円錐曲線

円錐曲線とは、切断面と呼ばれる平面と二重円錐（2つのナッペを持つ円錐）の表面との交線によって得られる曲線です。説明を容易にするため、円錐は通常、直円錐であると仮定されますが、これは必須ではありません。円形の断面を持つ任意の二重円錐で十分です。円錐の頂点を通る平面は、円錐と一点、直線、または一対の交差する直線で交わります。これらは退化円錐曲線と呼ばれ、著者によってはこれらを円錐曲線とはみなさない場合もあります。特に断りのない限り、この記事における「円錐曲線」とは、非退化円錐曲線を指します。

円錐曲線には、楕円、放物線、双曲線の 3 種類があります。円は楕円の特殊な種類ですが、歴史的にはアポロニウスはこれを第 4 種類と考えていました。楕円は、円錐と平面の交線が閉曲線である場合に生じます。円は、切断面が円錐の生成円の平面に平行である場合に得られます。直円錐の場合、これは切断面が軸に垂直であることを意味します。切断面が円錐の生成線にちょうど 1 つだけ平行である場合、円錐曲線は無限に広がり、放物線と呼ばれます。残りの場合、図形は双曲線になります。平面は円錐の2 つの半分と交差し、2 つの別々の無限曲線を生成します。

球面断面（平面と球の交線で、円または点を生成するもの）および球面円錐（楕円円錐と同心球の交線）も比較してください。

あるいは、円錐曲線は平面幾何学の観点から定義することもできます。円錐曲線とは、固定点F（焦点と呼ばれる）までの距離が、点Pから固定線L（準線と呼ばれる）までの距離の定数倍e（離心率と呼ばれる）となるような点Pの軌跡です。0 < e < 1の場合は楕円、e = 1の場合は放物線、 e > 1 の場合は双曲線が得られます。

円は極限の場合であり、ユークリッド平面では焦点と準線によって定義されません。円の離心率はゼロと定義され、焦点は円の中心ですが、準線は射影平面上の無限遠の直線としてのみ考えることができます。^{[ 2 ]}

楕円の離心率は、楕円が円形からどれだけずれているかの尺度と見なすことができる。^{[ 3 ]}

円錐の表面とその軸との間の角度が${\displaystyle \beta }$切断面と軸の間の角度は${\displaystyle \alpha ,}$その奇抜さは$\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.}$^{[ 4 ]}

焦点-準線特性によって定義される上記の曲線が、円錐と交差する平面によって得られる曲線と同じであることの証明は、ダンデリン球を使用することで容易になる。^{[ 5 ]}

あるいは、楕円は2つの焦点によって定義され、2つの焦点までの距離の合計が2aとなる点の軌跡として定義されます。一方、双曲線は距離の差が2aとなる軌跡です。（ここでaは、以下で定義される長半径です。）放物線は、焦点と正焦弦（準線に平行で焦点を通る線）によって定義することもできます。焦点までの距離に正焦弦までの距離を加えた値または引いた値が2aとなる点の軌跡です。点が準線と正焦弦の間にある場合はプラス、それ以外の場合はマイナスとなります。

円錐曲線には、離心率（e）、焦点、準線に加えて、さまざまな幾何学的特徴や長さが関連付けられています。

主軸とは、楕円または双曲線の焦点を結ぶ線であり、その中点が曲線の中心となる。放物線には中心がない。

線形偏心率（c）は、中心と焦点の間の距離です。

正弦線は、準線に平行で焦点を通る弦であり、その半分の長さは半正弦線（ℓ）である。

焦点パラメータ（p）は、焦点から対応する準線までの距離です。

長軸は、2 つの頂点間の弦です。楕円の場合は最長の弦、双曲線の場合は枝間の最短の弦です。その半分の長さが半長軸( a ) です。楕円または双曲線が、焦点がx軸上にあり、中心が原点にある以下の式のように標準位置にある場合、円錐曲線の頂点の座標は(− a , 0)と( a , 0)で、aは非負です。

短軸は楕円の最短直径であり、その半分の長さは半短軸（b ）と呼ばれ、以下の標準式におけるbの値と同じです。同様に、双曲線の場合も、標準式におけるパラメータbは半短軸と呼ばれます。

以下の関係が成り立つ：^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle \ \ell =pe}$
• ${\displaystyle \ c=ae}$
• ${\displaystyle \ p+c={\frac {a}{e}}}$

標準位置にある円錐曲線の場合、これらのパラメータは次の値をとります。${\displaystyle a\geq b>0}$。

デカルト座標を導入した後、焦点-準線の性質を使用して、円錐曲線の点が満たす方程式を作成できます。^{[ 7 ]}座標変換（軸の回転と平行移動）により、これらの方程式を標準形式にすることができます。^{[ 8 ]}楕円と双曲線の場合、標準形式では、x軸が主軸で、原点 (0,0) が中心です。頂点は(± a , 0)で、焦点は(± c , 0)です。楕円の場合はc ² = a ² − b ^{2 、双曲線の場合は}c ² = a ² + b ²の方程式でbを定義します。円の場合、c = 0なのでa ² = b ²となり、半径r = a = bです。放物線の場合、標準形式では、焦点はx軸上の点( a , 0)で、準線は方程式x = − aの直線です。標準形では、放物線は必ず原点を通ります。

漸近線が垂直な直角双曲線または正双曲線の場合 、漸近線が座標軸であり、直線x = yが主軸となる別の標準形式が存在する。焦点の座標は( c , c )と(− c , − c )である。^{[ 9 ]}

• 丸：

  ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$

• 楕円：

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• 放物線：

  ${\displaystyle y^{2}=4ax,{\text{ with }}a>0,}$

• 双曲線：

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• 直角双曲線: ^{[ 10 ]}

  ${\displaystyle xy=c^{2}.}$

これらの図形のうち最初の4つは、 x軸とy軸の両方に関して対称（円、楕円、双曲線の場合）、またはx軸のみに関して対称（放物線の場合）です。しかし、直角双曲線は、 y = xとy = − xの直線に関して対称です。

これらの標準形式は、パラメトリックに次のように記述できます。

• 丸：

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta ),}$

• 楕円：

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta ),}$

• 放物線：

  ${\displaystyle (at^{2},2at),}$

• 双曲線：

  ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta ),{\text{ or }}(\pm a\cosh \psi ,b\sinh \psi )}$、

• 直角双曲線：

  ${\displaystyle \left(dt,{\frac {d}{t}}\right),{\text{ where }}d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}$

デカルト座標系では、 2変数の二次方程式のグラフは常に円錐曲線になります（退化している場合もあります）、^{[ a ]}すべての円錐曲線はこのようにして生じます。最も一般的な方程式は次の形式です^{[ 11 ]}

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

すべての係数は実数であり、A、B、Cはすべてゼロではない。

極座標では、原点に焦点が1つあり、 x軸上に負の値（楕円の場合）または正の値（双曲線の場合）にもう1つの焦点がある円錐曲線は、次の式で与えられる。

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},}$

ここで、eは偏心率、lは半正弦長である。

上記のように、e = 0の場合はグラフは円、0 < e < 1の場合は楕円、e = 1の場合は放物線、e > 1の場合は双曲線になります。

円錐曲線の方程式の極形式は、力学においてよく用いられます。例えば、太陽の周りを公転する物体の軌道を決定する場合などです。^{[ 20 ]}

2 つの (異なる) 点が直線を決定するのと同様に、5 つの点が円錐曲線を決定します。形式的には、平面上の任意の 5 つの点が一般直線上に位置する場合 (つまり、3 つの点が同一直線上にない場合)、それらを通過する一意の円錐曲線が存在し、それは非退化になります。これは、ユークリッド平面とその拡張である実射影平面の両方で当てはまります。実際、任意の 5 つの点に対して、それらを通過する円錐曲線が存在しますが、3 つの点が同一直線上にある場合、円錐曲線は退化 (直線を含むため縮約可能) し、一意ではない可能性があります。詳細については、さらに議論を参照してください。

平面上の一般直線上の4点は、最初の3点を通り、4点目を中心とする一意の円錐曲線を決定します。したがって、中心を知ることは、曲線を決定する目的で円錐曲線上の2点を知ることと同等です。^{[ 21 ]}

さらに、円錐曲線は、それが通過する一般位置にあるk個の点と、それに接する5 – k本の直線の任意の組み合わせによって決定されます (0 ≤ k ≤ 5)。^{[ 22 ]}

平面上の任意の点は、円錐曲線の0本、1本、または2本の接線上にあります。1本の接線上にある点は円錐曲線上にあります。接線上にない点は円錐曲線の内部点（または内点）と呼ばれ、2本の接線上にある点は外部点（または外点）と呼ばれます。

すべての円錐曲線は、次のように表せる反射特性を共有しています。非退化円錐曲線の形状のすべての鏡は、一方の焦点から来る、または一方の焦点に向かう光を、もう一方の焦点に向かって、またはもう一方の焦点から遠ざかるように反射します。放物線の場合、第2焦点は無限遠にあると考える必要があり、第2焦点に向かう、または第2焦点から来る光線は平行になります。^{[ 23 ] [ 24 ]}

パスカルの定理は、任意の非退化円錐曲線上の6点から構成される3点の共線性に関する定理である。この定理は、2直線からなる退化円錐曲線にも当てはまるが、その場合はパップスの定理として知られている。

非退化円錐曲線は常に「滑らか」です。これは、層流を確保し乱流を防ぐために滑らかな表面が必要となる空気力学など、多くの用途において重要です。

円錐曲線の最初の定義は、メナエクモス（紀元前320年没）がデロス問題（立方体の複製）の解決の一部として与えたと考えられている。 ^{[ b ] [ 25 ]}彼の研究は、彼がこれらの曲線に使用した名前さえも残っておらず、二次的な記述を通してのみ知られている。^{[ 26 ]}当時使用されていた定義は、今日一般的に使用されているものとは異なっている。円錐は、直角三角形をその脚の1つを中心に回転させて、斜辺が円錐の表面を生成するように構築された（このような線は母線と呼ばれる）。3種類の円錐は、頂角（直角三角形で斜辺と回転する脚によって形成される角度の2倍で測定される）によって決定された。円錐曲線は、これらの円錐の1つを母線に垂直に引かれた平面と交差させることによって決定された。円錐曲線の種類は、円錐の種類、つまり円錐の頂点で形成される角度によって決まります。角度が鋭角の場合は円錐曲線は楕円になり、角度が直角の場合は円錐曲線は放物線になり、角度が鈍角の場合は円錐曲線は双曲線になります（ただし、曲線の枝は1つだけです）。^{[ 27 ]}

ユークリッド（紀元前300年頃活躍）は円錐曲線に関する4冊の本を書いたと言われているが、それらも失われてしまった。^{[ 28 ]}アルキメデス（紀元前212年頃没）は円錐曲線を研究していたことが知られており、 『放物線の求積法』で放物線と弦で囲まれた面積を決定した。彼の主な関心は円錐曲線に関連する図形の面積と体積の測定にあり、この研究の一部は円錐回転体に関する著書『円錐体と球面体について』に残っている。^{[ 29 ]}

古代ギリシア人による円錐曲線の研究における最大の進歩は、ペルガのアポロニウス（紀元前190年頃没）によるもので、彼の8巻からなる『円錐曲線』は、既存の知識を要約し、大幅に拡張した。^{[ 30 ]}アポロニウスによるこれらの曲線の性質の研究により、固定された二重円錐（2つのナップ）を切断する任意の平面は、その角度に関係なく、以前の定義に従って円錐を生成することが示され、今日一般的に使用されている定義につながった。以前の方法では作図できない円も、この方法で得られる。これが、アポロニウスが円を4番目のタイプの円錐曲線とみなした理由かもしれないが、この区別はもはや行われていない。アポロニウスは、これらの曲線に「楕円」、「放物線」、「双曲線」という名前を使用し、面積に関する以前のピタゴラスの研究から用語を借用した。^{[ 31 ]}

アレクサンドリアのパップス（紀元350年頃没）は、円錐曲線の焦点の概念の重要性を説き、放物線の場合を含めた準線の概念を詳細に説明したことで知られている（放物線の場合についてはアポロニウスの既知の著作には記載されていない）。^{[ 32 ]}

アポロニウスの著作はアラビア語に翻訳され、彼の著作の多くはアラビア語版を通してのみ現存している。イスラムの数学者たちはこの理論の応用を見出し、中でもペルシャの数学者で詩人のオマル・ハイヤーム^{[ 33 ]}は、円錐曲線を用いて三次方程式を解く幾何学的方法を発見した^{[ 34 ] [ 35 ]}。

ハイヤームのより有名な業績より一世紀前に、アブ・アル＝ジュードは円錐曲線を用いて四次方程式と三次方程式を解いたが、 ^{[ 36 ]}彼の解法はすべてのケースに対応していたわけではなかった。^{[ 37 ]}

円錐曲線を描くための道具は、西暦1000年にアル・クヒによって初めて記述された。^{[ 38 ] [ 39 ]}

ヨハネス・ケプラーは、「連続性の原理」を通して円錐曲線の理論を拡張し、これは極限の概念の先駆けとなった。ケプラーは1604年に初めて「焦点」という用語を使用した。^{[ 40 ]}

ジラール・デザルグとブレーズ・パスカルは、初期の射影幾何学を用いて円錐曲線の理論を発展させ、これがこの新しい分野の研究に弾みをつけるきっかけとなった。特にパスカルは、ヘキサグラムム・ミスティクムとして知られる定理を発見し、そこから円錐曲線の他の多くの性質を導き出すことができた。

ルネ・デカルトとピエール・フェルマーは、新たに発見した解析幾何学を円錐曲線の研究に応用した。これにより、円錐曲線の幾何学的問題を代数の問題に還元することができた。しかし、円錐曲線を2次方程式の例として初めて定義したのは、1655年の論文『円錐曲線の区分に関する論考』のジョン・ウォリスであった。 ^{[ 41 ]}より前に書かれたが、後に出版されたヤン・デ・ウィットの『直線曲線の要素』は、ケプラーの円錐曲線の運動学的構成から始まり、代数方程式を展開している。フェルマーの方法論とデカルトの記法を用いたこの著作は、この主題に関する最初の教科書として評されている。^{[ 42 ]}デ・ウィットは「準線」という用語を考案した。^{[ 42 ]}

任意の可除環上の射影空間、特に実数または複素数上の射影空間では、すべての非退化円錐曲線は同値であり、したがって射影幾何学では型を指定せずに「円錐曲線」について語られる。つまり、任意の非退化円錐曲線を他の任意の非退化円錐曲線に写像する射影変換が存在する。 ^{[ 44 ]}

射影空間の直線を無限遠直線として選択することによって得られるアフィン平面では、3 種類の円錐曲線が再び現れます。3 種類は、この無限遠直線が射影空間内の円錐曲線とどのように交わるかによって決まります。対応するアフィン空間では、円錐曲線が無限遠直線と交わらない場合は楕円、円錐曲線が軸に対応する 1 つの2 点で無限遠直線と交わる場合は放物線、円錐曲線が漸近線に対応する 2 つの点で無限遠直線と交わる場合は双曲線が得られます。^{[ 45 ]}

同次座標系では、円錐曲線は次のように表すことができます。

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

または行列表記では

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

上記の3×3行列は円錐曲線の行列と呼ばれます。

一部の著者は、一般同次方程式を次のように書くことを好む。

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}$

（またはこれの変形）円錐曲線の行列がより単純な形式になるように、

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),}$

しかし、この表記法はこの記事では使用されていません。^{[ c ]}

円錐曲線の行列の行列式がゼロの場合、その円錐曲線は退化している。

6つの係数すべてに同じ非ゼロのスカラーを掛けると、同じ零点の集合を持つ方程式が得られるため、( A , B , C , D , E , F )で表される円錐曲線は、 5次元射影空間内の点と考えることができる。${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

ユークリッド幾何学の計量概念（長さや角度の測定に関する概念）は、実射影平面に直接拡張することはできません。^{[ d ]}この新しい幾何学では、それらを再定義（および一般化）する必要があります。これは任意の射影平面に対して行うことができますが、拡張されたユークリッド平面として実射影平面を得るには、いくつかの特定の選択を行う必要があります。^{[ 46 ]}

射影平面上に任意の直線を固定し、これを絶対直線と呼ぶ。絶対直線上に異なる2点を選択し、これらを絶対点と呼ぶ。これらの選択に基づいて、いくつかの計量概念を定義できる。例えば、点Aと点Bを含む直線が与えられた場合、線分ABの中点は、点Cとして定義される。点Cは、 ABと絶対直線の交点の射影調和共役点であり、 AとBに関して定義される。

射影平面において、2つの絶対点を含む円錐曲線は円と呼ばれます。円錐曲線は5つの点で決定されるため、円（退化している場合もある）は3つの点で決定されます。拡張ユークリッド平面を得るために、絶対線はユークリッド平面の無限遠の線として選択され、絶対点はその線上の2つの特別な点、すなわち無限遠の円点です。実座標を持つ2つの点を含む線は無限遠の円点を通らないため、この定義によれば、ユークリッド平面では円は共線でない3つの点で決定されます。^{[ 47 ]}

ユークリッド平面上の円は焦点-準線の性質によって定義できないことが述べられています。しかし、無限遠の直線を準線とみなすと、離心率をe = 0とすることで円は焦点-準線の性質を持ちますが、それでもその性質によって定義されるわけではありません。^{[ 48 ]}この状況では、円上の点から焦点までの距離（半径の長さ）と、その点から準線までの距離（この距離は無限大）の比として離心率を正しく定義し、極限値がゼロになるように注意する必要があります。

射影平面における円錐曲線を定義するための合成的（座標に依存しない）手法は、1867年にヤコブ・シュタイナーによって提唱された。

• 鉛筆が2本与えられた${\displaystyle B(U),B(V)}$2点における線${\displaystyle U,V}$（すべての行に${\displaystyle U}$そして ${\displaystyle V}$（それぞれ）投影法だが透視図法ではないマッピング${\displaystyle \pi }$の${\displaystyle B(U)}$に${\displaystyle B(V)}$すると、対応する直線の交点が非退化射影円錐曲線を形成する。^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ]}

透視図法​${\displaystyle \pi }$鉛筆の${\displaystyle B(U)}$鉛筆に${\displaystyle B(V)}$対応する直線が固定線上で交わるような全単射（1対1対応）である。${\displaystyle a}$これは透視軸と呼ばれている。${\displaystyle \pi }$。

射影写像とは、透視写像の有限列のことである。

射影平面上の射影写像（パッピアン平面）は、3本の直線の像を指定することによって一意に決定されるため、^{[ 53 ]}円錐曲線のシュタイナー生成では、2点に加えて${\displaystyle U,V}$3本の直線の画像だけを与えればよい。これらの5つの要素（2つの点、3本の直線）によって、円錐曲線が一意に決定される。

射影平面における双対性の原理により、各点の双対は直線であり、点の軌跡（ある条件を満たす点の集合）の双対は直線の包絡線と呼ばれます。シュタイナーの円錐曲線の定義（この点の軌跡は、以降「点円錐曲線」と呼びます）を、関連する2つの線束の対応する光線の交点として用いると、双対化が容易になり、異なる基底（点が存在する直線）上の関連する2つの範囲（直線上の点）の対応する点の結合からなる対応する包絡線を得ることができます。このような包絡線は直線円錐曲線（または双対円錐曲線）と呼ばれます。

実射影平面において、点円錐曲線は、すべての直線が2点で交わる（これらの点は一致する場合もあれば、複素数である場合もある）という性質を持ち、この性質を持つ点の集合は点円錐曲線である。双対的に、直線円錐曲線は、すべての点を通る直線が2本あり、この性質を持つ直線の包絡線は直線円錐曲線である。点円錐曲線のすべての点には一意の接線が存在し、双対的に、直線円錐曲線のすべての直線には接点と呼ばれる一意の点が存在する。重要な定理によれば、点円錐曲線の接線は直線円錐曲線を形成し、双対的に、直線円錐曲線の接点は点円錐曲線を形成する。^{[ 54 ]}

カール・ゲオルク・クリスティアン・フォン・シュタウトは、円錐曲線を、絶対点を持つ極性のすべての絶対点によって与えられる点集合として定義した。フォン・シュタウトはこの定義を『位置の幾何学』（1847年）の中で、射影幾何学からすべての計量概念を排除しようとする試みの一環として導入した。

射影平面Pの極性πは、Pの点と直線の間の対合的な全単射であり、接続関係を保存します。したがって、極性は、π ( Q ) = qおよびπ ( q ) = Qによって点Qと直線qを関連付けます。Gergonne に従って、qはQの極性、Q はqの極と呼ばれます。^{[ 55 ]}極性の絶対点(または直線) は、その極性 (極) に接続する点です。^{[ e ]}

実射影平面におけるフォン・シュタウト円錐曲線はシュタイナー円錐曲線と同等である。^{[ 56 ]}

定規とコンパスだけでは、円錐曲線の連続した弧を描くことはできません。しかし、円弧上の任意の数の点に対しては、定規とコンパスを用いた作図方法がいくつか存在します。

そのうちの 1 つは、パスカルの定理の逆、すなわち、六角形の対辺の交点が同一直線上にある場合、6 つの頂点が円錐上にあるという定理に基づいています。具体的には、5 つの点A、B、C、D、Eと、 Eを通る直線EGが与えられた場合、この直線上にあり、5 つの点によって決定される円錐上にある点Fを構成できます。ABがDEとLで交わり、BC がEGとMで交わり、CD がLMとNで交わるとします。すると、AN は必要な点FでEGと交わります。^{[ 57 ]} Eを通る直線を変化させることで、円錐上の追加の点を必要なだけ構成できます。

シュタイナーの構成に基づき、工学応用で有用な別の方法は、平行四辺形法です。これは、水平線と垂直線上の等間隔の特定の点を点ごとに結ぶことによって円錐を構成する方法です。^{[ 58 ]}具体的には、方程式⁠ x ² / a ² ⁠ + ⁠ y ² / b ² ⁠ = 1の楕円を構成するには、まず頂点A ( a , 0)、B ( a , 2 b )、C (− a , 2 b )、 D (− a , 0)を持つ長方形ABCD を構成します。辺BCをn 個の等しいセグメントに分割し、対角線ACに関して平行投影を使用して、辺AB上に等しいセグメントを形成します(これらのセグメントの長さは、BC上のセグメントの長さの⁠ b / a ⁠倍になります)。辺BC上で、セグメントの左端に、 BからCに向かってA ₁からA _nまでのラベルを付けます。辺AB_上に、 AからBに向かって上端点D1からDnまで_{をラベル付け}します。交点AAi∩DDi（1≤i≤n）は、AとP(0,b)の間の楕円の点になります。このラベル付けは、Aを_通る鉛筆の線とDを通る鉛筆の線を、透視投影ではなく投影的に関連付けます。この構成により、3点A、D、Pと2つの接線（ AとDにおける垂直線）から、求める円錐曲線が得られます。) 円錐曲線を一意に決定します。楕円の長軸と短軸の代わりに別の直径 (およびその共役直径) を使用する場合、長方形ではない平行四辺形が作図に使用され、この方法の名前が付けられます。ペンシルの線の関連付けは、楕円上の他の点を得るために拡張できます。双曲線^{[ 59 ]}と放物線^{[ 60 ]}の作図も同様です。

また別の一般的な方法として、極性特性を利用して円錐曲線（直線円​​錐曲線）の接線包絡線を構築する方法がある。^{[ 61 ]}