プレートトリック

数学や物理学では、プレートトリック（ポール・ディラックが考案し普及させたことからディラックの弦トリックとも呼ばれる） ^{[ 1 ] [ 2 ]} 、ベルトトリック、バリのカップトリック（バリのキャンドルダンスに登場する）は、紐を取り付けた物体を360度回転させても元の状態に戻らないが、さらに360度回転させると合計720度回転して元の状態に戻るというアイデアを示すいくつかのデモンストレーションのいずれかである。^{[ 3 ]}数学的には、 3D回転群SO(3)は単連結ではなく、位数2の基本群を持つという定理のデモンストレーションであり、したがってその二重被覆SU(2)は単連結である。SU(2)がSO(3)を二重被覆すると言うことは、本質的に単位四元数が回転群を2回表すことを意味する。 ^{[ 3 ]}詳細で直感的でありながら半形式的な説明は、タンロイドに関する記事で見つけることができます。

手のひらに小さな皿を平らに置き、皿を垂直に保ったまま手を2回転させることができます。1回目の回転の後、腕はねじれますが、2回目の回転の後、腕は元の位置に戻ります。これを行うには、手を肘の上を通過する1回転させて腕をねじり、次に肘の下を通過するもう1回転させてねじりを元に戻します。^{[ 4 ] [ 5 ]}この皿トリックは繰り返し行うこともできます。^{[ 6 ]}

数理物理学では、このトリックはスピノルのスピンの背後にある四元数数学を示しています。^{[ 7 ]}プレートトリックと同様に、これらの粒子のスピンは1回転後ではなく、2回転後にのみ元の状態に戻ります。

ベルトトリック

同じ現象は、通常のフレームバックルが付いた革ベルトでも実証できます。バックルの爪はポインターとして機能します。バックルの反対側の端は動かないように固定されています。ベルトはねじれずに伸ばされ、バックルは水平に保たれたまま、爪の動きを見ながら時計回りに1回転（360°）します。するとベルトはねじれたように見え、バックルを水平に保ち、同じ方向を指したままに操作してもねじれは解消されません。明らかに、反時計回りに360°回転させればねじれは解消されます。このトリックの意外な点は、時計回りに2回目の360°回転を行うと、ベルトはさらにねじれるように見えますが、バックルを水平に保ち、常に同じ方向を指したまま、固定された端の下にバックルを移動させることで、ベルトをねじれていない状態に戻すことができることです。^{[ 8 ]}

数学的には、ベルトは、ベルトに沿って移動するにつれて、バックルがベルトがねじれていない元の位置から最終的な回転位置までどのように変化したかの記録として機能します。固定された端は常にヌル回転を表します。このトリックは、回転空間 (SO(3)) で 360 度の回転を生成する経路はヌル回転とホモトピックではないが、2 倍の回転 (720°) を生成する経路はヌルホモトピックであることを示しています。^{[ 3 ]}

ベルトトリックは、1次元古典ハイゼンベルクモデルにおいてブリーザー解として理論的に構築されている。^{[ 9 ]}

• ねじれ防止機構
• スピン統計定理
• 方向エンタングルメント
• タンロイド
• スピン1/2

• ボルカー、イーサン D. (1973 年 11 月) 「スピノール スパナー」アメリカ数学月報80 ( 9): 977–984 . doi : 10.2307/2318771 . JSTOR 2318771 . 
• Pengelley, David; Ramras, Daniel (2017-02-21). 「二重のねじれをどれだけ効率的にほどけるか？ 手を振ればわかる！」The Mathematical Intelligencer . 39 : 27– 40. arXiv : 1610.04680 . doi : 10.1007/s00283-016-9690-x . ISSN 0343-6993 . S2CID 119577398 .  

• ディラックベルトトリックのアニメーション（SU(2)を通る経路を含む）
• ダブルベルトを使ったディラックベルトトリックのアニメーション
• 拡張ディラックベルトトリックのアニメーション。スピン1/2の粒子がフェルミオンであることを示している。粒子の位置を2回入れ替えると絡み合いが解消されるが、1回入れ替えると解消されない。
• ベルトトリックを実装した機械的リンク機構
• ルイス・カウフマンとその同僚による、球状粒子に複数のベルトを取り付けたベルトトリックを示す「ディラック弦上の空気」
• バリ島のカップトリックの動画
• ディラック弦トリック
• 二重傾斜ヌルホモトピー