パップスの六角形定理

数学において、パップスの六角形定理（アレクサンドリアのパップスに帰属）は次のように述べている。

• 同一直線上の点の集合と、同一直線上の点の集合が与えられている場合、直線のペアとおよびの交点は同一直線上にあり、パップス線上にあります。これらの 3 つの点は、六角形の「反対側」の辺の交点です。${\displaystyle A,B,C,}$${\displaystyle a,b,c,}$${\displaystyle X,Y,Z}$${\displaystyle Ab}$${\displaystyle aB,Ac}$${\displaystyle aC,Bc}$${\displaystyle bC}$${\displaystyle AbCaBc}$

この定理は任意の体上の射影平面では成立するが、任意の非可換除算環上の射影平面では成立しない。^{[1]この「定理」が成立する射影平面は}パッピアン平面と呼ばれる。

先ほど説明した六角形を含むパッピアン平面を考えますが、辺とが平行で、辺ともまた平行である場合（パップス線が無限大の線となるように）、 2 番目の図に示すパップスの定理のアフィン バージョンが得られます。 ${\displaystyle Ab}$${\displaystyle aB}$ ${\displaystyle Bc}$${\displaystyle bC}$${\displaystyle u}$

パップス線と直線に共通点がある場合、いわゆるパップスの定理の小さなバージョンが得られます。^[2]${\displaystyle u}$${\displaystyle g,h}$

この接続定理の双対は、 1 組の並行する直線と別の 1 組の並行する直線が与えられた場合、およびとととから生じる 2 つの点によって定義される直線は並行である、と述べています。(並行とは、直線が 1 つの点を通過することを意味します。) ${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle A\cap b}$${\displaystyle a\cap B,\;A\cap c}$${\displaystyle a\cap C,\;B\cap c}$${\displaystyle b\cap C}$

パップスの定理は、円錐曲線に対するパスカルの定理の特殊なケース、つまり円錐曲線が 2 本の直線に退化する極限ケースです。パスカルの定理は、ケーリー・バカラックの定理の特殊なケースでもあります。

パップス配置は、パップスの定理で発生する 9 本の直線と 9 点の配置であり、各直線は 3 点と交わり、各点は 3 本の直線と交わる。一般に、パップス直線は、との交点を通りません。^[3] この配置は自己双対です。特に、直線は双対定理の直線の特性を持ち、 の共線性はの一致と同等であるため、双対定理は定理自体とまったく同じです。パップス配置のレヴィグラフは、 18 の頂点と 27 の辺を持つ2 部距離正則グラフであるパップスグラフです。 ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle abc}$${\displaystyle Bc,bC,XY}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle X,Y,Z}$${\displaystyle Bc,bC,XY}$

この命題のアフィン形式が証明できれば、パッピアン平面から射影平面への拡張は一意であるため、パップスの定理の射影形式が証明されます。

アフィン平面の平行性のため、と の2 つのケースを区別する必要があります。簡単な証明の鍵となるのは、「適切な」座標系を導入できるかどうかです。 ${\displaystyle g\not \parallel h}$${\displaystyle g\parallel h}$

ケース 1:直線は点で交差します。 この場合、座標が導入され、 (図を参照) の 座標が設定されます。 ${\displaystyle g,h}$${\displaystyle S=g\cap h}$
${\displaystyle \;S=(0,0),\;A=(0,1),\;c=(1,0)\;}$${\displaystyle B,C}$${\displaystyle \;B=(0,\gamma ),\;C=(0,\delta ),\;\gamma ,\delta \notin \{0,1\}}$

直線の平行性から が得られ、直線の平行性から が得られます。したがって、直線 は傾きがあり、平行線 です。 ${\displaystyle Bc,\;Cb}$${\displaystyle b=({\tfrac {\delta }{\gamma }},0)}$${\displaystyle Ab,Ba}$${\displaystyle a=(\delta,0)}$${\displaystyle Ca}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle Ac}$

ケース 2: (小さな定理)。 この場合、 となるように座標が選択されます。との平行性から、それぞれとが得られ、少なくとも平行性 が得られます。 ${\displaystyle g\parallel h\}$
${\displaystyle \;c=(0,0),\;b=(1,0),\;A=(0,1),\;B=(\gamma ,1),\;\gamma \neq 0}$${\displaystyle Ab\平行 Ba}$${\displaystyle cB\parallel bC}$${\displaystyle \;C=(\gamma +1,1)\;}$${\displaystyle \;a=(\gamma +1,0)\;}$${\displaystyle \;Ac\parallel Ca\;}$

同次座標を選択する

${\displaystyle C=(1,0,0),\;c=(0,1,0),\;X=(0,0,1),\;A=(1,1,1)}$。

によって与えられた直線上で、点を ${\displaystyle AC,Ac,AX}$${\displaystyle x_{2}=x_{3},\;x_{1}=x_{3},\;x_{2}=x_{1}}$${\displaystyle B,Y,b}$

${\displaystyle B=(p,1,1),\;Y=(1,q,1),\;b=(1,1,r)}$

に対して、 となります。3本の直線は であるため、の場合に限り、これらが同じ点を通過します。方程式を持つ 3 本の直線と が同じ点を通過するための条件はです。したがって、他の 8 組すべてが である場合、この最後の 3 本の直線のセットは並行です。これは、乗法は可換であるためです。つまり、は同一線上にあるという ことです。${\displaystyle p,q,r}$${\displaystyle XB,CY,cb}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}p,\;x_{2}=x_{3}q,\;x_{3}=x_{1}r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle rqp=1}$${\displaystyle Cb,cB}$${\displaystyle XY}$${\displaystyle x_{2}=x_{1}q,\;x_{1}=x_{3}p,\;x_{3}=x_{2}r}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle rpq=1}$${\displaystyle pq=qp}$${\displaystyle X,Y,Z}$

上記の証明は、パップスの定理が分周環上の射影空間に対して成り立つためには、分周環が（可換）体であることが十分かつ必要であることも示している。ドイツの数学者ゲルハルト・ヘッセンベルクは、パップスの定理からデザルグの定理が導かれることを証明した。^{[4] [5]}一般に、パップスの定理が射影平面に対して成り立つのは、それが可換体上の射影平面である場合に限る。パップスの定理が成り立たない射影平面は、非可換分周環上のデザルグ射影平面と、非デザルグ平面である。

共線的である場合、証明は無効です。その場合、たとえば異なる射影参照を使用するなど、代替の証明を提供できます。 ${\displaystyle C,c,X}$

射影平面の双対性の原理により、パップスの双対定理は正しい。

中心が の2本の鉛筆から交互に6本の線を選ぶと、線は ${\displaystyle A,b,C,a,B,c}$${\displaystyle G,H}$

${\displaystyle X:=(A\cap b)(a\cap B),}$

${\displaystyle Y:=(c\cap A)(C\cap a),}$

${\displaystyle Z:=(b\cap C)(B\cap c)}$

は同時です。つまり、共通点があります。 左の図は射影バージョン、右の図はアフィンバージョンで、点は 無限遠点です。点が直線上にある場合は、パップスの定理の「双対小定理」が得られます。 ${\displaystyle U}$
${\displaystyle G,H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle GH}$

• 
  双対定理: 射影形式
• 
  双対定理: アフィン形式

双対「小定理」のアフィン版で点が無限遠点でもある場合、トムセンの定理、つまり三角形の辺の6点に関する命題が得られる（図を参照）。トムセン図形は、公理的に定義された射影平面を調整する上で重要な役割を果たしている。^[6]トムセン図形の閉包の証明は、上記の「小定理」の証明でカバーされている。しかし、簡単な直接的な証明も存在する。 ${\displaystyle U}$

トムセンの定理（図の閉包）の記述では、接続、交差、平行という用語のみが使用されているため、記述はアフィン不変であり、次のような座標を導入できます （右の図を参照）。弦のシーケンスの開始点は です。図に示されている点の座標は簡単に検証でき、最後の点が最初の点と一致していることがわかります。 ${\displaystyle P=(0,0),\;Q=(1,0),\;R=(0,1)}$${\displaystyle (0,\lambda ).}$

• 
  トムセン図形（三角形の頂点）はパップスの小定理（無限遠にもあります！）の双対定理です。${\displaystyle \color {red}1,2,3,4,5,6}$${\displaystyle PQR}$${\displaystyle U}$
• 
  トムセン図：証明

パップスの定理とその双対の上記の特徴に加えて、次のステートメントも同等です。

• 六角形の6つの頂点が2本の線上に交互に並んでいる場合、向かい合う辺の3つの交点は同一直線上にあります。^[7]
• 9 つのポイントのマトリックスに配置され (上記の図と説明のように)、永続的なを評価するものと考えられる場合、最初の 2 行と 6 つの「対角」トライアドが同一直線上にある場合、3 行目も同一直線上にあります。

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B&C\\a&b&c\\X&Y&Z\end{matrix}}\right|}$

つまり、が直線ならば、パップスの定理によれば、は直線でなければならない。また、などが並行する直線の3つ組である場合、同じ行列定式化が定理の双対形式にも適用されることに注意されたい。^[8]${\displaystyle \ ABC,abc,AbZ,BcX,CaY,XbC,YcA,ZaB\ }$${\displaystyle XYZ}$${\displaystyle (A,B,C)}$

• 2つの異なる直線のそれぞれに3つの異なる点がある場合、一方の直線上の各点をもう一方の直線上の各点とペアにすると、ペアになっていない点の結合部は直線上の点で（反対の）ペアで交わります。^[9]
• 2つの三角形が少なくとも2つの異なる方法で遠近法である場合、それらは3つの方法で遠近法である。 ^[4]
• とが同時かつとが同時である場合、 とも同時である。^[8]${\displaystyle \;AB,CD,\;}$${\displaystyle EF}$${\displaystyle DE,FA,}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle AD,BE,}$${\displaystyle CF}$

パップスの定理の最も古い形は、パップス 集成の第7巻の命題138、139、141、143である。^{[10]これらは、}ユークリッドのポリズム の3冊のうちの最初の本の補題からなる第7巻の部分の補題XII、XIII、XV、XVIIである。

これらの補題は、今日では 4 つの共線点の複比として知られているものに基づいて証明されます。 3 つの以前の補題が使用されています。 これらの最初の補題 III には、以下の図があります (パップスの文字表記を使用しており、G は Γ、D は Δ、J は Θ、L は Λ を表します)。

ここで、AB、AG、ADの3つの平行線は、Jで交わるJBとJEの2つの線によって交差しています。また、KLはAZと平行に描かれています。

KJ : JL :: (KJ : AG & AG : JL) :: (JD : GD & BG : JB)。

これらの比率は今日では方程式として表されるかもしれない: ^[11]

KJ/JL = (KJ/AG)(AG/JL) = (JD/GD)(BG/JB)。

最後の複合比（すなわち、JD : GD および BG : JB）は、今日では、共線上の点 J、G、D、B の順に交差する比として知られています。これは、今日では (J, G; D, B) と表記されます。したがって、これは、A で一致する 3 つの直線と交差する特定の直線 JD の選択とは無関係であることが示されました。特に、

(J、G; D、B) = (J、Z; H、E)。

直線 JE が A のどちら側にあるかは問題ではありません。特に、状況は次の図のようになる可能性があり、これは補題 X の図です。

先ほどと同様に、(J, G; D, B) = (J, Z; H, E) となります。Pappus はこれを明示的に証明していませんが、補題 X は逆であり、つまり、これら 2 つの複比が同じで、直線 BE と DH が A で交差する場合、点 G、A、Z は必ず同一直線上にあるということです。

当初示したものは、(J, ∞; K, L) = (J, G; D, B) と書くことができ、∞ は JK と AG の (存在しない) 交点の代わりとなります。パップスはこれを実際には補題 XI で示していますが、その図では文字が異なります。

パップスが示しているのはDE.ZH : EZ.HD :: GB : BEであり、これは次のように書くことができる。

(D,Z; E,H) = (∞,B; E,G)。

補題 XII の図は次のようになります。

補題XIIIの図は同じだが、BAとDGは延長されてNで交わる。いずれにしても、Gを通る直線がAを通る3本の直線で切断されているとすると（そして、複比の式が要素の入れ替え後も有効であるとすると）、補題IIIまたはXIにより、

(G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z)。

Dを通る直線をBを通る3本の直線で切断すると、

(L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z)。

したがって、(E, H; J, G) = (E, K; D, L) となり、補題 X により、点 H、M、K は同一直線上にあります。つまり、六角形 ADEGBZ の反対側の辺のペアの交点は同一直線上にあります。

補題 XV と XVII は、点 M が HK と BG の交点として決定される場合、点 A、M、および D は同一直線上にあるというものです。つまり、六角形 BEKHZG の反対側の辺のペアの交点は同一直線上にあります。

• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド（1969年）、幾何学入門（第2版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 978-0-471-50458-0、MR  0123930
• クロンハイム、A. (1953)、「ヘッセンベルクの定理の証明」、アメリカ数学会誌、4 (2): 219–221、doi :10.2307/2031794、JSTOR  2031794
• デンボウスキー、ピーター（1968）、有限幾何学、ベルリン：シュプリンガー出版社
• ヒース、トーマス（1981）[1921]、ギリシャ数学の歴史、ニューヨーク：ドーバー出版
• ヘッセンベルク、ゲルハルト (1905)、「Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen」、Mathematische Annalen、61 (2)、ベルリン / ハイデルベルク: Springer: 161–172、doi :10.1007/BF01457558、ISSN  1432-1807、S2CID  120456855
• フルチュ、フリデリクス (1877)、パピ アレクサンドリーニ コレクション、クエ スーパーサント、ベルリン{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• クライン、モリス（1972）、古代から現代までの数学的思考、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局
• パンブッチ人、ビクター。 Schacht、Celia (2019)、「パップスとデザルグの定理の公理的運命」、ダニ、シンガポール; Papadopoulos, A. (編)、『歴史における幾何学』、Springer、355–399 ページ、ISBN 978-3-030-13611-6
• ウィッチャー、オリーブ（1971）、射影幾何学、ルドルフ・シュタイナー・プレス、ISBN 0-85440-245-4

• 結び目を切る際のパップスの六角形定理
• 結び目を切る際のパップスの六角形定理の双対
• パップスの定理: 9 つの証明と 3 つのバリエーション