5つの点が円錐曲線を決定する

ユークリッド幾何学と射影幾何学では、 2 つの (異なる)点が直線(次数 1 の平面曲線)を決定するのと同様に、5 つの点が円錐曲線(次数 2 の平面曲線) を決定します。円錐曲線には直線には存在しない微妙な点がさらに存在するため、円錐曲線に関する記述とその証明は直線の場合よりも技術的になります。

正式には、平面上の一般線形位置にある任意の 5 点（つまり、3点が同一直線上にない場合）が与えられた場合、それらの点を通る唯一の円錐曲線が存在します。この円錐曲線は退化しません。これは、ユークリッド平面と任意のパッピアン射影平面の両方で当てはまります。確かに、任意の 5 点が与えられた場合、それらの点を通る円錐曲線が存在します。しかし、3 点が同一直線上にある場合、円錐曲線は退化（直線を含むため、約分可能）し、一意ではない可能性があります。詳細については、を参照してください。

この結果はさまざまな方法で証明できます。次元を数える議論は最も直接的で、より高い次数に一般化されますが、他の証明は双曲線に特化しています。

直感的には、一般線形位置の 5 つの点を通過すると、(射影) 円錐曲線の線形空間に 5 つの独立した線形制約が指定され、したがって一意の円錐曲線が指定されますが、この短い記述では微妙な点が無視されています。

より正確には、次のようになります。

• 円錐曲線は5次元射影空間の点に対応する${\displaystyle \mathbf {P} ^{5};}$
• 円錐曲線が点を通過することを要求すると、座標に線形条件が課せられます。固定された点に対して、方程式は線形方程式になります。${\displaystyle (x,y),}$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$${\displaystyle (A,B,C,D,E,F);}$
• 次元を数えると、各制約によって可能性の次元が 1 つ削減され、5 つの次元から始まるため、円錐曲線を指定するには 5 つの制約 (曲線が 5 つの点を通過する) が必要です。
• 5次元では、5つの（独立した）超平面の交点は1点である（正式にはベズーの定理による）。
• 点の一般的な線形位置は、制約が独立していることを意味し、したがって一意の円錐を指定します。
• 結果として得られる円錐曲線は曲線であるため退化しておらず（1 つ以上の点があるため）、直線を含んでいません（そうでなければ、鳩の巣原理によ​​り、2 つの直線に分割され、そのうちの少なくとも 1 つには 5 つの点のうち 3 つが含まれている必要があります）。したがって、この曲線は既約です。

上記の分析における 2 つの微妙な点は、結果として得られる点が 2 次方程式 (線形方程式ではない) であることと、制約が独立していることです。1 つ目は単純です。A 、B 、 Cがすべてゼロの場合、方程式は直線を定義し、この直線上の任意の 3 点 (実際には任意の数の点) は直線上にあります。したがって、一般線形位置によって円錐曲線が保証されます。2 つ目の制約が独立していることは、はるかに微妙です。これは、平面で一般線形位置にある 5 つの点が与えられた場合、ヴェロネーゼ写像の下のそれらの像が一般線形位置にあるという事実に対応します。これは、ヴェロネーゼ写像が双正則であるため真実です。つまり、5 つの点の像が関係を満たす場合、その関係を引き戻すことができ、元の点も関係を満たす必要があります。ヴェロネーゼ写像には座標があり、ターゲットは円錐曲線の と双対です。ヴェロネーゼ写像は「1 点での円錐曲線の評価」に対応し、制約の独立性に関するステートメントは、まさにこの写像に関する幾何学的なステートメントです。 ${\displaystyle Dx+Ey+F=0}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$${\displaystyle [x^{2}:xy:y^{2}:xz:yz:z^{2}],}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$${\displaystyle [A:B:C:D:E:F]}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$

円錐曲線が5つの点によって決定されることは、上記の解析的（代数的）証明に加えて、総合幾何学、すなわち平面上の線と点の観点から証明することができる。このような証明は、ヤコブ・シュタイナーの定理^[1]を使って行うことができる。

点Xを通る線分束と点 Y を通る線分束の間の射影変換fが与えられた場合、線分xとその像の交点の集合C は円錐曲線を形成します。 ${\displaystyle f(x)}$

直線XY (それぞれXを通る直線とYを通る直線)の逆像と像を考慮すると、 XとY がこの円錐曲線上にあることに注意してください。

これは、点XとY を標準点にとり、射影変換を行うことで示せます。この場合、線分は平面の水平線と垂直線に対応し、対応する線の交点は関数のグラフに対応します。この関数のグラフは (示さなければなりませんが) 双曲線、つまり円錐曲線であり、したがって元の曲線Cは円錐曲線です。 ${\displaystyle [1:0:0]}$${\displaystyle [0:1:0]}$

ここで、5 つの点X、Y、A、B、C が与えられている場合、 3 本の直線は、一意の射影変換によって3 本の直線に写像されます。これは、射影変換が直線上で単純に3 推移的であるためです (射影変換は単純に点上で 3 推移的であるため、射影双対性により直線上で 3 推移的です)。このマップでは、X はYにマップされます。これは、これらがこれらの直線の一意の交差点であるためであり、シュタイナーの定理の仮定を満たします。したがって、結果として得られる円錐曲線は、5 つの点すべてを含み、希望どおりに一意の円錐曲線です。 ${\displaystyle XA,XB,XC}$${\displaystyle YA,YB,YC}$

5 つの点が与えられた場合、それらを含む円錐曲線をさまざまな方法で作成できます。

解析的には、 5 つの点の座標が与えられれば、係数の 5 つの方程式を書き、変数を座標の値に代入して解くことで、円錐曲線の方程式を線形代数で見つけることができます。方程式は 5 つ、未知数は 6 つですが、同次なのでスケーリングによって 1 つの次元が削除されます。具体的には、係数の 1 つを 1 に設定することでこれを実現できます。 ${\displaystyle (x_{i},y_{i})_{i=1,2,3,4,5}}$

これは、次の行列式として直接的に達成できます。

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}x^{2}&xy&y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}&x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}&x _{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}y_{2}&y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3} ^{2}&x _{3}y_{3}&y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\x_{4}^{2}&x_{4}y_{4}&y_{4}^{2 }&x_{4} &y_{4}&1\\x_{5}^{2}&x_{5}y_{5}&y_{5}^{2}&x_{5}&y_{5}&1\end{bmatrix}}=0}$

この行列は最初の行に変数を持ち、他のすべての行に数値を持つため、行列式は明らかに次数 2 以下の 6 つの単項式の線形結合です。また、結果として得られる多項式は 5 つの入力点 (のとき) で明らかに消えます。これは、その場合、行列に繰り返し行があるためです。 ${\displaystyle (x,y)=(x_{i},y_{i})}$

合成的に、円錐曲線は次のように構築できる。ブレイケンリッジ・マクローリン構成[^2][3][4][5]パスカルの定理の逆であるブレイケンリッジ・マクローリン定理を適用することによって行われます。パスカルの定理は6つの点が与えられた場合、反対側の辺によって定義される線は3つの同一直線上の点で交差することを述べています。これを逆にすると、5つの既存の点が与えられた場合に、6番目の点の可能な位置を構築することができます。

自然な一般化は、n空間におけるk点の配置（一般的な位置）がさまざまな次数dと次元mを決定するkの値を問うことであり、これは数え上げ幾何学における基本的な問題です。

この単純な例は、超曲面（余次元1 の部分多様体、単一の多項式の零点、ケース）の場合であり、平面曲線がその一例です。 ${\displaystyle m=n-1}$

超曲面の場合、答えは多重集合係数、より一般的には二項係数、またはより簡潔には上昇階乗で次のように表されます。

${\displaystyle k=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1={\frac {1}{n!}}(d+1)^{(n)}-1.}$

これは、ヴェロネーゼ写像の類似の解析によるものです。一般的な位置にあるk個の点は、多様体にk 個の独立した線形条件を課します (ヴェロネーゼ写像は双正則であるため)。また、変数内の次数dの単項式の数は( n次元の射影空間は同次座標を持ちます)、射影化によりそこから 1 が減算されます。つまり、多項式に定数を掛けても、そのゼロは変化しません。 ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \textstyle {\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)},}$

上記の式では、点の数kは、 dのn次の多項式であり、先頭の係数は${\displaystyle 1/n!}$

平面曲線の場合、式は次のようになります。 ${\displaystyle n=2,}$

${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)-1=\textstyle {\frac {1}{2}}(d^{2}+3d)}$

の値は、次数 0 の曲線は存在しない (単一の点は点であり、したがって共次元 2 である点によって決定される)、点が 2 つあると直線が決定され、点が 5 つあると円錐曲線が決定され、点が 9 つあると 3 次曲線が決定され、点が 14 つあると 4 次曲線が決定され、などとなります。 ${\displaystyle d=0,1,2,3,4}$${\displaystyle 0,2,5,9,14}$

5 つの点によって円錐曲線が決定されますが、円錐曲線上の 6 つ以上の点の集合は一般的な位置にはなく、パスカルの定理で示されるように制約されます。

同様に、9 つの点によって 3 次関数が決定されますが、その 9 つの点が複数の 3 次関数上にある場合、つまり 2 つの 3 次関数の交差である場合、それらの点は一般的な位置にはなく、ケーリー・バカラックの定理で述べられているように、加法制約を満たします。

4 つの点は円錐曲線を決定するのではなく、円錐曲線の1 次元線形システムである鉛筆を決定します。この 1 次元線形システムはすべて 4 つの点を通過します (正式には、4 つの点を基点として持つ)。同様に、3 つの点は 2 次元線形システム (ネット) を決定し、2 つの点は 3 次元線形システム (ウェブ) を決定し、1 つの点は 4 次元線形システムを決定し、0 点はすべての円錐曲線の 5 次元線形システムに制約を課しません。

よく知られているように、ユークリッド幾何学では、 3 つの非共線的な点によって円が決定され、2 つの異なる点によってアポロニアン円などの円束が決定されます。円は円錐曲線の特殊なケースであるため、これらの結果は一般的な結果に反しているように見えます。しかし、パッピアン射影平面では、円錐曲線は、無限遠直線上の 2 つの特定の点を通過する場合にのみ円であるため、円は、アフィン平面上の 3 つの点とこれら 2 つの特別な点の、合計 5 つの非共線的な点によって決定されます。同様の考慮により、円束を定義するために必要な点の数が予想よりも少なくなることが説明されます。

曲線が点を通過する代わりに、与えられた直線に接するという別の条件が存在します。射影双対性により、5 本の与えられた直線に接することでも円錐曲線が決定されますが、代数的な観点からは、直線に接することは2 次制約であるため、単純な次元カウントにより、5 本の与えられた直線に接する円錐曲線は 2 ^{5 = 32 個となり、そのうち 31 個は、}列挙幾何学におけるファッジ ファクター で説明されているように、退化した円錐曲線に帰せざるを得ません。この直感を形式化するには、正当化するための大幅な開発が必要です。

円錐曲線と同時代の、列挙幾何学におけるもう 1 つの古典的な問題は、アポロニウスの問題です。一般に、3 つの円に接する円は 8 つの円を決定します。これは、それぞれが二次条件であり、2 ³  = 8 であるためです。実際の幾何学の問題として、完全な分析には多くの特殊なケースが含まれ、実際の円の数は 7 を除く 0 から 8 までの任意の数になります。

• クラメールの定理（代数曲線） 、 n次平面曲線への一般化

• 5 つの点が円錐曲線を決定する、Wolfram インタラクティブ デモンストレーション