等傾斜線が、オレンジ (または黄色) の 15 グラムの周囲を 2 回、他のすべての頂点を通過し、最初のループで頂点の半分に到達し、2 番目のループで残りの半分に到達します。2 つの接続されたループは、1 つのメビウスのループ、つまり斜めの {15/2}十五芒星を形成します。十五芒星はこれらの図には示されていません (ただし、以下を参照)。これは、その辺が 2 つのオレンジ (または 2 つの黄色) の辺離れた頂点間の目に見えない弦であるためであり、これらの図には弦が示されていないためです。 30 セル リングの 30 頂点は 1 つの 30 角形の中心平面上には存在しませんが、[cg]これらの目に見えない 15 角形の等傾斜線は、通常の測地線大円のように 2 次元平面上に存在するのではなく、4 次元すべてにわたって曲がりくねった特殊な測地線です。[ch]
これらの 30 セルのヘリックス5 つが一緒にネストし、10 頂点の 10 角形の経路のそれぞれを螺旋状に回り、上記の大反プリズム分解で説明した 150 セルのトーラスを形成します。[59] したがって、すべての大 10 角形は、150 セルのトーラスの中心コア 10 角形です。[ci] 600 セルは、20 個の 30 セル リング、または 2 つの 150 セル トーラスと 10 個の 30 セル リングに分解できますが、この種の 4 つの 150 セル トーラスには分解できません。[cj] 600 セルは、異なる種類の 4 つの 150 セル トーラスに分解できます。 [40]
放射状の黄金三角形
600 セルは、4 次元多面体の中心で交わる辺の長さが√ 0.𝚫 √ 1 √ 1の黄金三角形 720 個から放射状に構成できます。各黄金三角形は 2 つの√ 1 の半径と√ 0.𝚫 の辺を持ちます。これらは、中心に頂点を持つ 1200 個の三角錐を形成します。これらは、正√ 0.𝚫底辺 (600 セルの面) を持つ不規則な四面体です。これらは、中心に頂点を持つ 600 個の四面体ピラミッドを形成します。これらは、正√ 0.𝚫四面体底辺を持つ不規則な 5 次元セルです (600 セルのセル)。
特徴的なオルソスキーム
あらゆる正4次元多面体は、その特性4次元直交図、すなわち不規則な5次元セルを持つ。[x]正600次元セルの特性5次元セルは
、コクセター・ディンキン図で表される。 は、鏡面間の二面角のリストとして読むことができます。これは、正四面体の特性四面体に基づく不規則四面体ピラミッドです。正六面体は、対称超平面によって、その中心ですべて出会う特性五面体の 14400 個のインスタンスに分割されます。[ay]
特性 5 セル (4-正方格子) には、その基本特性四面体 (3-正方格子) よりも 4 つの辺が多く、底辺の 4 つの頂点を頂点 (4-正方格子の 5 番目の頂点、正 600 セルの中心) に結び付けています。[cl]正 600 セルの半径が単位、辺の長さが である場合、その特性 5 セルの 10 辺の長さは、直角三角形の外部面の周りで 、 、 (特性角 𝟀、𝝉、𝟁 と反対側の辺) 、 [ ck]に加えて、、(特性四面体の外部 3-正方格子面の他の 3 辺で、正四面体の特性半径)、さらに、、、(600 セルの特性半径の辺) となります。オルソスキームの直交エッジに沿った 4 エッジ パスは、、、、であり、最初に 600 セルの頂点から 600 セルのエッジ中心まで進み、次に 90° 回転して 600 セルの面中心まで進み、次に 90° 回転して 600 セルの四面体セル中心まで進み、最後に 90° 回転して 600 セル中心まで進みます。
反射
600 セルは、その特徴的な 5 セルを自身の面（四面体の鏡面壁）に反射させることによって構築できます。[cm]反射と回転は関連しています。偶数個の交差する鏡面 における反射は回転です。[67] [68] たとえば、600 セルを十角形の不変平面で完全に等傾斜回転させる場合、120 頂点のそれぞれが15 頂点を通過して自分自身に戻り、3 次元球面の周りを巻く円周 5𝝅 の歪んだ五十四角形の2測地線等傾斜上で回転します。各大十角形は（車輪のように）回転し、完全に直交する平面で（コインを投げるように）横に傾きます。[cn]任意の 4 つの直交する対蹠頂点の組 (75 個の内接する 16 セルの 1 つにある 8 つの頂点) [bb] がこのような軌道を実行すると、15 * 8 = 120 個の異なる頂点を訪れ、 1 回の等傾斜回転で600 セルを順次生成します。これは、任意の単一の特徴的な 5 セルが自身の鏡の壁に自分自身を映し出すと、反射によって 120 個の頂点が同時に生成されるのと同じです。[bo]
ワイル軌道
もう一つの構築方法は、四元数と120次のワイル群軌道の二十面体対称性を使用する。 [70]以下はワイル群W(D4)の下でのD4の重みの軌道である。
- O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}
- O(1000) : V1
- O(0010) : V2
- O(0001) : V3
が、およびの共役である四元数の場合、コクセター群は、 600 セルと120 セルの14400 次対称群です。
![{\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2020e8f2ccdbd85dea0af38e6a0127d5446e42)
![{\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a23b7f4033871816e91c387a44cf392cac24bd)
![{\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13545fc184e7fc37a87f7446d0b9e70bc07cf3b7)
および を内での の交換として与えると、次を構築できます。
回転
正則凸4次元多面体は、その基礎となる対称性の表現であり、SO(4)、すなわち4次元ユークリッド空間内の固定点の周りの回転群[71]として知られています。 [cx]
600セルは、24セルを36°等傾斜回転[ao]させることによって生成されます = 𝜋/5 (600セルの1辺の長さの円弧)。[da]
24セル25個
600セルには25個の内接する24セルがあります。[11] [co] したがって、25個の内接するスナブ24セル、75個の内接するテッセラクト、75個の内接する16セルもあります。[f]
8頂点16セルには90°傾斜した4つの長径があります = 𝜋/2互いに直交し、多くの場合、座標系の 4 つの直交軸または基底として解釈されます。
24頂点24セルには60°傾斜した12の長径があります = 𝜋/3互いに: 4つの直交軸の3つの互いに交わらないセット。各セットは3つの内接する16セルの直径で構成され、等傾斜回転します。𝜋/3お互いに敬意を持って。[db]
120頂点の600セルには60の長径がある。これは、単に5つの互いに交わらない12の直径のセット（それぞれが5つの内接する24セルの1つを構成する）ではなく、25の互いに交わらない12の直径のセット（それぞれが25の内接する24セルの1つを構成する）である。[76] 600セルには5つの互いに交わらない24セルがあるが、5つだけではない。600 セルを5つの互いに交わらない24セルに分割する方法は10通りある。[j]
24 セルに内接する 16 セルと 8 セルと同様に、600 セルに内接する 25 個の 24 セルは相互に等傾斜多面体です。内接する 24 セル間の回転距離は常に𝜋/5各不変回転面において。[cy]
5つの24セルはクリフォード平行なので互いに素である。対応する頂点は𝜋/5 2つの交差しないクリフォード平行線[af]十角形大円（および𝜋/5同じ十角形大円上で離れている）。[ae] による十角形平面の等傾斜回転𝜋/5 は、各24セルを互いに素な24セルに変換します（による六角形平面の等傾斜回転と同様に）。𝜋/3 は各 16 セルを互いに素な 16 セルに移動します。[dc] 各等傾斜回転は 2 つのカイラル形式で発生します。各 24 セルの左側には 4 つの互いに素な 24 セルがあり、右側にも別の 4 つの互いに素な 24 セルがあります。[de] 左回転と右回転は異なる 24 セルに到達します。したがって、各 24 セルは 5 つの互いに素な 24 セルの 2 つの異なるセットに属します。
すべてのクリフォード平行多面体は等傾斜だが、すべての等傾斜多面体がクリフォード平行（完全に分離したオブジェクト）であるわけではない。[df] 各 24 セルは8 つの他のセルと等傾斜かつクリフォード平行であり、16 のセルとは等傾斜だがクリフォード平行ではない。 [d] 16 のセルのそれぞれと 6 つの頂点（六角形の中心平面）を共有している。[i] 分離していない 24 セルは、による単純な回転によって関連付けられている。𝜋/5 600セルの2つの頂点のみと交差する不変平面において、[au]完全に直交する固定面が共通の六角形の中心面となる回転。また、両平面が回転する等傾斜回転によっても関連している。𝜋/5 . [dh]
2種類あります。𝜋/5等傾斜回転は、各24セルを別の24セルに移動する。[dc] 互いに素な24セルは、𝜋/5 12 個のクリフォード平行十角形不変平面の全体の繊維の等傾斜回転。（このような繊維のセットは 6 つあり、各セットで右または左の等傾斜回転が可能なため、このような異なる回転は 12 個あります。）[de] 非分離24 セルは、 によって関連付けられています。𝜋/5 20 個のクリフォード平行六角形不変平面の全体の繊維の等斜回転。[dj] (このような繊維のセットは 10 個あるため、このような異なる回転は 20 個あります。) [dg]
一方、5 つの互いに交わらない24 セルの 10 セットはそれぞれクリフォード平行です。これは、対応する大六角形がクリフォード平行だからです (24 セルには大十角形はありません)。各 24 セルの 16 個の大六角形は、4 つの交差しないクリフォード平行測地線4 セットに分割でき、各セットは 24 セルの 24 頂点すべてをカバーします。600 セルの 200 個の大六角形は、20 の交差しないクリフォード平行測地線 10 セットに分割でき、各セットは 120 頂点すべてをカバーし、離散的な六角形ファイバを構成します。20 個の互いに交わらない六角形 10 セットはそれぞれ、4 つの互いに交わらない六角形 5 セットに分割でき、各セットは互いに交わらない 24 セルを 4 つカバーします。同様に、互いに素な 24 セルの 対応する大正方形はクリフォード平行です。
ポリグラム等傾斜線の回転
正凸 4 次元多面体はそれぞれ、特徴的な種類の右（および左）等傾斜回転を持ち、これは、特徴的な種類の大円の離散ホップファイバ化に対応しています。 [bg]たとえば、600 セルは 6 つの異なる方法でファイバ化されてクリフォード平行大十角形のセットになることができるため、600 セルには 6 つの異なる右（および左）等傾斜回転があり、それらの大十角形平面は回転の不変平面です。これらの等傾斜回転が 600 セルに特徴的であると言うのは、600 セルのエッジがそれらの不変平面にあるためです。これらの回転は 600 セルでのみ発生しますが、600 セルの内接インスタンスを含むより大きな正多面体（120 セル）にも見られます。
600 セルの中心平面にある測地線多角形(十角形、六角形、または正方形) がクリフォード平行大円のファイバー束を形成するのと同様に、対応する測地線スキュー ポリグラム(等傾斜回転下でのクリフォードトーラスの頂点のパスをトレースする) [79] はクリフォード平行等傾斜のファイバー束を形成します。等傾斜とは、4 つの次元すべてを貫く螺旋状の円です。[ao]等 傾斜回転はキラルで、左手と右手の形式で発生するため、各ポリゴンファイバー束には、対応する左と右のポリグラムファイバー束があります。[80] すべてのファイバー束は、同じ離散ホップファイバー化の側面です。なぜなら、ファイバー化は同じ異なる左右の等傾斜回転のペアのさまざまな表現であるためです。
セルリングはホップファイバの別の表現です。各離散ファイバには、4次元多面体をモザイク状に並べるセル分離セルリングのセットがあります。[ba] 各カイラルバンドルの等傾斜線は互いに螺旋状になっています。これらは面結合セルのリングの軸測地線です。ファイバのクリフォード平行セルリングは互いに入れ子になっており、どのセルでも交差することなく互いを通過し、分離セルセットで600セルを正確に満たします。
等傾斜回転は、剛体の頂点を平行な経路に沿って回転させます。各頂点は、織機が2組の直交する平行繊維から布を織るのと同じように、2 つの直交する移動する大円内を回転します。クリフォード平行大円多角形の束と、それに対応するクリフォード平行スキュー ポリグラム等傾斜の束は、同じ明確な左または右等傾斜回転の縦糸と横糸です。この回転では、クリフォード平行大円多角形を互いにコインのようにひっくり返し、クリフォード平行の中心面セットを通して回転させます。一方、多角形も車輪のように個別に回転するため、頂点は、連続するクリフォード平行多角形にある頂点を通して、らせん状のクリフォード平行等傾斜 (弦がスキュー ポリグラムを形成する) に沿って移動します。[bf]
600 セルでは、等傾斜スキューポリグラム (10 角形 {10}、6 角形 {6}、または正方形 {4} の大きな多角形回転内の移動する頂点パス) の各ファミリは、交差しないクリフォード平行ポリグラム等傾斜の束に分割できます。[81] 等傾斜束は、左と右のキラリティーのペアで発生します。各回転の等傾斜は、各個別の等傾斜回転自体と同様に、キラルオブジェクトとして機能します。 [az] 各ファイブレーションには、2 つの互いに交わらない束に同数の左と右の等傾斜が含まれており、それぞれファイブレーションの左または右の等傾斜回転中に 600 セルの頂点のパスをトレースします。等傾斜の各左または右のファイバー束は、それ自体で600 セル全体を埋める個別のホップファイブレーションを構成し、120 個の頂点すべてを 1 回だけ訪れます。これは、クリフォード平行多角形大円の束とは異なる繊維束ですが、2 つの繊維束は、交差織り平行繊維の織物として交差することにより、同じ明確な右 (または左) 等傾斜回転で 120 個の頂点を一緒に列挙するため、同じ離散 繊維化を表します。
各等傾斜回転には、完全に直交する不変中心回転面のペアが含まれ、どちらも同じ角度で回転します。これを行うには、2 つの方法があります。両方を「同じ」方向に回転するか、「反対」方向に回転します ( 4 つの座標軸のそれぞれでどの方向が「上」であるかを慣例的に指定する右手の法則に従います)。右ポリグラムと右等傾斜回転は、通常、同じ方向に回転する不変ペアに対応します。左ポリグラムと左等傾斜回転は、反対方向に回転するペアに対応します。[78] 左等傾斜と右等傾斜は、異なる場所に向かう異なる経路です。さらに、各異なる等傾斜回転 (左または右) は、円形の平行繊維に沿って正または負の方向に実行できます。
クリフォード平行等傾斜線の繊維束は、明確な左または右の等傾斜回転によって記述される螺旋状の頂点円の集合である。各移動頂点は、（移動）セルリング内に含まれる等傾斜線に沿って移動する。左等傾斜回転と右等傾斜回転はそれぞれ同じクリフォード平行不変回転面の集合を二重回転するが、左等傾斜回転と右等傾斜回転は大円 {2p} 多角形の交互の頂点に当たるため、異なる大円多角形集合を通過する。（ここで p は 5 未満の素数）[dl]左 回転と右回転は、同じホップ束 {2p} 多角形繊維を共有しているが、個別の繊維は {2p} 多角形に内接する反対の左および右 {p} 多角形であるため、異なる {p} 多角形束を持つ[82] 。 [dm]
単純な回転は直接的かつ局所的であり、いくつかの頂点を大円に沿って隣接する頂点に移動し、いくつかの中心平面を同じ超平面内の他の中心平面に移動します。(600 セルには 4 つの直交中心超平面があり、それぞれが 20 面体です。) 単純な回転では、完全に直交する不変の回転中心平面が 1 組だけ存在し、ファイバ化は構成されません。
等傾斜回転は対角かつ大域的であり、すべての頂点を対角等傾斜に沿って隣接していない頂点（2 辺以上離れた）[cq]に移動し、すべての中心平面多角形をクリフォード平行多角形（同じ種類）に移動します。等傾斜回転の左右のペアは離散ファイブレーションを構成します。ファイブレーションのすべてのクリフォード平行中心平面は不変回転平面であり、2 つの等しい角度で分離され、異なる超平面にあります。[at] 対角等傾斜[cr]は、隣接していない頂点間の、辺に沿って利用可能な複数の単純なルートよりも短いルートです。つまり、3 次元球面、測地線上の最短ルートです。
十角形と五芒星
600 セルのファイバ化には、72 の大十角形の 6 つのファイバ化が含まれます。12 の大十角形の 6 つのファイバ束[ae]はそれぞれ 30 の四面体セルからなる 20 のキラル セル リングを描き、[ad]各セル リングの境界となる 3 つの大十角形と、各十角形の周囲にネストされた 5 つのセル リングがあります。各束の 12 個のクリフォード平行十角形は完全に分離しています。隣接する平行十角形は、他の大十角形の辺によって張られています。[aq]各ファイバ化は、5𝝅 等傾斜線上の 12 個の大十角形不変平面における 600 セルの異なる左 (および右) 等傾斜回転に対応しています。
12 本のクリフォード平行十角形繊維の束は、12 本の左五角形繊維の束と 12 本の右五角形繊維の束に分割され、左右の五角形の各ペアは十角形に内接する。[83] 12 個の大多角形は、離散ホップ繊維群 の 120 個の頂点すべてをカバーする繊維束を構成する。繊維群にはセルが互いに素な 30 セル リングが 20 個あるが、完全に素な 30 セル リングは 4 個しかない。[g] 600 セルにはこのような離散十角形繊維が 6 個あり、それぞれが一意の左右の等傾斜回転ペア (12 個の大五角形の左と右の繊維束) のドメイン (コンテナー) である。[dn]それぞれの大十角形はただ1つのファイブレーションに属しますが、[82]それぞれの30セルリングは6つのファイブレーションのうち5つに属します（そして、他の1つのファイブレーションとは完全に分離しています）。600セルには72の大十角形が含まれ、6つのファイブレーションに分割されています。それぞれのファイブレーションは20個のセル分離30セルリングのセット（4個の完全に分離した30セルリング）ですが、600セルには合計で20個の異なる30セルリングしかありません。それぞれの30セルリングには、5つのファイブレーションのそれぞれに12個のクリフォード平行十角形のうち3つと、120個の頂点のうち30個が含まれます。
これらの十角形等傾斜回転では、頂点は六角形の辺に沿った等傾斜線に沿って移動し、[26] 36°×36°の各二重回転単位で六角形の辺1つ分のピタゴラス距離を進みます。[dj] 等傾斜回転では、移動する各六角形の辺は異なる大六角形にあるため、等傾斜線は多角形ではなく、斜めのポリグラムを表します。 60°×60° の等傾斜回転 ( 24 セルの特徴的な六角形回転、および以下の 600 セルの六角形回転 ) では、このポリグラムは六角形です。等傾斜回転は、単純な六角形回転と同様に 6 辺の円形パスをたどりますが、その中のすべての頂点を数えるには2回転かかります。これは、等傾斜が他のすべての頂点を通る二重ループであり、その弦が六角形の√ 1辺ではなく √ 3 辺であるためです。[dq]しかし、600 セルの 36°×36° の特徴的な十角形回転では、連続する大六角形がより密集して数が多く、15 の六角形の辺によって形成される等傾斜ポリグラムは五十四角形 (15 グラム) です。[cn]これは六角形や単純な十角形の回転と同じ周期ではないだけでなく、六角形や十角形、あるいはそのいずれかの単純な回転の周期の整数倍でもありません。2 つの 15 グラム (黒と白) が平行に回転する複合 {30/4}=2{15/2} トリアコンタグラム (30 グラム) だけが、それらすべての倍数であり、したがって十角形等傾斜回転の回転単位を構成します。[dl]
30 セル リングでは、等傾斜回転によってリンクされた隣接していない頂点は 2 辺の長さ離れており、リングの他の 3 つの頂点がそれらの間にあります。[ds] 隣接していない 2 つの頂点は、大六角形辺 (24 セル辺) である等傾斜の√ 1弦によってリンクされています。30セル リングの√ 1弦 ( √ 0.𝚫 600 セル辺を除く) は、 2 つの互いに交わらない {15/2} メビウス ダブル ループ、つまり15/2 ペンタゴン2等傾斜の左右ペアを含む、斜めの三角錐{30/4}=2{15/2}を形成します。12 本のペンタゴン ファイバーの左 (または右) の束はそれぞれ、8 本のクリフォード平行 15/2 ペンタゴン ファイバーの左 (または右) の束と交差しています。それぞれの 30 セル リングには、それぞれ偶数または奇数 (黒または白) の頂点を通る 2 つの二重ループの 15 角形の等傾斜があります。[cu] 15 角形のらせんには固有のキラリティーはありませんが、それぞれが任意の等傾斜回転で左または右の等傾斜として機能します。[dk] 2 つの 15 角形の繊維は、5 つの異なる繊維の左および右の繊維束に属します。
各頂点には、6 つの大十角形と、頂点で交差する 6 つの 10 角形等傾斜 (黒 6 つまたは白 6 つ) があります。[dv] 8 つの 10 角形等傾斜 (黒 4 つと白 4 つ) は、明確な右 (または左) 等傾斜回転で 120 頂点すべてをカバーする、一意の右 (または左) 等傾斜ファイバー束を構成します。各ファイバーには、一意の左および右等傾斜回転と、それに対応する 12 個の五角形と 8 つの 10 角形等傾斜の一意の左および右ファイバー束があります。600 セルには、20 個の異なる黒等傾斜と 20 個の異なる白等傾斜のみがあります。各異なる等傾斜は、5 つのファイバー束に属します。
2 つの 15 グラム二重ループ等傾斜線が、各 30 セル リングの軸になっています。30 セル リングはキラルです。各ファイブレーションには 10 個の右 (時計回りの螺旋) リングと 10 個の左 (反時計回りの螺旋) リングが含まれますが、各 3 セル リングの 2 つの等傾斜線は直接合同です。[cv]それぞれが左 (または右) 回転の左 (または右) 等傾斜線として機能しますが、固有のキラリティーはありません。[dk] ファイブレーションの 20 個の左 15 グラムと 20 個の右 15 グラムには、合計 120 個の互いに素な開いた五芒星 (左 60 個と右 60 個) が含まれており、その開いた端は隣接する 600 セルの頂点 (1 辺の長さが√ 0.𝚫離れている) です。等傾斜線の 30 頂点を結ぶ 30 本の弦は、√ 1六角形辺 (24 セル辺) であり、十角形大円上で 2 つの600 セル√ 0.𝚫辺離れた 600 セル頂点を接続します。 [cs] これらの等傾斜弦は、六角形辺と五角形辺の両方です。
各左（または右）等傾斜束の 20 本のクリフォード平行等傾斜線（30 セル リング軸）は、互いに交差しません。いずれの異なる 10 角形等傾斜回転（左または右）も 120 個の頂点すべて（および 600 個のセルすべて）を回転させますが、五角形等傾斜線と五角形は、チェス盤の黒と白のマス目のように、頂点が 60 個の黒頂点と 60 個の白頂点（および 300 個の黒セルと 300 個の白セル）として交互になるように接続されます。[du] 回転の過程で、左（または右）等傾斜線の頂点は同じ 15 頂点の黒（または白）等傾斜線内で回転し、セルは同じ黒（または白）の 30 セル リング内で回転します。
六角形と六芒星
.svg/500px-Regular_star_figure_2(10,3).svg.png)
600 セルのファイバリングには、200 個の大六角形の 10 個のファイバリングが含まれます。20 個の大六角形の 10 個のファイバ バンドルです。各バンドル内の 20 個のクリフォード平行六角形は完全に分離しています。隣接する平行六角形は、大十角形の辺で張られています。[ar]各ファイバリングは、4𝝅 等傾斜上の 20 個の大六角形不変平面における 600 セルの異なる左 (および右) 等傾斜回転に対応します。
各繊維束は、それぞれ6 つの八面体セルからなる20 個の互いに素で直接合同なセル リングを描き、各六角形の周囲に 3 つのセル リングが入れ子になっています。20 個のクリフォード平行六角形繊維の束は、20 個の黒い√ 3 大三角形繊維の束と 20 個の白い大三角形繊維の束に分割され、各六角形には黒と白の三角形が 1 つずつ、各 6 八面体リングには黒と白の三角形が 6 つずつ内接しています。黒または白の三角形は、3 つの交差する黒または白の等傾斜線によって結合されており、各等傾斜線は、10 個のクリフォード平行黒 (または白) 大三角形の対応する頂点を通る特殊な種類の螺旋状の大円[dq]です。各等傾斜線の10 √ 1.𝚫弦は、斜めの十角形 {10/3}を形成します。これは、10 個の大五角形の辺が端から端まで螺旋状のループで結合され、中央の平面に平らに横たわるのではなく、4 つの次元すべてにわたって 600 セルの周りを 3 回巻き付いています。黒と白の等傾斜線の各ペア (反対側の大六角形の頂点が交差) は、複合 20 角形二十四角形 {20/6}=2{10/3}を形成します。
24 セルの大六角形不変面(六芒星の等傾斜面) での特徴的な回転と、600 セルの大六角形面の回転 (十芒星の等傾斜面) の関係に注目してください。これらはまったく同じ等傾斜回転です。つまり、同じ等傾斜面を持っています。これらは同じ等傾斜面の数が異なり、600 セルの√ 1.𝚫 等傾斜面弦は 24 セルの√ 3 等傾斜面弦よりも短くなっています。これは、等傾斜面が 600 セル (10) で 24 セル (6) よりも多くの頂点と交差するためです。ただし、両方のクリフォード ポリグラムの円周は 4𝝅 です。[dp] 等傾斜ポリグラムが異なるのは、等傾斜曲線が 24 セルよりも 600 セルでより多くの頂点と交差するためです。[dy]
正方形と八角形
600 セルのファイバ化には、450 個の大正方形の 15 個のファイバ化が含まれます。30 個の大正方形の 15 個のファイバ束です。各束の 30 個のクリフォード平行正方形は完全に分離しています。隣接する平行正方形は、大十角形の辺で張られています。[as]各ファイバ化は、4𝝅 等傾斜線上の 30 個の大正方形不変平面 (15 個の完全に直交するペア) における 600 セルの明確な左 (および右) 等傾斜回転に対応します。
各繊維束は、それぞれ8 つの四面体セルからなる 30 個のキラル セル リングを描きます。 [ax]左右のセル リングが入れ子になって、600 セルに内接する 15 個の互いに分離した 16 セルのそれぞれを埋めます。各 8 四面体リングの軸には、特殊な種類の螺旋状の大円である等傾斜があります。[ao]大正方形不変平面における 600 セルの左 (または右) 等傾斜回転では、すべての頂点が 15 個のクリフォード平行等傾斜のいずれかに沿って循環します。
各バンドル内の 30 個のクリフォード平行正方形は、4 個のクリフォード平行 24 グラム等傾斜線 (各頂点を 1 つずつ通る) によって結合され、各等傾斜線は 30 個の正方形のうち 24 個の頂点の 1 つと交差し、600 セルの 25 個の 24 セルのうち 1 個の 24 個の頂点すべてと交差します。各等傾斜線は、25 個の 24 セルすべてと交差する 24 グラム回路であり、そのうち 24 個は 1 回だけ交差し、1 個は 24 回交差します。各 24 グラム等傾斜線の 24 個の頂点は、固有の 24 セルを構成します。600 セルには、このような異なる等傾斜線が 25 個あります。各等傾斜は、斜めの {24/5} 24 グラム、24 φ = √ 2.𝚽弦が端から端まで螺旋状のループで結合され、中央の平面に平らに横たわるのではなく、4 つの次元すべてにわたって 1 つの 24 セルの周りを 5 回巻き付いています。24 セルの隣接する頂点は、等傾斜上で 1 √ 1弦離れており、5 φ弦離れています。左 (または右) の等傾斜回転を 720° 行うと、各 24 セルが他のすべての 24 セルに到達し、通過します。
16 セルの 2 つの不変大正方形平面だけを回転させる回転、24 セルの 6 つのクリフォード平行大正方形を回転させる回転、および 600 セルの 30 個のクリフォード平行大正方形を回転させる回転の関係に注目してください。これらの 3 つの回転は同じ回転で、まったく同じ種類の等傾斜円上で発生します。等傾斜円は、600 セル (24) の方が 16 セル (8) よりも多くの頂点と交差します。[dz] 16 セルの回転では、等傾斜曲線上の頂点間の距離は√ 4直径です。600 セルでは頂点同士がより接近しており、その√ 2.𝚽 = φ弦は同じ等傾斜上の隣接する頂点間の距離ですが、これらすべての等傾斜の円周は 4𝝅 です。
構成として
この配置行列[87]は600個のセルを表しています。行と列は頂点、辺、面、セルに対応しています。対角の数字は、600個のセル全体に各要素がいくつ出現するかを示しています。非対角の数字は、列の要素が行の要素内またはその要素にいくつ出現するかを示しています。
ここでは、 k面要素とk図形で展開された構成を示します。対角要素の数は、完全なCoxeter グループの順序 14400 をミラー除去によるサブグループの順序で割った 比率です。
対称性
イコシアンは、 600セルと同じ対称性を持つハミルトン四元数の特定のセットです。 [88] イコシアンは黄金比( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) kにあり、8つの変数は有理数です。[89] 120単位イコシアン の有限和はイコシアン環と呼ばれます。
四元数として解釈すると、[b] 600 セルの 120 頂点は四元数の乗法の下で群を形成します。この群は、通常の20 面体群Iの二重被覆であるため、しばしば二元 20 面体群と呼ばれ、2Iで表されます。[90]これは、 600 セルの 回転対称群RSGに不変部分群として 2 回出現します。つまり、四元数左乗法の部分群2I Lと四元数右乗法の部分群2I Rです。600 セルの各回転対称性は、 2I Lと2I Rの特定の要素によって生成されます。反対の要素のペアは、RSGの同じ要素を生成します。RSGの中心は、非回転Idと中心反転−Idで構成されます。同型RSG ≅ (2I L × 2I R ) / {Id, -Id}が成り立ちます。 RSGの位数は 120 × 120/2 = 7200。四元数代数は、 3次元および4次元の回転を扱うためのツールとして、また4次元ユークリッド空間における回転の理論を完全に理解するための道として、メビウスによって説明されている。[91]
600セルの完全対称群はコクセター群H 4である。[92] これは14400位の群である。これは7200回転と7200回転反射からなる。回転は完全対称群の不変部分群を形成する。回転対称群はSL van Ossによって最初に記述された。[93] H 4群と3次元対称群からの帰納法によるそのクリフォード代数構成はDechantによって記述されている。[94]
視覚化
600セルの3次元表面の対称性は、四面体セルの数が多いことと、[v]四面体には反対の面や頂点がないことから、視覚化するのがやや困難です。[az] まず、600セルが120セルの双対であることに気づくでしょう。 また、600セルには十二面体の頂点も含まれていることに気づくかもしれません。[44]これは、少し努力すれば、以下の透視投影のほとんどで見ることができます。
2D投影
H3十角形投影は、ファン・オス多角形の平面を示します。
3D投影
アンリ・ポアンカレ研究所のコレクションにある600セルの3次元モデルは、 1934年から1935年にかけてマン・レイによって撮影され、後に彼の2つの「シェイクスピアの方程式」絵画の一部となった。[95]
600セルの減少
スナブ24セルは、600セルから内接する24セルの頂点を削除し、残りの頂点の凸包を取ることで得られます。 [96]このプロセスは、600セルの 縮小です。
大反角柱は、600セルをさらに縮小することで得られる。つまり、互いに直交する2つのリング上にある20の頂点を削除し、残りの頂点の凸包を取る。[59]
すべての三減二十面体セルを持つ24 減 600 セルでは、48 の頂点が削除され、600 セルの 120 頂点のうち 72 頂点が残ります。24 減 600 セルの双対は、48 頂点と 72 六面体セルを持つ 24 減 600 セルです。
隣接していない頂点による600セルの減少は合計314,248,344通りあります。これらはすべて正四面体と正二十面体のセルで構成されています。[97]
関連する多面体とハニカム
600セルは、同じH4対称性を持つ15個の正則かつ均一な多面体のうちの1つである[ 3,3,5]: [11]
これは、3 つの正則 4 次元多面体、すなわちユークリッド 4 次元空間の5 セル{3,3,3}、16 セル{3,3,4}、および双曲空間の6 次四面体ハニカム{3,3,6}に類似しています。これらはすべて四面体セルを持ちます。
この 4 次元多面体は、 20 面体の頂点図形を持つ 4 次元多面体とハニカムのシーケンスの一部です。
正複素多角形 3 {5} 3、
そして5 {3} 5、
は、 4次元空間で600セルとして実数表現されます。どちらも120頂点、120辺を持ちます。最初のものは複素反射群3 [5] 3、順序360を持ち、2番目のものは対称性5 [3] 5、順序600を持ちます。 [98]
参照
- 24セル、600セルのベースとなる4次元多面体
- 120セル、 600セルの双対4多面体、およびその後継
- [5,3,3]対称性を持つ一様4次元多面体族
- 正4次元多面体
- 多面体
注記
- ^ abc 凸正多面体は、同じ半径の 4 次元コンテンツ (超体積) の尺度として、サイズで順序付けることができます。これは、それらが複合として互いに入れ子になる順序である、それらの適切な列挙順序です。[3]シーケンス内の各より大きな多面体は、その前の多面体よりも丸みを帯びており、同じ半径内により多くのコンテンツ[4]を囲んでいます。 4 単体 (5 セル) が最小のケースで、120 セルが最大です。複雑さ (構成マトリックスの比較または単に頂点の数によって測定) も同じ順序に従います。これにより、正多面体の代替の数値命名スキームが提供され、600 セルは 120 点の 4 多面体です。これは、5 点の 4 多面体から 600 点の 4 多面体までの昇順で 5 番目です。
- ^ ab 4次元ユークリッド幾何学では、四元数は単純に(w, x, y, z)直交座標です。
- ^ ABC さん
放射状に正三角形の 24 セルの頂点ジオメトリ。3 つの大円多角形と 4 つの頂点間の弦の長さを示します。 600 セル ジオメトリは24 セルに基づいています。
600 セルは、24 セルにさらに 2 つの大円多角形 (外側の 10 角形と内側の 5 角形) を追加し、24 セルの 4 つの弦の長さと交互になる 4 つの弦の長さを追加します。 - ^ abcdef 24セルには16個の六角形が含まれます。600セルには25個の24セルがあり、各24セルは8個の24セルと分離しており、他の16個の24セルのそれぞれと6つの頂点で交差して六角形を形成します。[12] 600セルには25・16/2 = 200個のこのような六角形が含まれます。
- ^ 同じ種類の内接 4 次元多面体が互いに交わらない頂点集合を占める場合 (四次元方陣に内接する 2 つの 16 セル、または 24 セルに内接する 3 つの 16 セルなど)、頂点弦、中心多角形、セルの集合も同様に互いに交わらない。頂点を共有する場合 (24 セルに内接する 3 つの四次元方陣、または 600 セルに内接する 25 の 24 セルなど)、頂点弦と中心多角形も共有する。[d]
- ^ abcde 600セルには、24セルが25個、16セルが75個、8セルが75個含まれており、16セルと8セルはそれぞれ1つの24セルに含まれています。[21]
- ^ abcdefg 多面体は、そのすべての要素セットが互いに素である場合、完全に互いに素です。つまり、頂点、辺、面、セルを共有しません。ただし、空間的に重なり合う場合があり、4 つのコンテンツ、体積、面積、または系統を共有することがあります。
- ^ 600セルの25個の24セルのそれぞれには、各大五角形の頂点が1つずつ含まれています。[12] 6つの五角形が各600セルの頂点で交差するため、各24セルは144個の大五角形すべてと交差します。
- ^ abcdef 600セルの正二十面体ピラミッドの各頂点 [p]には、5つの24セルが集まっています。各24セルは、1つの頂点だけでなく、6つの頂点（4つの六角形の中心面のうちの1つ）を他の4つの24セルと共有しています。[d]
- ^ abc シューテは、600セルの120頂点を5つの互いに交わらない24セルに分割する方法が正確に10通りあることを（1世紀前に）初めて述べた。25個の24セルを5 x 5配列に配置し、配列の各行と各列が600セルの120頂点を5つの互いに交わらない24セルに分割するようにすることができる。配列の行と列は、600セルのそのような分割の唯一の10通りである。[21]
- ^ abcde 600 セルには 25 個の異なる 24 セルが含まれており、それらは五角形のリングで互いに結合されています。各五角形は 5 つの完全に分離した[g] 24 セルをリンクしており、その集合的な頂点は 600 セルの 120 個の頂点です。各 24 ポイント 24 セルには 120 ポイント 600 セルのすべての頂点の 5 分の 1 が含まれており、600 セルの 144 個の五角形によって他の 96 個の頂点 (スナブ 24 セルを構成する) にリンクされています。25 個の 24 セルのそれぞれは、144 個の大きな五角形のそれぞれと 1 つの頂点で交差しています。[h] 5 つの 24 セルが各 600 セル頂点で交わるため、[i]すべての 25 個の 24 セルが各大五角形によってリンクされます。600 セルは 5 つの互いに素な 24 セルに分割できます (10 通りの方法)。[j]また、各 24 セル頂点で同じファイブレーションから五角形を選択することで、24 個の互いに素な五角形 (6 つの十角形ファイブレーションの 1 つにある 12 個のクリフォード平行大十角形に内接) に分割することもできます。
- ^ 角度 𝜉 iと 𝜉 j は、4 次元ユークリッド空間における回転を特徴付ける2 つの完全に直交する不変平面における回転角です。角度 𝜂 は、極軸からのこれらの平面の傾きであり、𝜂 の範囲は 0 から です。𝜋/2。(𝜉 i , 0, 𝜉 j ) 座標は、北極と南極で交差する大円 (「経線」) を表します。(𝜉 i , 𝜋/2、𝜉 j）座標は、経度に直交する大円（「赤道」）を表します。3次元球面の赤道は2次元球面全体の大円であるため、4次元多面体には複数の「赤道」大円があります。その他のホップ座標（𝜉 i、0 < 𝜂 < 𝜋/2、𝜉 j）は、赤道を横切るが北極や南極を通らない大円（「緯線」ではない）を表します。
- ^ホップ座標 (𝜉 i、𝜂、𝜉 j ) から単位半径の直交座標 (w、x、y、z) への変換は次のとおりです。
- w = cos 𝜉 i sin 𝜂
- x = cos 𝜉 j cos 𝜂
- y = sin 𝜉 j cos 𝜂
- z = sin 𝜉 i sin 𝜂
- ^ ホップ座標は3つの角度の3つ組です。
- (𝜉 i , 𝜂 , 𝜉 j )
- ^ これらの座標の順列は 600 通りありますが、600 セルには 120 個の頂点しかありません。これらは実際には120 セルの頂点のホップ座標であり、120 セルには 600 個の頂点があり、5 つの互いに素な 600 セルの複合体として (2 つの異なる方法で) 見ることができます。
- ^ abcdefghi 600 セルの境界面の湾曲した 3 次元空間では、各頂点で、イコサヘドロンが頂点を中心の周囲に取り囲むのと同じように、12 個の最も近い他の頂点が頂点を囲んでいます。12 個の 600 セルの辺はイコサヘドロンの中心に収束し、そこで交差する 6 本の直線を形成しているように見えます。しかし、中心は実際にはイコサヘドロン頂点によって定義される超平面から 4 次元 (600 セルの中心から放射状に外側に) にずれています。したがって、頂点イコサヘドロンとは、実際には標準的なイコサヘドロン ピラミッドであり、[bj]正イコサヘドロン ベース上の 20 個の正四面体で構成され、頂点がその頂点です。[bk]
- ^ abc 分数根黄金和音は、√ 5の関数である無理分数です。黄金比 φ = 1 + √ 5/2 ≈ 1.618は𝜋に関連する円周率である: [20]
- 𝜋/5 = アークコサイン ( φ/2 )
- φ = 1 – 2 cos ( 3𝜋/5 )
- ^ ab 600セルの辺は長さ√ 0.𝚫の10角形の辺であり、これは√ 5の小さい方の黄金比である𝚽である。辺は逆黄金比になっている 1/φ を√ 1 の六角形弦（24 セルの辺）に結び付けます。その他の分数根弦にも黄金比の関係が見られます。長さ√ 1.𝚫の弦は五角形辺です。次の分数根弦は長さ√ 2.𝚽の十角形対角線で、φ は√ 5の大きい方の黄金比です。これは√ 1弦（および半径）に対して黄金比[q]になっています。 [t] 最後の分数根弦は長さ√ 3.𝚽の五角形対角線です。正五角形の対角線は必ずその辺に対して黄金比になっており、実際φ √ 1.𝚫は√ 3.𝚽になっています。
- ^ 分数平方根は小数として表されます。ここで、
𝚽 ≈ 0.618 は逆黄金比です 。𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 2 ≈ 0.382 たとえば、 𝚽 = √ 0.𝚫 = √ 0.382~ ≈ 0.618です。
- ^ 図では、φ弦（大きい方の黄金比）が隣接する 𝚽 辺（小さい方の黄金比）と合わせて√ 5になり、あたかもこれらが√ 4 の直径内に収まるように曲げられた√ 5弦であるかのように見えることに注目してください。
- ^ ab 120 頂点の 600 セルに内接する 24 頂点の 24 セルの 1 つを考えます。他の 96 頂点はスナブ 24 セルを構成します。600 セルから任意の 24 セルを 1 つ削除すると、スナブ 24 セルが生成されます。
- ^ abc 各四面体セルは、何らかの方法で 56 個の他のセルと接しています。1 つのセルは 4 つの面のそれぞれに接し、2 つのセルは 6 つの辺のそれぞれに接しますが、面には接しません。10 個のセルは 4 つの頂点のそれぞれに接しますが、面や辺には接しません。
- ^ 24 セルの長半径 (中心から頂点まで) は辺の長さに等しいため、長直径 (頂点から反対の頂点まで) は 2 辺の長さになります。この特性を持つ均一多面体は、4 次元の 24 セルと四角形、3 次元の立方八面体、2 次元の六角形など、ごく少数です。(立方八面体は 24 セルの赤道断面であり、六角形は立方八面体の赤道断面です。)放射状に正辺のある多面体は、その長半径で、多面体の中心で交わる正三角形から構成できる多面体です。正三角形はそれぞれ 2 つの半径と 1 つの辺を持ちます。
- ^ ab オルソスキームとは、直角三角形の面を持つキラルな不規則単体であり、ある多面体を自身の面（鏡面壁）における自身の反射で正確に埋める場合に、その多面体の特性となります。すべての正多面体は、その中心を囲む特性オルソスキームのインスタンスに放射状に分割できます。特性オルソスキームは、生成点環のない正多面体と同じコクセター・ディンキン図で記述される形状を持ちます。
- ^ オルソスキームは、直角三角形を任意の次元の単体図形に一般化したものです。すべての正多面体は、その中心で交わる同一の特性を持つオルソスキームに放射状に細分化できます。 [x]
- ^ すべての多面体は、中心で交わる三角形に放射状に三角形分割することができ、各三角形は 2 つの半径と 1 つの辺を提供します。特殊な種類の三角形によって放射状に三角形分割される多面体には、(少なくとも) 3 つの特別なクラスがあります。放射状に正三角形の多面体は、すべて中心で交わる同一の正三角形から構成できます。[w] 放射状に黄金の多面体は、すべて中心で交わる同一の黄金三角形から構成できます。すべての正多面体は、放射状に直角の多面体であり、さまざまな要素の中心と半径を使用して、すべて中心で交わる同一の特性正三角形から構成され、正多面体は中心で交わる特性直角三角形に細分化されます。 [y]
- ^ 600セルの長半径（中心から頂点まで）は、その辺の長さと黄金比になっている。したがって、辺の長さが1のとき半径はφであり、辺の長さは1/φ半径が 1 の場合。
- ^ ab 16セルから始めて、単位半径のシーケンス内のあらゆる正凸4次元多面体は、その後続のセルに内接します。[6]したがって、後続のセルはその前のセルに何らかの4次元ピラミッドを 配置することで構築できます。16セルとテッセラクトの間には、頂点がテッセラクトの各角を埋める16個の直四面体ピラミッドがあります。テッセラクトと24セルの間には、8個の標準立方体ピラミッドがあります。しかし、24個の標準八面体ピラミッドを24セルに配置すると、後続の600セルではなく、別のテッセラクト（半径と辺の長さが2倍）のみが得られます。 24 セルと 600 セルの間には、正八面体のベース上に 24 個のより小さな不規則な 4 角錐が存在する必要があります。
- ^ abcde 四面体セルの辺に沿って通過する 6 つの大きな 10 角形は、四面体の 6 つの辺がすべて頂点を共有しているわけではないため、互いに交差するわけではありません。各 10 角形は、他の 4 つの 10 角形と交差しますが (60 度)、四面体の反対および垂直の斜め辺に沿って互いに通過するときに (90 度)、他の 1 つの 1 角形とはわずかに交差しません。各四面体は、四面体の頂点で交差しない3 組の 10 角形をリンクします。ただし、6 つの 10 角形はいずれもクリフォード平行ではありません。 [af]それぞれが 12 の異なるホップ繊維束に属しています。四面体の 6 つの辺のうち 1 つだけが、Boerdijk–Coxeter 三重らせんリングのらせんの一部になることができます。[ad]ちなみに、この脚注はクリフォード平行十角形[ae] に関する 4 つの脚注のうちの 1 つであり、すべて相互に参照されています。
- ^ abcdefghijk 四面体[ac]には反対の面がないので、それらを一直線に向かい合わせて積み重ねる唯一の方法は、Boerdijk-Coxeter ヘリックスと呼ばれるねじれた鎖の形をとることです。これは、図に示すように、クリフォード平行[af]三重ヘリックスです。600 セルでは、4 次元でジオデシック リングに曲がっています。各リングには 30 個のセルがあり、30 個の頂点に接しています。セルはそれぞれ、隣接する 2 つのセルと面で結合していますが、各四面体の 6 つの辺のうち 1 つはそのセルだけに属し、これらの 30 辺は、互いに螺旋状に回る 3 つのクリフォード平行大 10 角形を形成します。[ae] 5 つの 30 セル リングが各 10 角形で出会い、螺旋状に周りを回ります (5 つの四面体が各辺で出会うのと同じように)。このようなセル分離リング 20 個の束が 600 セル全体を埋め尽くし、離散ホップ ファイバを構成します。このようなホップ ファイバは 6 個あり、同じ空間をカバーしますが、異なる「方向」に走っています。
- ^ abcdefg 2つのクリフォード平行十角形[af]は交差しないが、それらの対応する頂点は別の十角形の1つの辺でつながっている。2つの平行十角形と10の連結辺は二重らせん環を形成する。3つの十角形も平行になることができ（十角形は12本の平行繊維束になっている）、そのうち3つは三重らせん環を形成することがある。環を切断して3次元空間に平らに置くと、長さ30の四面体[ac]のボルダイク・コクセターらせん[ad]になる。3つのクリフォード平行十角形は、三重らせんの図では水色の辺として見ることができる。各マゼンタの辺は、2つの平行十角形を連結する別の十角形の1辺である。
- ^ abcdefghijklmnop
ねじれた環状部によって張られた2 つのクリフォード平行大円。 - ^ 各頂点で交差する10個の六角形は、二十面体頂点図形の20個の短半径に沿って位置している。[p]
- ^ ab 25 個の内接する 24 セルにはそれぞれ 3 つの内接する四次元方陣があり、各四次元方陣には 8 つの√ 1立方セルがあります。1200 の√ 3弦は、これらの 600 個の立方体の 4 つの長径です。各 24 セルの 3 つの四次元方陣は重なり合っており、各√ 3弦は、2 つの異なる 24 セルの 2 つの異なる四次元方陣にある 2 つの異なる立方体の長径です。各立方体は、1 つの 24 セルの1 つの四次元方陣に属します。
- ^ 0.𝚫・720 + 1・1200 + 1.𝚫・720 + 2・1800 + 2.𝚽・720 + 3・1200 + 3.𝚽・720 + 4・60の合計は14,400。
- ^ 単位半径の任意の正凸n多面体のすべての異なる弦の長さの二乗の合計は、頂点の数の二乗である。[28]
- ^ 三十角形または 30 角形は、30 辺の多角形です。三十角形は、内角が小さい多角形の内角の合計となる最大の正多角形です。168° は、正三角形(60°) と正五角形(108°)の内角の合計です。
- ^ abc 600 セルには 72 個の 30 角形があります。12 個のクリフォード平行 30 角形中心平面が 6 セットあり、それぞれが 10 角形中心平面に完全に直交しています。単位半径 600 セルの頂点を通過する大円とは異なり、この 30 角形は実際には単位半径 3 球面の大円ではありません。頂点ではなく面の中心を通過するため、半径が短く、より小さな 3 球面上にあります。もちろん、この中心平面には 10 角形中心平面に完全に直交する単位半径の大円もありますが、大円多角形としては600 セルのどの点とも交差しないため、30 角形ではなく 0 角形です。600 セルでは、各大 10 角形に完全に直交する大円多角形は 0 角形です。
- ^ ab 30 セルリングの 30 頂点と 30 辺は、11 の巻き数を持つ斜め{30/11}星型多角形上にあり、これは三重らせん図11と呼ばれ、 30 辺のループに曲げられた連続したきつい螺旋状のもので (三重らせんの図の赤紫色の辺)、600 セルの周りを一周する間に 11 回巻き付き、30 セルリングは 360 度一回転する。[ 34]同じ 30 セルリングは、600 セルのペトリー多角形としても特徴付けられる。 [cf]
- ^ abcdef 各大十角形の中心平面は、600 セルのどの頂点とも交差しない大 30 角形[ak]の中心平面と完全に直交しています。72 個の 30 角形はそれぞれ 30 セル Boerdijk-Coxeter 三重らせんリングの中心軸であり[ad]、 30 角形の各セグメントは同様に四面体を通過します。30 角形大円は、その 3 次元球面の湾曲した 3 次元表面に完全に存在します。[al]その湾曲したセグメントは弦ではありません。どの辺や頂点にも接触しませんが、面には接触します。これは、 30 セル Boerdijk-Coxeter らせんの 30 頂点すべてを結び、各セルに 3 つの辺を持つ 600 セルのペトリ多角形である螺旋状の斜め 30 グラムの中心軸です。[am]
- ^ abcdefghijklmn 等傾斜回転による点は、連続する 2 つの単純測地線の折れ線ではなく、単一の等傾斜測地線の対角線 [cr] を横切って直接目的地に到達します。測地線は、空間を通る最短経路です(直感的には、2 点間で張られた紐)。単純測地線は、中心平面にある大円です (2 次元球面上の 3 次元空間に発生する唯一の種類の測地線)。等傾斜測地線は異なります。単一平面にあるわけではなく、単純な 2 次元の円ではなく、4 次元の螺旋です。 [bf] しかし、それらは 3 次元のねじ山のようなものではなく、他の円と同様に閉じたループを形成します。[cs] 等傾斜測地線は4 次元の大円であり、2 次元の円と同様に円形です。実際、2 次元の円は 2 倍円形です。なぜなら、等傾斜測地線は同時に 2 つの完全に直交する方向に円を描くからです。 [ch] これらは真の円であり、[cn]通常の 2 次元の大円のようにファイバーを形成します。これらの等傾斜線は、 4 次元空間に埋め込まれた 1 次元の測地線です。3 次元球面[ct]上では、常にクリフォード トーラス上のヴィラルソー円としてカイラルペアで発生します。 [cw] 等傾斜回転で頂点が通過する測地線経路です。これらは、4 次元でメビウス ループに曲げられた螺旋であり、4 次元多面体の歪んだクリフォード多角形の隣接していない頂点を通って 3 次元球面の周りを斜めに曲がります。[cv]
- ^ abcde 4次元空間では、クリフォード平行[af]で、すべて同じ角度距離だけ離れている大円は4つまでです。[30] このような中心平面は相互に等傾斜です。つまり、各平面のペアは2つの等しい角度で分離されており、その角度で等傾斜回転すると、それらの平面が一緒になります。3つまたは4つのそのような平面がすべて同じ角度で分離されている場合、それらは等傾斜と呼ばれます。
- ^ abc 600セルの10角形平面は、3つのクリフォード平行10角形36° （𝝅/5 ) 離れたところに、30 セルの Boerdijk–Coxeter 三重らせんリングがあります。[ad] また、これらの 3 つの十角形に平行なクリフォード 10 角形は 3 つあり、72° ( 2𝝅/5 ) 離れ、3 108° ( 3𝝅/5）離れており、3 144°（4𝝅/5 ) 離れており、合計 12 個のクリフォード平行十角形 (120 個の頂点) が離散ホップファイバレーションを構成しています。大十角形は2 つの等しい角度で分離された等斜面にあるため、対応する頂点は両方の角度に対する結合ベクトルによって分離されています。4 次元空間のベクトルは、ハミルトンによって発見された四元数の乗算によって結合できます。[31] 36° ( 𝝅/5）等傾斜回転で60°（𝝅/3 ) 離れた 4 次元空間上の 2 つの多角形の対応する頂点は 108° ( 3𝝅/5）等傾斜回転で離れている部分も60°（𝝅/3 ) 離れた 4 次元空間上の 2 つの多角形の対応する頂点は 72° ( 2𝝅/5）等傾斜回転で120°（2𝝅/3）離れている４次元空間と、１４４°（4𝝅/5）等傾斜回転で離れている部分も120°（2𝝅/3 ) 離して 4 スペースに配置します。
- ^ abc 600セルの六角形面は、4つのクリフォード平行六角形60° （𝝅/3 ) 離れたところに 24 セルがあります。また、これらの 4 つの六角形に平行なクリフォードには、4 つの等斜六角形 36° ( 𝝅/5 ) 離れて、4 72° ( 2𝝅/5 ) 離れ、4 108° ( 3𝝅/5）離れており、4 144°（4𝝅/5）離れており、合計 20 個のクリフォード平行六角形（120 頂点）が離散ホップファイバを構成します。
- ^ abc 600セルの正方形平面は、2つのクリフォード平行正方形が90° （𝝅/2 ) 離れたところにある 16 セルは 16 セルになります。また、これら 2 つの正方形に平行なクリフォード線には 4 つの等斜線グループがあり、そのうち 3 つのクリフォード線は 60° の 16 セルです ( 𝝅/3 ) 離れたところには 24 個のセルがあります。また、クリフォード平行線には 3 の等斜線グループが 4 つあります: 3 36° ( 𝝅/5 ) 離れて、3 72° ( 2𝝅/5 ) 離れ、3 108° ( 3𝝅/5）離れており、3 144°（4𝝅/5）離れており、合計 30 個のクリフォード平行四辺形（120 頂点）が離散ホップファイバを構成します。
- ^ abcde 4次元空間では、2つの平面の相対的な位置を固定するために2つの角度が必要である。[29] 同じ超平面内のすべての平面は、2つの角度のいずれかで0度離れているため、3次元空間では1つの角度のみが必要である。大十角形は、36°の倍数（0から4）である（𝝅/5 ) 離れている場合もあり、両方の角度が同じ角度離れている場合もあります。[aq] 大六角形は 60° ( 𝝅/3 )離れており、36° の倍数 (0 から 4) になることもあります ( 𝝅/5 ) 離れている。 [ ar] 大正方形は 90° ( 𝝅/2 ) 片方または両方の角度で離れている場合、60° ( 𝝅/3 ) 離れており、36° の倍数 (0 から 4) になることもあります ( 𝝅/5 ) 離れている平面。[as] 等しい角度で隔てられた平面は等傾斜面と呼ばれます。[ap] 等傾斜面にはクリフォード平行大円があります。[af] 大六角形と大十角形は等傾斜面である場合もありますが、多くの場合は で隔てられています。𝝅/3 (60°) の角度との倍数 (1 から 4)𝝅/5 (36°) の角度。
- ^ abcd 24 セルでは、各大正方形平面は別の大正方形平面と完全に直交し、各大六角形平面は 2 つの対蹠頂点のみと交差する平面、つまり大二角形平面と完全に直交します。
- ^ abcde 3次元球面からクリフォード平行大円ファイバーへの各ホップファイバー化には、通常の2次元球面であるマップ（ベースと呼ばれる）があります。[42] このマップでは、各大円ファイバーは単一の点として表示されます。 600セルの大十角形ファイバー化のベースはイコサヘドロンで、各頂点は12の大十角形のいずれかを表します。[24] 位相幾何学者にとって、ベースは必ずしもマップするものの一部ではありません。ベースイコサヘドロンが600セルのセルや内部の特徴であるとは予想されず、単に次元的に類似した球であり、[bc]ファイバー化についての推論に役立ちます。しかし実際には、600 セルにはイコサヘドロン (120 個のイコサヘドロン頂点図形)があり、[p]そのいずれもそのベース (4 次元 600 セル全体の 3 次元 1:10 スケール モデル) と見なすことができます。各 3 次元頂点イコサヘドロンを720 度の等傾斜回転[ao]によって 4 次元 600 セルに持ち上げると、その 4 つの分離した三角形の面のそれぞれが、30 個の四面体セル (それぞれ 3 つのクリフォード平行大十角形で編組)の 4 つの分離した 30 頂点リングの 1 つの周りを巡り、600 セルの 120 個の頂点すべてを訪れます。 12個の十角形大円（4つのリングのうち）は同じ繊維構造のクリフォード平行十角形であるため、二十面体が600セル全体のホップ繊維構造のマップとしてどのように機能するか、ホップ繊維構造が等斜対称性の表現であるかを幾何学的に見ることができます。[43]
- ^ ab 正三角形の30 角形は、600 セルのペトリー多角形とその双対である120 セルです。120 セルのペトリー多角形は、30 セルの Boerdijk–Coxeter らせんリングの双対として 600 セルに存在します。30 セルの中心を接続すると、双対 120 セルのペトリー多角形が生成されます。これは Rolfdieter Frank (2001 年頃) によって指摘されました。これにより、彼は 120 セルの頂点セットが 20 個の交差しないペトリー多角形に分割されることを発見しました。この 20 個の互いに交わらないクリフォード平行斜多角形のセットは、120 セルの離散ホップ ファイバリングです(20 個の双対 30 セル リングが 600 セルの離散ファイバリングであるのと同じように)。
- ^ abc これらは、75 個の内接する 16 セルの √ 2 四面体セルであり、600 セルの √ 0.𝚫四面体セルではありません。
- ^ ab 「プラトン立体のペトリー多角形は、切断の赤道多角形と、単体に分割された球面モザイクの赤道に対応します。この「単体分割」は、立体の対称面によって球が分解される直角球面三角形の配置です。これらの平面にある大円は、以前は「対称線」と呼ばれていましたが、おそらくより鮮明な名前は反射円です。球面ハニカムの類似の単体分割は、多面体の対称超面によって超球（ユークリッド 4 次元空間内）が分解される四面体0123で構成されます。これらの超平面にある大球は、当然反射球と呼ばれます。オルソスキームには鈍角がないので、2 h四面体間の絶対的に最短距離 𝝅/ h を測定する弧が完全に含まれます。2 h四面体はネックレスのビーズのように、または「回転する四面体リング」のように連なっています...その反対側のエッジはヘリコイドの生成子です。各四面体の2つの反対側のエッジは、ねじ変位によって関連しています。[bo]したがって、球の合計数は 2 hです。」[66]
- ^ abc ファイブレーションのクリフォード平行セルリングは、 4 次元多面体のセルが反対面を持つかどうかによって、キラルなオブジェクトである場合とそうでない場合があります。16 セルと 600 セル (四面体セル) の特性セルリングはキラルです。時計回りまたは反時計回りにねじれます。左または右のキラリティのいずれか (両方ではない) で動作する等傾斜線がこの種のセルリングを通過しますが、各ファイブレーションには左セルリングと右セルリングの両方が含まれます。[dk] 四面体、24 セル、120 セル (それぞれ立方体、八面体、十二面体セル) の特性セルリングは直接合同であり、キラルではありません。これらの 4 次元多面体のそれぞれには 1 種類の特性セルリングのみがあり、ねじれてはいません (ねじれがありません)。左手系と右手系の等傾斜線のペアが、この種のセル リングを通ります。これらの 4 多面体 (16 セルを除く) はすべて、固有の繊維化に加えて、内接する先行セル リングの繊維化も含んでいるため、600 セルにはキラル セル リングと直接合同なセル リングの両方が含まれていることに注意してください。
- ^ ab 正 4 次元多面体のセルリングへの分割の選択は任意です。なぜなら、そのセルはすべて同一だからです。4次元多面体が回転しない限り、特定のファイブレーションは区別されません。等傾斜回転では、1 セットのセルリング (1 つのファイブレーション) が、その異なる左右の回転のペアとその等傾斜の唯一のコンテナーとして区別されます。
- ^ ab 600 セルの 120 頂点を 4 つの完全に互いに素な 30 頂点、30 セルのリングに分割する唯一の方法[ad]は、15 個の完全に互いに素な 16 セルのそれぞれを同様に 4 つの対称部分に分割することです。つまり、16 セルの 4 つの直交軸上に 4 つの反対側の頂点ペアが位置します。600 セルには 75 個の異なる 16 セルが含まれており、これらは 15 個の完全に互いに素な 16 セルのセットに分割できます。4 つの完全に互いに素な 30 セル リングのセットには、15 個の完全に互いに素な 16 セルのセットがあり、各 30 セル リングには各 16 セルの 1 つの軸があります。
- ^ abcdef 次元の類推は「常に機能する」のか、それとも「単なる推測」であり、特に低次元から高次元へと推論する場合、正しい次元の類推図を生成できないことがあるのか、と疑問に思う人もいるかもしれない。明らかに、両方向の次元の類推には確固とした数学的根拠がある。Dechant [41]は、帰納法によって 4D 対称群を 3D 対称群の対応するものから導き出し、4D 対称には 3D 対称に固有のものではないものは何もないことを示した。彼は、4D 対称も 3D 対称も、どちらかが他方よりも基本的ではなく、どちらかが他方から導き出せることを示した。これは、次元の類推が Coxeter 群論を使用して計算されるか、Clifford 幾何代数を使用して計算されるかに関係なく当てはまる。これら 2 つのかなり異なる種類の数学は、補完的な幾何学的洞察に貢献している。次元類推数学のもう一つの重要な例はホップファイバレーションです。これは、2 次元球面上の点と 3 次元球面上の互いに交わらない (クリフォード平行) 大円の間のマッピングです。
- ^ 境界となる十角形とは異なり、20 セルリング自体は互いにクリフォード平行ではありません。これは、完全に互いに素な多面体だけがクリフォード平行であるためです。 [g] 20 セルリングには、4 つのクリフォード平行セルリングの 5 つの異なるサブセットがあります。各セルリングは 3 つのクリフォード平行大十角形で境界付けられているため、4 つのクリフォード平行セルリングの各サブセットは、合計 12 個のクリフォード平行大十角形で境界付けられます (離散ホップファイバリング)。実際、4 つのセルリングの 5 つの異なるサブセットのそれぞれは、同じ12 個のクリフォード平行大十角形で境界付けられています (同じホップファイバリング)。つまり、同じ 12 個の十角形を 4 つのセルリングのセットとして見る方法は 5 通りあります (つまり、それらを 20 セルリングの 1 セットとして見る方法は 1 つだけです)。
- ^ 異なる色のセルのらせんは、同じファイブレーション内の異なるセル リング (またはリング状の穴) であり、 4 次元多面体の異なるファイブレーションではないことに注意してください。各ファイブレーションは、4 次元多面体全体です。
- ^ abcde 二重回転では、各頂点は同時に 2 つの完全に直交する大円に沿って移動すると言えますが、元の大円のいずれかの中心平面内にとどまることはありません。むしろ、大円の間を対角線状に横断する螺旋状の測地線に沿って移動します。2 つの完全に直交する回転平面は、各平面が移動し、もう一方の平面が回転する角度だけ横に回転および傾斜しても、各平面の点は平面内の所定の位置にとどまるため、不変であると言われています。
- ^ abc 回転する 2 次元球面の不変軸の極は、回転する 3 次元球面の不変平面のペアと次元的に類似しています。回転する 2 次元球面の極は、3 次元球面上の連結された大円と次元的に類似しています。次元的な類推により、3 次元の各 1 次元点は 4 次元の 2 次元線 (この場合は円) に持ち上げられます。[av] 2 つの反対側の回転極は、クリフォード平行で連結されているだけでなく、[af] 完全に直交している円形ホップ繊維のペアに持ち上げられます。4次元回転の不変大円はその極です。等傾斜回転の場合、そのような 2D 極のペア (完全に直交するホップ大円ファイバー) は 1 つだけではなく、多数存在します。3 次元球面のファイバー化が離散的である場合 (たとえば、頂点の数が有限の正多面体) は円のペアの数が有限であり、それ以外の場合は 3 次元球面を完全に埋め尽くす直交円のペアの数が無限です。3 次元球面の曲がった 3 次元空間内のすべての点は、そのような円の1 つ上にあります(2 つ上に存在することはありません。なぜなら、完全に直交する円は、すべてのクリフォード平行ホップ大円ファイバーと同様に、交差しないからです)。2D 回転には 1 つの極があり、2 次元球面の 3D 回転には 2 つの極がありますが、3 次元球面の等傾斜 4D 回転には、無限の数の極しかありません。離散 4 次元多面体では、回転のクリフォード平行不変大多角形はすべて極であり、4 次元多面体を埋め、すべての頂点を 1 回だけ通過します。このような回転の 1 回転で、空間内のすべての点がその極円を正確に 1 回ループします。円は驚くべき対称性で配置され、各極円は他のすべての極円とリンクします。これは、すべての円が互いにリンクされているが、2 つの円が交差しない、最大密度の 4Dチェーン メールのようなものです。
- ^ スナブ四面体の 4 つの赤い面は、ファイバ (そのサブファイバ) の疎な構成の 4 つの完全に互いに素なセル リングに対応しています。赤い面は、内接四面体の頂点を中心とし、内接四面体の大きい方の面の中心にあります。
- ^ ab八面体は 切り詰めると二十面体になるため、 [48]二十面体は切り詰め八面体とも呼ばれる。この用語は特に二十面体の面の対称性が低い配置（ある色の面が8つ、別の色の面が12つ）を指す。
- ^ abc 120ポイント600セルには120個の重なり合った二十面体ピラミッドがあります。[p]
- ^ 20 面体は 3 次元ユークリッド空間では放射状に正三角形ではありませんが、20 面体ピラミッドは 600 セルの表面 ( 3 次元球面) の湾曲した 3 次元空間では放射状に正三角形です。4 次元空間では、頂点から放射状に伸びる 12 の辺は実際には半径ではありません。つまり、 20 面体ピラミッドの頂点は実際には中心ではなく、頂点の 1 つにすぎません。しかし、湾曲した 3 次元空間では、頂点から対称的に放射状に伸びる辺は半径であるため、20 面体はその湾曲した 3 次元空間では放射状に正三角形です。4 次元ユークリッド空間では、中心点から対称的に放射状に伸びる 24 の辺が放射状に正三角形の 24 セルを形成し、それらの辺の対称的な 16 のサブセットが放射状に正三角形の四次元方陣を形成します。
- ^ 2 つの青い面の間にある 20 面体のエッジは、2 つの青い面を持つ 20 面体のピラミッド セルと、隣接する 5 つのセルのクラスターからの 3 つのセル (そのうちの 1 つは 5 つの中心の四面体) に囲まれています。
- ^ 「 スナブ オクタヘドロン」二十面体の各頂点の周りの五角錐はすべて同じに見え、2 つの面が黄色、3 つの面が青です。各五角形には 5 つの異なる回転方向があります。いずれかの五角錐を回転させると、それらすべてが回転するため、5 つの回転位置が色を配置する唯一の 5 つの異なる方法になります。
- ^ 正方形の面を折り始める対角線には 2 つの選択肢があるため、収縮はキラルであることに注意してください。
- ^ abc Q を回転、R を反射、T を並進とすると、Q q R r T は、互いに可換な複数の変換の積を表す。この場合、RT はすべり反射（2 次元または 3 次元）、QR は回転反射、QT はらせん変位、Q 2 は二重回転（4 次元）である。すべての直交変換は、
2 q + r ≤ n（次元数）
として
Q q R rと表される。並進を含む変換は 、2 q + r + 1 ≤ nとして Q q R r Tと表される。特にn = 4 の 場合、すべての変位は二重回転 Q 2またはらせん変位 QT （回転成分 Q は単純回転）のいずれかである。4 次元空間（キラリティーを反転）のすべてのエナンチオモルフ変換は QRT である。[69]
- ^ これらの変換は、反射によって生成されるコクセター群の直交変換には含まれません。[bo]これらは、回転群でも反射群でもない唯一の多面体点群であるピリトヘドラル3D対称群の変換です。[53]
- ^ 24セルの正八面体中央セクション（√1正八面体セル内ではなく、中央超平面にあるより大きな√2正八面体内）には頂点二十面体[p]があり、24セルの立方八面体にはより大きな二十面体がある。2つの異なるサイズの二十面体は、600セルの2番目と4番目のセクション（頂点から始まる）である。八面体と立方八面体は、24セルの中央セクション（それぞれ頂点とセルから始まる）である。[50] 立方八面体、大きな二十面体、八面体、小さな二十面体はロシア人形のように入れ子になっており、らせん状の収縮によって関連している。[51] 収縮は、立方八面体の正方形の面が対角線に沿って内側に折り畳まれ、三角形のペアを形成することから始まります。[bn] 立方八面体の12の頂点は、正二十面体（大きな二十面体）を形成する点まで互いに近づきます。それらはわずかに近づいてジェッセン二十面体を形成します。それらは互いに向かって螺旋状に動き続け、八面体の8つの頂点に融合します。[52]そしてそれらは同じ螺旋状の経路に沿って動き続け、再びスナブ八面体（小さな二十面体）の12の頂点に分離します。[bi] S 3のこの一連の変換[bp] の幾何学は、R 3の立方八面体とテンセグリティ二十面体の運動学に似ています。これらの多面体間のねじれと膨張収縮の変換は、バックミンスター・フラーによってジッターバグ変換と名付けられました。[54]
- ^ これらの 12 個のセルは、中央のセルにエッジ結合し、5 つのクラスターの外面に面結合し、ペアで互いに面結合しています。これらは、5 つのクラスターを囲む 6 つの異なる 20 面体ピラミッド内の青い面を持つセルです。
- ^ √ 1四面体の体積は 9 √ 0.𝚫四面体セルの体積です。600 セルの湾曲した 3 次元体積では、5 つのセルのクラスターが取り囲まれますが、クラスター全体は満たされていません。5 つのセルのクラスターの凹部に収まる 6 つの双錐 (12 個のセル) は、クラスター全体を満たしすぎます。各双錐の 3 分の 1 だけが √ 1 四面体の内部にあります。双錐は 12 個のセルのそれぞれ 3 分の 1 を占め、体積は 4 個のセルに相当します。
- ^ 600 セルには 600 個の八面体も含まれています。セルで始まる 600 セルの最初のセクションは四面体で、3 番目のセクションは八面体です。これらの内部八面体は、体積的に分離されていないため 600 セルのセルではありませんが、それぞれが 25 個の内部 24 セルの 1 つのセルです。600 セルには 600 個の立方体も含まれており、それぞれが 75 個の内部 8 セル四次元体の 1 つのセルです。[ah]
- ^ 八面体セルの各√ 1辺は、別の四面体二角錐 (さらに 2 つの面結合した四面体セル) の長径です。24 セルでは、3 つの八面体セルが各辺を囲んでいるため、二角錐の 1/3 が各八面体の内側にあり、隣接する 2 つの凹面に分割されています。各凹面は、その 3 つの辺を囲む 3 つの二角錐のそれぞれ 1/6 で埋められているため、1 つの四面体セルと同じ体積になります。
- ^ √ 1八面体セル (600 セルに内接する任意の 24 セル) には、すべて同じ超平面にある 6 つの頂点があります。これらの頂点は、600 セルの八面体セクション (平坦な 3 次元スライス) を囲みます。25 個の四面体セルで満たされた同じ√ 1八面体には、600 セルの 3 つの平行な 3 次元セクション (6 点の√ 1八面体セクション、4 点の√ 1四面体セクション、および 4 点の√ 0.𝚫四面体セクション) に合計 14 の頂点があります。 600 セルの表面の湾曲した 3 次元空間では、√ 1八面体が√ 1四面体を囲み、さらに√ 0.𝚫四面体を囲む3 つの同心円状の殻として囲まれています。この 14 頂点の 4 多面体は、正八面体の底面を持つ 4 角錐です。頂点が 1 つしかない標準的な八面体角錐(頂点は 7 つだけ) ではなく、不規則な切頂八面体角錐です。底面は 24 セルの八面体セルである正八面体であるため、この 4 角錐は24 セルの表面にあります。
- ^標準的な √ 1八面体ピラミッドの頂点は、より短い√ 0.𝚫辺を持つ正四面体セルに切り詰められ、頂点が 4 つの頂点に置き換えられました。この切り詰めによって、さらに 4 つの頂点 (八面体ベースと頂点の四面体セルの間の超平面に√ 1四面体として配置) が作成され、これらの 8 つの新しい頂点が√ 0.𝚫辺でリンクされました。したがって、切り詰められたピラミッドには、八面体ベース超平面上に 1 つの頂点ではなく 8 つの「頂点」頂点があり、合計 14 の頂点があります。元のピラミッドには平らな側面がありました。つまり、任意のベース頂点から反対側のベース頂点までの 5 つの測地線ルートは、2 つの√ 1辺に沿って走っていました (これらのルートのうち 1 つだけが単一の頂点を通っていました)。切頂ピラミッドの側面は丸みを帯びており、任意の底辺から反対側の底辺までの 5 つの測地線経路が 3 つの√ 0.𝚫辺に沿って走ります (2 つの「頂点」を通過します)。
- ^ この 14 頂点、25 セルの不規則 4 次元多面体に最も近い均一 4 次元多面体は、10 頂点、10 セルの修正 5 次元多面体とその双対 (両方の特徴を持つ) であると考えられます。
- ^ ab 100 個の四面体からなる凸凹した「卵形」の正方形が、クリフォード トーラスの滑らかな表面上にどうやって置けるのでしょうか? [cd]しかし、平らな 10x10 の正方形が 120 頂点の 600 セル (他の 20 頂点はどこにある) を表すことができるのでしょうか? 600 セルの等斜回転を大十角形不変平面で実行すると、クリフォード トーラスは、ちょうど 100 個の四面体セルの中央辺と交差する滑らかなユークリッド 2 次元表面になります。辺は四面体に 6 つあるものです。中央辺は 600 セルの頂点ではありませんが、半径が等しい双対多面体である 120 セルの 600 頂点すべてです。120 セルには、2 つの異なる方法で 5 つの互いに交わらない 600 セルが内接しています。この独特な滑らかなクリフォード トーラス (この回転) は、60 個の 10 角形不変平面における 120 セルの離散ファイバ化であり、12 個の 10 角形不変平面における 600 セルの離散ファイバ化です。
- ^ ab 二十面体間の環状リングの隙間は、2 つの二十面体が出会う頂点ですべて出会う、面結合した 10 個の四面体のリングで埋められています。この 10 セルのリングは、上面と下面の両方がボウルのようにくり抜かれた五角形の逆柱のような形をしており、中心の厚さは 0 です。この中心の頂点は、600 セルの他のすべての頂点と同様に、20 個の四面体が出会う二十面体ピラミッドの頂点です。[bj] したがって、10 個の四面体の環状リング自体は、二十面体ピラミッドの赤道リングであり、二十面体ピラミッドの 20 個のセルの 10 個を含みます。
- ^ 三角形の面を持つ 150 セルの列の 100 面の表面は、10 エッジのパスに沿って縦にはさみで切断し、剥がして 10×10 の三角形の平行四辺形として平らに置くことができます。
- ^ 150 セルのトーラスの 100 面の表面は凸面と凹面が交互になっているため、100 個の四面体が面結合したペアでその上に積み重なり、隆起した頂点を共有し、以前は露出していた谷の端を埋める 50 個の三角双錐となります。三角双錐は、150 セルの列の外側の表面をまっすぐに上下に走る 5 本の平行線 (それぞれ 5 個の双錐 (10 個の四面体)) で頂点結合されています。
- ^ 5 つの十角形が時計回りに螺旋し、5 つの十角形が反時計回りに螺旋し、50 個の谷頂点で交差します。
- ^ ab クリフォード・トーラスは、剛体3次元球面の等傾斜回転のホップ繊維束であり、そのすべての点が回転する。4次元空間に埋め込まれたトーラスは、二重回転と同様に、2 つの完全に直交する大円の直積である。これはリングドーナツではなく、充填されたドーナツである。3 次元球面には、それが囲む4 次元球体以外に穴はない。正 4 次元多面体には、固有の回転対称性の数がそれぞれ異なるため、固有のクリフォード・トーラスの数も異なる。それぞれは、完全に直交する不変平面のペアの異なるセットを持つ等傾斜回転で、すべての離散点にそれぞれ 1 回ずつ到達する離散繊維を形成する。
- ^ 正二十面体ピラミッドの同じ10面体ベルトは、頂点の周囲に10個の四面体からなる環状リングである。[bz]
- ^ abc 600セルのペトリー多角形は、斜めの三十角形{30}です。直交投影では、30セルリングの3つのクリフォード平行大十角形の間の空間を橋渡しする、左右に60°ジグザグする三十四角形{30/3}=3{10}のらせんの円周として見ることができます。完全に直交する平面では、通常の三十四角形{30/11}に投影されます。[62]
- ^ ab ボルダイク・コクセター三重らせん環の30の頂点は、3つの10角形の中心平面に位置し、それらは完全に直交しているわけではなく、まったく直交しているわけでもないが、1点（600セルの中心）でのみ交差している。π/5離れています。[at] それらの十角形の大円はクリフォード平行です。つまり、どの点でも 600 セルの辺の長さが 1 つ離れています。[af]これらはらせんではなく 、通常の 2 次元の大円ですが、連結されたクリフォード平行円です。
- ^ abc 等斜測地線は、4次元空間で完全に直交する2つの平面を同時に曲がる1次元測地線という意味で、 4次元大円です。これらは、 3次元空間の2次元大円（1次元大球面）の4次元類似体[bc]である2次元大球面[73]と混同しないでください。
- ^ 20 個の 30 セル リングはキラルオブジェクトであり、時計回り (右) または反時計回り (左) に螺旋を描きます。150 セル トーラス (大十角形を囲む、同じキラリティの 5 つのセル分離した 30 セル リングで形成) 自体はキラル オブジェクトではありません。これは、5 つの平行な左手リングまたは 5 つの平行な右手リングに分解できるためです。20 セル リングとは異なり、150 セル トーラスは、24 セルの八面体 6 セル リングのように、ねじれがなく直接合同です。各大十角形は、それを囲む 5 つの左手 30 セル リングと、それを囲む 5 つの右手 30 セル リングを持ちますが、左手 30 セル リングと右手 30 セル リングはセル分離しておらず、異なる異なる回転 (同じファイバの左回転と右回転) に属します。どちらの等傾斜回転（左または右）でも、600 セルの頂点は、20 個の左 30 セル リングまたは 20 個の右 30 セル リングの軸 15 グラム等傾斜に沿って動きます。したがって、大 10 角形、30 セル リング、および 150 セル トーラスはすべて、クリフォード平行連結円のセットとして発生しますが、[af]これら 3 つの異なる種類のクリフォード平行多面体について、それらが一緒に入れ子になり、互いに交差することを避け、ホップ リンクを形成するために互いを通過し合う正確な方法は同一ではありません。これは、連結されたペアが、固有のキラリティを持たない（10 角形）、同じキラリティを持つ（30 セル リング）、または正味のねじれがなく左と右の両方の内部構成を持つ（150 セル トーラス）などさまざまであるものの、どの左または右の回転でも、同じ内部構成のキラリティをトレースするためです。
- ^ 600 セルの 10 角形ファイバの 20 面体ホップマップ[av]上の点は、大 10 角形になります。三角形の面は 30 セルのリングになります。5 面の五角錐は 150 セルのトーラスになります。 [58]大反プリズム分解では、完全に互いに素な 2 つの 150 セルのトーラスが対蹠五角形から持ち上げられ、その間に 10 個の 20 面体の赤道リングが残ります。10 個の三角形のペトリー 10 角形は 10 個の 30 セルのリングになります。2 つの完全に互いに素な 150 セルのトーラスには、互いに素な (クリフォード平行) 12 個の 10 角形と 120 個の頂点がすべて含まれているため、完全なホップファイバが構成されます。この種の 150 セルのトーラスをこれ以上置く余地はありません。600 セルをこの種の 4 つの 150 セルのトーラスに分解するには、二十面体マップを内接四面体の頂点を中心とする 4 つの五角形に分解する必要がありますが、二十面体はそのようには分解できません。
- ^ ab (Coxeter 1973) では、ギリシャ文字の 𝝓 (ファイ) を使用して、正多面体の3 つの特性角𝟀、𝝓、𝟁 のいずれかを表します。𝝓 は、Coxeter が 𝝉 (タウ) を使用する黄金比定数 ≈ 1.618 を表すためによく使用されるため、ここでは Coxeter の慣例を逆にして、特性角を表すために 𝝉 を使用します。
- ^ 正 4 次元多面体の中心で交わる各 4 次元正方格子の 4 辺の長さは等しくありません。これは、正 4 次元多面体の 4 つの特性半径 (頂点半径、辺中心半径、面中心半径、セル中心半径) であるためです。4 次元正方格子の 5 つの頂点には、常に 1 つの正 4 次元多面体頂点、1 つの正 4 次元多面体辺中心、1 つの正 4 次元多面体面中心、1 つの正 4 次元多面体セル中心、および正 4 次元多面体中心が含まれます。これらの 5 つの頂点 (この順序) は、4 次元正方格子の特徴である、互いに垂直な 4 辺 (3 回の直角ターン) に沿ったパスを構成します。4 次元正方格子には、5 つの異なる 3 次元正方格子面があります。
- ^ (3 次元) 多面体の反射面は 2 次元の面で構成され、(4 次元)多面体の反射面は3 次元のセルで構成されます。
- ^ abcdefg 36° の等傾斜回転は、同時に 2 つの 36° の単純回転です。[dw]すべての頂点が同時にさまざまな方向に 60° 移動します。それぞれ 36°×36° の 15 の連続した対角回転増分により、各頂点が 900° 移動し、等傾斜と呼ばれる円周 5𝝅 のメビウスの二重ループ上の 15 頂点を通過します。このループは 600 セルの周りを巻き、元の点に戻ります。これは、通常の {10} 大円 (10 回転増分) 上で頂点が 600 セルの周りを一周するのにかかる単純回転の 1.5 時間 (15 回転増分) です。[cs]らせん状の二重ループ 5𝝅 等傾斜線は、単純な大円の 1.5 倍の周期 (弦は 10 ではなく 15) を持つ特別な種類の単一の完全な円です。等傾斜線は1 つの真の円であり、弦が φ 長く、円周が 2𝝅 ではなく 5𝝅 で、2 次元ではなく 4 次元で回転し、同じ円周の円はすべて直接合同であるにもかかわらず、2 つのキラル形式 (左と右) で動作します。それでも、混乱を避けるために、私たちは常にそれを等傾斜線と呼び、平面上の通常の大円に対しては大円という用語を使用します。 [ao]
- ^ ab 600セルには7200の異なる回転変位があり、それぞれに不変回転面があります。7200の異なる中心面は、25の異なる等傾斜回転のクリフォード平行不変回転面のセットにグループ化することができ、通常はそれらのセットとして与えられます。[75]
- ^ abcde任意の 二重回転（等傾斜回転を含む）は、2 つの単純回転 a と b の合成として見ることができる。すなわち、左の二重回転はa の次にb、右の二重回転はb の次にaである。単純回転は可換ではない。左回転と右回転は（一般に）異なる目的地に到達する。二重回転とそれを構成する 2 つの単純回転との違いは、二重回転が 4 次元的に対角である点である。つまり、各移動頂点は、単一のらせん測地線上を回転することで、 a の次に b が触れる中間点、または b の次に a が触れるもう 1 つの中間点を通過せずに、直接目的地に到達する（したがって、最短経路となる）。 [ bf]逆に、任意の単純回転は、 Cayleyによって発見された 2 つの等角度の二重回転（左等傾斜回転と右等傾斜回転） の合成として見ることができる。驚くべきことに、この合成は可換であり、任意の二重回転でも同様である。[72]
- ^ ab 等傾斜回転では、各頂点は少なくとも 2 辺の長さ離れた隣接していない頂点に移動します。5 セル、16 セル、24 セル、および 600 セルの特徴的な等傾斜回転では、隣接していない頂点は、いくつかの大円測地線経路の 1 つに沿ってちょうど 2 辺の長さ離れています。つまり、隣接セルの反対側の頂点です。8 セルでは、同じセル内でジグザグに 3 辺の長さ離れています。つまり、立方体の反対側の頂点です。120 セルでは、同じセル内でジグザグに 4 辺離れています。つまり、正十二面体の反対側の頂点です。
- ^ abc 等傾斜回転では、4 次元多面体内のどの点でも、4 次元対角線上で 4 つの直交方向に同時に等しい距離を移動します。[ao] 点は、合計で 4 の平方根にその距離の 2 乗をかけたものに等しいピタゴラス距離だけ移動します。すべての頂点は、少なくとも 2 辺の長さ離れた頂点に移動します。[cq] たとえば、単位半径 600 セルが 10 角形不変平面で 36 度、完全に直交する不変平面で 36 度等傾斜回転すると、[an]各頂点は√ 1 (60°) 離れた別の頂点に移動し、4 つの直交方向に√ 1/4 = 1/2 単位半径移動します。
- ^ abc 600 セルの螺旋状の 15 角形 2 測地線は、メビウスの帯のように 4 次元でねじれたリングに曲げられているため、そのねじ山は各回転の後に 2 重に戻り、回転方向 (左または右) が反転することはありません。30 頂点の等傾斜路はメビウスの二重ループをたどり、2 回転で横断する 15 頂点の連続した単一のループを形成します。メビウスの螺旋は測地線の「直線」または等傾斜線です。等傾斜線は、ペトリー多角形よりも低周波数 (より長い波長) のスキュー多角形の頂点を接続します。ペトリーの三角錐には√ 0.𝚫の辺があり、等傾斜の 15 角形2には√ 1 の辺があり、2 つの√ 0.𝚫辺離れた頂点を接続します。各√ 1辺は異なる大六角形に属し、連続する√ 1辺は異なる 24 セルに属します。これは、等傾斜回転により六角形がクリフォード平行六角形になり、連続するクリフォード平行 24 セルを通過するためです。
- ^ ab すべての等傾斜線は測地線であり、3次元球面上の等傾斜線は円（各次元で等しく曲がっている）であるが、4次元空間内の3次元多様体上のすべての等傾斜線が円であるわけではない。
- ^ abcd 等斜回転[ao]は、600 セルの 600 セル (および 120 頂点) を、偶数と奇数 (または黒と白) の 300 セル (および 60 頂点) の 2 つの互いに素なサブセットに分割します。これらのサブセットは、黒または白の等斜線上で互いに位置をシフトしますが、これは、ビショップの対角線の動きがチェス盤の白または黒のマス目に制限される方法と次元的に類似しています[bc]。[du]黒と白のサブセットは、等斜回転の黒と白の不変大円多角形の間でも分割されます。離散回転 (頂点の数が有限の 4 次元多面体など) では、黒と白のサブセットは、不変大円多角形 {2p} に内接する大多角形 {p} の集合に対応します。たとえば、600 セルでは、黒と白の大五角形 {5} が、特性十角形等傾斜回転の不変大十角形 {10} に内接しています。重要なことは、同じ別個の等傾斜回転の黒と白の多角形 {p} のペアが、同じ {2p} 多角形に内接することは決してないということです。各不変 {2p} 多角形には常に黒と白の {p} 多角形が内接していますが、それらは別個の等傾斜回転、つまり同じフィブラトンの左回転と右回転に属し、同じ不変平面セットを共有しています。黒 (白) 等傾斜は黒 (白) 大 {p} 多角形とのみ交差するため、各頂点は黒または白のいずれかになります。
- ^ abcde 等 傾斜線の弦の経路は、4 次元多面体のクリフォード多角形と呼ばれることがあります。これは、4 次元多面体の頂点がその特徴的なクリフォード変位で横断する回転円の斜めの多角形であるためです。 [86] 等傾斜線は、完全な二重回路の過程で 2 回そのキラリティーを反転するらせん状のメビウスの二重ループです。二重ループは、単一のセル リング内に完全に含まれており、偶数 (奇数) の頂点 (通常は、2 辺の長さが離れた隣接セルの反対側の頂点) を接続する弦に沿っています。[cu]二重ループの両方の「半分」は、セル リングの各セルを通過しますが、各偶数 (奇数) セルの 2 つの偶数 (奇数) 頂点とのみ交差します。偶数 (奇数) セルの交差する各頂点のペアは、メビウスの帯 上で互いに反対側にあり、正確に 1 辺の長さが離れています。したがって、各セルには 2 つのらせんが通っており、各平行点のペアで反対のキラリティを持つクリフォード平行線[af]です。全体的に見ると、これらの 2 つのらせんは両方のキラリティが 1 つに連結された円であり[cn]、正味のねじれはありません。等傾斜線は、左 (または右) 回転 (異なる繊維) によって横断される場合、左 (または右) 等傾斜線として機能します。
- ^ ab 3次元球面上の等傾斜線は、偶数/奇数の座標パリティの交差しないペアで発生します。[cu] 単一の黒または白の等傾斜線は、{1,1}トーラスノットまたはヴィラルソー円と呼ばれるメビウスループを形成します[74]。このメビウスループでは、2つの「円」が「8の字」メビウスループでリンクされ、それぞれが4次元全体を横断します。[cv] 二重ループは、4次元の真の円です。[cn] 偶数と奇数の等傾斜線も、メビウスループではなく、交差しない2つの円のホップリンクとしてリンクされています[af]ホップファイバーバンドルのすべてのクリフォード平行等傾斜線と同様に。
- ^ ab 4次元空間における回転は、不変平面と、その不変平面が回転する角度と方向（左または右）を選択することによって完全に特徴付けられ、その完全に直交する不変平面が回転する別の角度と方向を選択することによって完全に特徴付けられます。2つの回転変位は、同じ角度で同じ方向（したがって同じカイラル方向の組み合わせ）を通る同じ不変回転平面のペアを持つ場合、同一です。したがって、4次元空間における一般的な回転は、 2つの角度によって特徴付けられる二重回転です。単純回転は、1つの回転角度が0である特殊なケースです。 [cp]等 傾斜回転は、同じ角度を通る2つの単純回転に似ていますが、同一ではない別の特殊なケースです。[ao]
- ^ abc 各単純回転には単一の不変平面と、完全に直交する固定平面がある。各等傾斜回転には、完全に直交する不変平面のペアが無数存在し、すべて同じ角度で回転する。 [bg]それにもかかわらず、すべての中心平面が回転不変平面であるわけではない。等傾斜回転の不変平面は、4次元多面体全体のファイバ化を構成する。[77] 600セルの頂点から頂点への等傾斜回転ごとに、12個のクリフォード平行大十角形、または20個のクリフォード平行大六角形、または30個のクリフォード平行大正方形が回転不変平面である。
- ^ 等傾斜回転では、各不変平面は移動先の平面とクリフォード平行であり、いかなる時点でも交差しません (中心点を除く)。単純回転では、不変平面は移動先の平面と一直線に交差し、その線の周りを回転して移動します。
- ^ クリフォード変位は等傾斜回転とも呼ばれ、クリフォード平行[af]不変平面[cy]のすべてが4 つの直交方向 (完全に直交する 2 つの平面) に同時に変位します。つまり、これらの平面は同じ角度で回転し、同時に同じ角度で横に傾けられます。クリフォード変位は4 次元的に対角です。[cr] 完全に直交する平面の 1 つにクリフォード平行であるすべての平面は、等傾斜回転に対して不変です。つまり、平面内のすべての点は円を描いて回転しますが、平面全体が横に回転しても平面内にとどまります。[cz]すべての中心多角形 (すべての種類) は同じ角度で回転します (すべてが不変であるわけではありません)。また、同じ種類のクリフォード平行多角形に対して同じ角度で横に変位します。
- ^ 24セル内の3つの16セルは60°回転します（𝜋/3）は互いに等傾斜回転します。等傾斜回転は2つの完全に直交する平面で同時に回転するため、対応する頂点は120°（2𝜋/3 ) 離れています。単位半径の 4 次元多面体では、120° 離れた頂点は√ 3弦で結合されています。
- ^ abc による等傾斜回転𝜋/5十角形不変平面[di]では、600 セル内のあらゆる中心多角形、測地セルリング、または内接 4 次元多面体[f] がクリフォード平行多面体 になります𝜋/5離れて。
- ^ ab 600セルの各頂点には5つの24セルが接しており[i]、頂点が24セル（または等傾斜回転[dc]で一度に24セルすべて）を隣接する24セルに向かって直接回転させるために移動できる4つの異なる方向があります。
- ^ ab 等 傾斜回転によって到達する分離した 24 セルは、隣接する 4 つの 24 セルのいずれでもありません。二重回転[ cx]は、回転する先の隣接する 24 セルを通過し (通過しない)、[dd]完全に分離しているより遠い 24 セルまで左または右に移動します。[g] 4 つの方向は 8 つの異なる 24 セルに到達します[d]。これは、等傾斜回転では、各頂点が 2 つの完全に直交する大円に沿って同時に螺旋状に移動するためです。4 つのパスは右ねじ(ほとんどのねじやボルトと同様) で、円に沿って「同じ」方向に移動しています。4 つのパスは左ねじ (逆ねじのボルトと同様) で、円に沿って慣例的に「反対」方向 ( 4 つの座標軸のそれぞれで「上」の方向を慣例的に指定する右手の法則による) に移動します。[ 78]
- ^ すべての等斜多角形はクリフォード平行線（完全に分離）である。 [ g]多面体（3次元多面体）と多角形（4次元多面体）は、対応する中心多角形がすべてクリフォード平行線、共細胞（同じ超平面にある）、または一致（同じオブジェクト、共有）である場合、等斜であり分離していない可能性があります。たとえば、24セル、600セル、120セルには、内接する四角形（8セル）のペアが含まれており、それらは等斜に回転します𝜋/3これらは互いに隣接していますが、互いに交わっていません。つまり、16 個のセル(8 つの頂点、6 つの大正方形、4 つの八面体中心超平面) を共有しており、それらの大正方形の対応するペアのいくつかは、クリフォード平行 (互いに交わらない) ではなく共細胞 (交差) です。
- ^ abc 600 セルの各頂点には、隣接する (互いに素でない) [g] 24 セルが 4 つあり、各セルにはその方向への単純な回転で到達できます。[dd] 各 24 セルには、各頂点で交差する 4 つの大六角形があり、そのうちの 1 つは隣接する 24 セルと共有されます。単純な回転では、600 セルが共通の六角形平面の周りを回転しても、その六角形平面は固定されたままです (頂点は移動しません) 。24 セルには合計 16 の大六角形があるため、他の 16 個の 24 セルと隣接しています (互いに素でない)。[d]単純な回転で到達できることに加えて、16 個の各セルには、共有六角形平面が固定されていない 等傾斜回転でも到達できます。等傾斜回転では、共有六角形平面は固定されていません。等傾斜回転は (不変ではなく) を通って回転します。𝜋/5。二重回転は、2つの連続した単純回転を間接的に経ているかのように、隣接する24セルに直接到達します。 [cp]最初に他の隣接する24セルの1つに到達し、次に目的の24セル（両方に隣接）に到達します。
- ^ ab 600 セルでは、任意の頂点を他の任意の頂点に直接移動する単純な回転があり、他のほとんどの頂点またはすべての頂点も移動しますが、最大で 6 つの他の頂点 (固定された中心平面が交差する頂点) は固定されたままになります。頂点は、大十角形、大六角形、大正方形、または大二角形の隣接する頂点間の不変回転平面の大円に沿って移動し、 [ au]完全に直交する固定平面は、それぞれ 0 個の頂点 (30 角形)、[an] 2 個の頂点 (二角形)、4 個の頂点 (正方形)、または 6 個の頂点 (六角形) と交差します。2 つの互いに素でない24 セルは、 を介した単純な回転によって関連付けられます。𝜋/5二角形の中心面は、それらの共通六角形の中心面と完全に直交しています。この単純な回転では、六角形は動きません。2 つの分離していない24 セルは、共有六角形面が移動する等傾斜回転によっても関連しています。[dg]
- ^ 10角形不変平面における等傾斜回転は、24の不変平面における等傾斜回転です。12のクリフォード平行10角形平面、[cy]と、それらの10角形平面のそれぞれに完全に直交する12のクリフォード平行30角形平面です。[an] 不変平面が完全に直交する2つの方向に同時に回転すると、[bf]平面内のすべての点がそれらとともに移動し (平面内にとどまり、それらとともに回転します)、4次元空間を通るらせん状の等傾斜線[ao]を描きます。ただし、 600セルの離散10角形ファイバリング (考慮される点は120の頂点のみ) では、12の30角形平面には点が含まれないことに注意してください。
- ^ ab回転する 六角形の 見かけ上の不一致に注目してください。𝜋/5 、それらの反対の頂点のみがの整数倍であるため𝜋/5離れている。しかし、六角形 1 辺離れた 600 セル頂点は、ちょうど 2 つの十角形辺と 2 つの四面体セル (1 つの三角形の双錐体) 離れていることを思い出してください。六角形には、10 の個別のファイブレーションとセルリングがあり、十角形ファイブレーションに平行なクリフォードではなく、5 の 24 セルが各頂点で出会い、各ペアが六角形を共有するという点で 5 倍[k]です。[i] 各六角形は、によって不変に回転します。𝜋/5非分離24セル間の六角形等傾斜回転。 [dg]逆に、十角形不変平面のすべての 𝜋/5 等傾斜回転では、すべての頂点が六角形の辺に沿う等傾斜線[ao]に沿って移動します。
- ^ abcd 各等傾斜線には固有のキラリティーはありませんが、左等傾斜線または右等傾斜線として動作できます。これは、異なるファイバの明確な左回転と明確な右回転によって共有されます。
- ^ ab それぞれ {4}、{6}、または {10} の大多角形不変平面のクリフォード平行束における 3 種類の {2p} 等傾斜回転間の類似関係は、正則凸 4 次元多面体間の複雑な入れ子関係の中心にあります。[a] 24 セルの√ 1六角形 {6} 回転特性 では、等傾斜弦 (ポリグラム エッジ) は単に大六角形の√ 3弦であるため、単純な {6} 六角形回転と等傾斜 {6/2} 六角形回転はどちらも 6 頂点の円を回転させます。特別な種類の大円である六角形等傾斜の円周は、六角形の 2𝝅 大円と比較して 4𝝅 です。[dq] 各 {6} 大六角形に完全に直交する不変中心平面は {2} 大二角形です。 [au]したがって、六芒星の等傾斜 {6} 回転は軸の {2} 回転でもあります。[dh] 16 セルの√ 2平方 {4} 回転特性 では、等傾斜ポリグラムは八芒星であり、等傾斜の弦はその√ 2辺と√ 4直径であるため、等傾斜は円周 4𝝅 の円です。等傾斜回転では、{8/3} 八芒星の 8 つの頂点の位置が入れ替わり、等傾斜が 3 次元球面の周りを3回巻く ときに、それぞれが 720° を 1 回転します。各 {4} 大正方形に完全に直交する不変中心平面は、√ 4離れた別の {4} 大正方形であるため、正方形の右{4} 回転は正方形の左{4} 回転でもあります。16 セルの双対多面体である8セル四次元体は、同じ単純な {4} 回転と等傾斜 {8/3} 回転を継承していますが、その特徴的な等傾斜回転は、{4} 大長方形または {2} 大二角形 (後継の 24 セルから) を含む完全に直交する不変平面で発生します。 8セルでは、これは√ 1 × √ 3の長方形の回転であり、また√ 4軸の回転でもあるが、 8セルと24セルが同じ辺の長さを持つという特異な状況の結果として、24セルの{6}個の大六角形（大長方形が内接する）の特性回転と同じ等傾斜回転である。600セルの√ 0.𝚫十角形{10}回転特性では、等傾斜弦は√ 1六角形の辺、等傾斜多角形は 15 角形であり、等傾斜の円周は 5𝝅 です。[cn] 等傾斜 {15/2} 15 角形回転は、{10} 頂点の単純 10 角形回転と同じ時間で、{15} 頂点の円を回転させます。各 {10} 大 10 角形に完全に直交する不変中心平面は {0} 大 0 角形です。[al]したがって、10 角形の {10} 回転は、頂点を含まない平面の {0} 回転でもあります。600 セルの双対多面体である120 セルは、同じ単純 {10} 回転と等傾斜 {15/2} 回転を継承していますが、その特徴的な等傾斜回転は、{2} 大2 角形(後継の 5 セルから)を含む完全に直交する不変平面で発生します。 [dr]これは、2つの異なる長さの辺を持つ不規則な大六角形{6} の回転です（テッセラクトの大長方形に似ています）。2つの異なる長さの辺は、3つの120セルの辺と3つの5セルの辺です。
- ^ 正則凸 4 次元多面体の離散ファイバ化はそれぞれ、左右の等傾斜回転の一意のペアと、その回転のペアの不変平面にある大円 {2p} 多角形 (0 ≤ p ≤ 5) の一意のバンドルによって特徴付けられます。それぞれの異なる回転には、{2p} 多角形に内接する左 (または右) {p} 多角形の一意のバンドルと、その離散左 (または右) 等傾斜である斜め {2p} ポリグラムの一意のバンドルがあります。{p} 多角形は {2p} ポリグラムをバンドルに織り込み、逆もまた同様です。
- ^ 600 セルには 6 つの合同な 10 角形ファイバがあります。1 つの 10 角形ファイバを選択することは、12 個の直接合同なクリフォード平行 10 角形大円の束と、600 セルをモザイク状に分割する 20 個の直接合同な 30 セル リングのセル分離セットを選択することを意味します。ファイバとその大円はキラルではありませんが、左右の等傾斜回転のペアで左と右の表現が異なります。右 (左) 回転では、頂点はクリフォード平行等傾斜の右 (左) ホップ ファイバ束に沿って移動し、クリフォード平行大五角形の右 (左) ホップ ファイバ束と交差します。30 セル リングは、等傾斜または五角形の束以外の唯一のキラル オブジェクトです。[82] 右（左）五角形束には12個の大五角形が含まれ、12個のクリフォード平行大十角形に内接する。右（左）等斜線束には20個のクリフォード平行五十四角形が含まれ、各30セルリングに1個ずつ含まれる。
- ^ 完全に直交する不変平面のペアにおける 2 つの単純な 60° 回転の合成は、完全に直交する不変平面の4組における 60° 等傾斜回転です。 [cp]したがって、等傾斜回転は 4 つの単純な回転の合成であり、単純な回転では 6 つの頂点だけが回転するのに対し、不変六角形平面では 24 の頂点すべてが回転します。
- ^ ab 24セルは六角形を六芒星上で回転させ、600セルは六角形を十芒星上で回転させますが、これらは六角形不変平面における同種の等傾斜回転の離散的な例です。特に、それらの合同な等傾斜はすべて、円周4𝝅のまったく同じ測地円です。[dx]
- ^ abc 60° の等傾斜回転は、同時に 2 つの 60° の単純回転です。[実行]すべての頂点を同時にさまざまな方向に 120° 移動します。それぞれ 60°x60° の 6 つの連続した対角回転増分により、各頂点は、等傾斜と呼ばれるメビウスの二重ループ上で 720° 移動し、24 セルの周りを2 周して元のポイントに戻ります。これは、通常の大円で頂点が 24 セルの周りを1 周する単純回転と同じ時間(6 回転単位) で行われます。らせん状の二重ループ 4𝝅 等傾斜は、単純な大円と同じ時間間隔と周期 (6 弦) を持つ、単なる単一の完全な円の別の種類です。等傾斜線は1 つの真の円であり、[ch]単純な大円と同じように完全に円形で測地線ですが、弦は√ 3長く、円周は 2𝝅 ではなく 4𝝅 であり、[dp] 2 次元ではなく 4 次元を周回し、[cw]同じ円周のこのような円はすべて直接合同であるにもかかわらず、2 つのキラル形式 (左と右) で動作します。[cv]ただし、混乱を避けるために、これを常に等傾斜線と呼び、平面上の通常の大円には大円という用語を使用します。
- ^ 120 個の正 5 次元セルが 120 次元セルに内接します。5次元セルには二角形の中心平面があり、そのうちの 2 つは直交しません。10 個の二角形の中心平面があり、各頂点のペアは軸ではなく辺です。5 次元セルは自己双対であるため、相互に作用することで、120 次元セルはより大きな半径の正 5 次元セルに内接できます。したがって、ロシア人形のように入れ子になった6 つの正 4 次元多面体[a]の有限シーケンスは、無限シーケンスとして見ることもできます。
- ^ 30 セル リングでは、各等傾斜は頂点から、それを囲む 3 番目の頂点シェル内の隣接していない頂点まで伸びています。これらの 2 つの頂点の間には、30 セル リング内に 3 つの頂点が見られます。そのうち 2 つは最初の囲みシェル内に隣接しており、1 つは 2 番目の囲みシェル内にあります。
- ^ カイラリティと偶奇パリティは異なるフレーバーです。偶奇座標パリティを持つものは黒または白です。チェス盤のマス目、セル、頂点、および等傾斜回転によってそれらを接続する等傾斜線です。[ao]その他はすべて白黒です。たとえば、隣接する面結合セルペア、または一方の端が黒でもう一方の端が白いエッジとコードです。 （点や線を白く塗ることは難しいので、白黒の代わりに赤と黒を使うこともあります。特に、等斜弦は黒や赤の破線で示されることがあります。）キラリティーを持つものは、右または左の鏡像形式で現れます。等斜回転やキラルな物体には、特徴的な正方配列、クリフォード平行大多角形平面のペア、[85]クリフォード平行円の 繊維束（円自体がキラルであるかどうかは関係ありません）、16セルと600セルに見られるキラルなセルリングなどがあります。奇数パリティもキラリティーも持たないものには、すべての辺と面（黒と白のセルによって共有される）、大円多角形とその繊維、および24セルの八面体のセルリングなどのキラルでないセルリングがあります。いくつかのものは、偶奇パリティとキラリティの両方を持っています。等傾斜線は、すべて同じ色の頂点を接続するため黒または白で、それ自体に固有のキラリティはありませんが、左または右の回転の頂点パスである場合は左または右のキラリティオブジェクトとして機能します。 [dk] 各左（または右）回転は、同数の黒と白の等傾斜線を横断します。[cv]
- ^ ab 左回転と右回転は、600 個のセル (および 120 個の頂点) を同じように黒と白に分割します。[17] 同じ種類の大きな多角形のすべての繊維の回転では、同じチェス盤が使用されます。これは、偶数と奇数の座標に基づく座標系の慣例です。[84] 左と右は色ではありません。左回転 (または右回転) のいずれの場合でも、移動する頂点の半分は黒で、黒い頂点を通る黒い等傾斜に沿って移動し、残りの半分は白い頂点が互いに回転します。[dt]
- ^ 600 セルの各軸は、一方の端で各繊維の左等傾斜に接し、もう一方の端で繊維の右等傾斜に接します。各 30 セル リングの軸等傾斜は、等傾斜の 30 頂点、30 セル リングが (一方の端のみで) 接する 30 (60 個中) の 600 セル軸のそれぞれの 2 つの反対側の頂点のうちの 1 つだけを通過します。
- ^ 完全に直交する不変平面のペアにおける 2 つの単純な 36° 回転の合成は、完全に直交する不変平面の12組における 36° 等傾斜回転です。 [cp]したがって、等傾斜回転は 12 の単純な回転の合成であり、単純な回転では 10 個の頂点だけが回転するのに対し、不変十角形平面では 120 個の頂点すべてが回転します。
- ^ 同じ円周の3 球面等傾斜線[ao]はすべて、直接合同な円です。 [ct]通常の大円は円周 2𝝅 の等傾斜線です。単純な回転は 2𝝅 等傾斜線上で行われます。二重回転は、円周以外の等傾斜線を持つ場合があります。正 4 次元多面体の特性回転は、その辺を含む中心平面が回転の不変面である等傾斜回転です。16 セルと 24 セルは、円周 4𝝅 の等傾斜線上で辺回転します。600 セルは、円周 5𝝅 の等傾斜線上で辺回転します。
- ^ 600 セルの螺旋状の {20/6}=2{10/3}二十四卦は、24 セルの螺旋状の {6/2} 六十四卦の合成物であり、24 セルが 600 セルに内接するのと同じように、24 セルがその中に内接します。
- ^ 16 セルは{8/3} オクタグラム上で正方形を回転させ、24 セルは{24/9}=3{8/3} オクタグラム上で正方形を回転させ、600 は {24/5} 24 グラム上で正方形を回転させますが、これらは大正方形不変平面における同じ種類の等傾斜回転の個別の例です。特に、それらの合同な等傾斜はすべて、円周 4𝝅 のまったく同じ測地円です。等傾斜曲線が 600 セルで 24 セルや 16 セルよりも多くの頂点と交差するため、等傾斜ポリグラムが異なります。 600 セルのらせん状の {24/5} 24 グラムは、24 セルのらせん状の {24/9} 八芒星の合成物であり、16 セルのらせん状の {8/3} 八芒星が 24 セル内に刻まれているのと同じように、600 セル内に刻まれています。
引用
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- ^ Coxeter 1973、p. 153、§8.51; 「実際、{3, 3, 5} の頂点をそれぞれ 5 回繰り返すと、25 個の {3, 4, 3} の頂点になります。」
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- ^ Coxeter 1970 は、セルリングをその幾何学と 群論の一般的なケースで研究し、各セルリングを、対応するハニカムで 3 次元多様体 ( 3 次元球面など) を満たす独自の多面体として特定しました。[ay]彼は、セルリングがペトリ多角形に従い、一部 (すべてではない) のセルリングとハニカムがねじれており、左手および右手のキラル形式で発生することを発見しました。具体的には、正 4 次元多面体で四面体セル (5 セル、16 セル、600 セル) にはねじれたセルリングがあり、その他 (セルが反対面を持つ) にはねじれがないことを彼は発見しました。[az]また、彼はセルリングを、ハニカムが双曲空間とユークリッド空間のどちらで形成されるかによって分類した。後者は、4次元多面体に見られるもので、平行移動によって4次元空間を敷き詰めてユークリッドハニカム（16セル、8セル、24セル）を形成できる。
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External links
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- The 600-Cell Vertex centered expansion of the 600-cell