ポアソン分布

離散確率変数Xは、パラメータ を持つポアソン分布に従うと言われます。${\displaystyle \lambda >0}$確率質量関数が次のように与えられる場合：^{[ 2 ]： 60}$${\displaystyle f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},}$$ どこ

• kは発生回数です (${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$）
• eはオイラー数（${\displaystyle e=2.71828\ldots }$）
• k ! = k ( k– 1) ··· (3)(2)(1)は階乗です。

正の実数λはXの期待値と分散に等しい。^{[ 13 ]}$${\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).}$$

ポアソン分布は、多数の事象が発生し、それぞれの事象の発生頻度が低いシステムに適用できます。適切な条件下では、一定時間内に発生する事象の数は、ポアソン分布に従う乱数となります。

平均イベント数の代わりに、この方程式は次のように修正できます。${\displaystyle \lambda ,}$平均レートが与えられています${\displaystyle r}$事象が発生する時点。${\displaystyle \lambda =rt,}$そして：^{[ 14 ]}$${\displaystyle P(k個の事象が区間t内に発生する)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.}$$

ポアソン分布は、次のような事象をモデル化するのに役立つ可能性があります。

• 1年間に地球に衝突する、直径1メートル以上の隕石の数。
• 特定の時間間隔内に検出器に到達するレーザー光子の数。
• 試験で低い点数と高い点数を取った学生の数。
• 材料中の欠陥や転位の位置。

空間におけるランダムな点の発生例としては、地球への小惑星の衝突位置（2次元）、材料の欠陥位置（3次元）、森林内の樹木の位置（2次元）などが挙げられる。^{[ 15 ]}

以下の仮定が成り立つ場合、ポアソン分布は適切なモデルとなる。

• kは非負の整数であり、ある事象が一定期間内に発生する回数を表します。
• ある事象の発生は、別の事象の発生確率に影響を与えない。
• 事象が発生する平均率は、個々の事象の発生とは無関係である。
• 二つの出来事が全く同じ瞬間に起こることはあり得ない。

これらの条件が満たされる場合、kはポアソン確率変数であり、 kの分布はポアソン分布となる。

ポアソン分布は二項分布の極限でもあり、各試行の成功確率は${\displaystyle p={\frac {\lambda }{n}}}$、 どこ${\displaystyle \lambda }$期待と${\displaystyle n}$は試行回数であり、極限では${\displaystyle n\to \infty }$と${\displaystyle \lambda }$一定に保たれた ^{[ 16 ] [ 17 ]}（関連分布を参照）：

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dbinom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\,\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }}$$

ポアソン分布は微分方程式からも導出できる^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

$${\displaystyle {\frac {d\,P_{k}(t)}{dt}}=\lambda \,{\Big (}P_{k-1}(t)-P_{k}(t){\Big )}}$$

初期条件付き${\displaystyle P_{k}(0)=\delta _{k0}}$そして評価された${\displaystyle t=1}$

学生会館に1分あたりに到着する学生の数は、到着率が一定ではない（授業時間中は少なく、授業時間外は多い）こと、および個々の学生の到着が独立ではない（学生はグループで来る傾向がある）ことから、ポアソン分布に従わない可能性が高い。到着率が一定でないことは混合ポアソン分布として、個々の学生ではなくグループの到着は複合ポアソン過程としてモデル化できる。

 ある国における年間マグニチュード5の地震の発生回数は、大きな地震が一度発生すると、同程度の規模の余震が発生する確率が高まる場合、ポアソン分布に従わない可能性がある。

少なくとも1つの事象が保証される例はポアソン分布には従わないが、ゼロ切断ポアソン分布を用いてモデル化することができる。

ポアソンモデルで予測されるよりもゼロイベントの間隔の数が多いカウント分布は、ゼロ過剰モデルを使用してモデル化できます。

• ポアソン確率変数の期待値はλです。
• ポアソン確率変数の分散もλです。
• 変動係数は${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$分散指数は 1である。 ^{[ 8 ]： 163}
• 平均値からの平均絶対偏差は^{[ 8 ]： 163です。}$${\displaystyle \operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor$$ !}}.}
• 非整数λを持つポアソン分布に従う確率変数の最頻値は、${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor ,}$これはλ以下の最大の整数です。これはfloor ( λ )とも表記されます。λが正の整数の場合、最頻値はλとλ -1です。 
• ポアソン分布のすべてのキュムラントは期待値λに等しい。ポアソン分布のn階階乗モーメントはλn^である。 
• ポアソン過程の期待値は、強度と露出の積に分解されることがある（あるいはより一般的には、時間または空間にわたる「強度関数」の積分として表現され、これは「露出」と呼ばれることもある）。^{[ 22 ]}

中央値の範囲（${\displaystyle \nu }$分布の ) は既知であり、鋭い: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.}$$

ポアソン分布の高次の非中心モーメントm _kはλに関するトゥシャール多項式である。 $${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}{\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}},}$$ここで中括弧 { } は第 2 種のスターリング数を表す。^{[ 24 ] [ 1 ] : 6}言い換えれば、 $${\displaystyle E[X]=\lambda ,\quad E[X(X-1)]=\lambda ^{2},\quad E[X(X-1)(X-2)]=\lambda ^{3},\cdots }$$ 期待値をλ = 1に設定すると、ドビンスキーの公式はn次モーメントがサイズnの集合の分割数に等しいことを示唆する。

単純な上限は次のとおりです。^{[ 25 ]}$${\displaystyle m_{k}=E[X^{k}]\leq \left({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}}\right)^{k}\leq \lambda ^{k}\exp \left({\frac {k^{2}}{2\lambda }}\right).}$$

もし${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$のために${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$独立している場合、${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$^{[ 26 ] : 65}逆はライコフの定理、2 つの独立な確率変数の和がポアソン分布に従うならば、それら 2 つの独立な確率変数もそれぞれポアソン分布に従うというものである。 ^{[ 27 ] [ 28 ]}

これは、一般化二項分布の集合の中で最大エントロピー分布である。${\displaystyle B_{n}(\lambda )}$平均${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle n\to \infty }$^{[ 29 ]}ここで、一般化二項分布は、N個の独立だが同一分布ではないベルヌーイ変数の合計の分布として定義される。

• ポアソン分布は無限分割可能な確率分布である。^{[ 30 ] : 233 [ 8 ] : 164}
• 方向性のあるカルバック・ライブラーダイバージェンス${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$から${\displaystyle P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})}$は$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.}$$
• もし${\displaystyle \lambda \geq 1}$が整数であれば、${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$満たす${\displaystyle \Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}}$そして${\displaystyle \Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.}$^{[ 31 ]}
• ポアソン確率変数の裾確率の上限と下限${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$チェルノフ限界の議論を用いて導出できる。^{[ 32 ]： 97-98}$${\displaystyle {\begin{aligned}P(X\geq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x>\lambda ,\\[1ex]P(X\leq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x<\lambda .\end{aligned}}}$$
• 上側裾確率は、以下のように（少なくとも2倍に）引き締めることができます。^{[ 33 ]}$${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,}$$どこ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}$カルバック・ライブラーダイバージェンスは${\displaystyle Q=\operatorname {Pois} (x)}$から${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$。
• ポアソン確率変数の累積分布関数に関連する不等式${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$累積分布関数へ${\displaystyle \Phi }$標準正規分布の値は、次のとおりです。^{[ 34 ]}

$${\displaystyle \Phi {\left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}}\right)}<P(X\leq k)<\Phi {\left(\operatorname {sign} (k+1-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}}\right)},{\text{ for }}k>0,}$$どこ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}$カルバック・ライブラーダイバージェンスは${\displaystyle Q_{-}=\operatorname {Pois} (k)}$から${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$そして${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}$カルバック・ライブラーダイバージェンスは${\displaystyle Q_{+}=\operatorname {Pois} (k+1)}$から${\displaystyle P}$。

させて${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$そして${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )}$は独立な確率変数であり、${\displaystyle \lambda <\mu ,}$すると、 $${\displaystyle {\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}$$

上限は、標準的なチェルノフ限界を用いて証明される。

下限は、次の点に注目することで証明できる。${\displaystyle P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)}$確率は${\textstyle Z\geq {\frac {i}{2}},}$どこ${\textstyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right),}$下側は${\textstyle {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)},}$どこ${\displaystyle D}$は相対エントロピーです（詳細は二項分布の裾の境界に関する項目を参照してください）。さらに、${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu ),}$そして無条件確率の下限を計算すると結果が得られます。詳細はKamathら^{[ 35 ]の付録を参照してください。}

ポアソン分布は、試行回数が無限大に近づき、成功の期待値が一定のままである場合の二項分布の極限として導出できます（下記の稀な事象の法則を参照）。したがって、 nが十分に大きく、pが十分に小さい場合、ポアソン分布は二項分布の近似として使用できます。ポアソン分布は、nが20以上でpが0.05以下の場合、二項分布の良い近似であり、n ≥ 100でnp ≤ 10の場合、優れた近似となります。^{[ 36 ]}  ${\displaystyle F_{\mathrm {B} }}$そして${\displaystyle F_{\mathrm {P} }}$二項分布とポアソン分布の それぞれの累積密度関数をそれぞれとすると、次のようになる。$${\displaystyle F_{\mathrm {B} }(k;n,p)\ \approx \ F_{\mathrm {P} }(k;\lambda =np).}$$ この導出の一つは確率生成関数を用いる。^{[ 37 ]} 1回の成功の確率（または期待される成功回数）が次のようになるベルヌーイ試行（コイン投げ）を考える。${\displaystyle \lambda \leq 1}$与えられた区間内で、区間をn個の部分に分割し、各部分区間で確率で試行を実行します。${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{n}}}$区間全体における n回の試行のうちk 回の成功の確率は、二項分布によって与えられる。$${\displaystyle p_{k}^{(n)}={\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!k}\left(1{-}{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!n-k},}$$ その生成関数は次のとおりです。 $${\displaystyle P^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}^{(n)}x^{k}=\left(1-{\frac {\lambda }{n}}+{\frac {\lambda }{n}}x\right)^{n}.}$$nが無限大に近づく 極限（xは固定）を取り、指数関数の積極限の定義を適用すると、これはポアソン分布の母関数に帰着する。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1{+}{\tfrac {\lambda (x-1)}{n}}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}.}$$

• もし${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$そして${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$独立である場合、その差は${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$スケラム分布に従います。
• もし${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$そして${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$は独立しており、その場合、${\displaystyle X_{1}}$条件付き${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$は二項分布です。
  具体的には、${\displaystyle X_{1}+X_{2}=k,}$それから${\displaystyle X_{1}|X_{1}+X_{2}=k\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2})).}$
  より一般的に、X ₁、X ₂、 ...、X _nがパラメータλ ₁、λ ₂、 ...、λ _nを持つ独立なポアソン確率変数である場合、
  与えられた${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,}$したがって、${\displaystyle X_{i}{\Big |}\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right).}$実際には、${\displaystyle \{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right).}$
• もし${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$そしてその分布${\displaystyle Y}$X = kを条件とした場合、二項分布となる。${\displaystyle Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p),}$この場合、Yの分布はポアソン分布に従う。${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p).}$実際、条件付きで${\displaystyle \{X=k\},}$${\displaystyle \{Y_{i}\}}$多項分布に従う、${\displaystyle \{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right),}$そしてそれぞれ${\displaystyle Y_{i}}$独立したポアソン分布に従う${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0.}$
• ポアソン分布は、パラメータが 1 つだけの離散複合ポアソン分布 (またはスタッタリング ポアソン分布) の特殊なケースです。 ^{[ 38 ] [ 39 ]}離散複合ポアソン分布は、単変量多項分布の極限分布から導出できます。これはまた、複合ポアソン分布の特殊なケースでもあります。
• λの値が十分に大きい場合（例えばλ > 1000）、平均λ、分散λ（標準偏差）の正規分布${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$) はポアソン分布の優れた近似です。λが約 10 より大きい場合、適切な連続性補正、つまり、非負の整数xに対してP( X ≤ x )をP( X ≤ x + 0.5)に置き換えると、正規分布は良い近似になります。 $${\displaystyle F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )}$$
• 分散安定化変換: もし${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda ),}$それから^{[ 8 ]： 168}$${\displaystyle Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1),}$$および^{[ 40 ]： 196}$${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4).}$$この変換の下では、正常性への収束（${\displaystyle \lambda }$（増加）は、変換されていない変数よりもはるかに高速です。他の、やや複雑な分散安定化変換も利用可能で、^{[ 8 ]： 168}そのうちの 1 つはAnscombe 変換です。^{[ 41 ]}変換のより一般的な使用法については、データ変換（統計）を参照してください。
• t > 0 の任意の時刻において、時間間隔[ 0, t ]内の到着数が平均λtのポアソン分布に従う場合、到着間隔時間の系列は、平均1/ λの独立同分布の指数型確率変数となる。^{[ 42 ] : 317–319} 
• ポアソン分布とカイ二乗分布の累積分布関数は、以下の関係にある。^{[ 8 ]： 167}$${\displaystyle F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,}$$および^{[ 8 ]： 158}$${\displaystyle P(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).}$$

仮定する${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$どこ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,}$そして^{[ 43 ]}${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$多項分布に従う${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$条件付き${\displaystyle N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.}$

これは^{、とりわけ、}任意の非負関数^{に対して、}${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ もし${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )}$多項分布に従う場合、 $${\displaystyle \operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]}$$ どこ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).}$

要因${\displaystyle e{\sqrt {m}}}$ 2に置き換えることができます${\displaystyle f}$さらに、単調増加または単調減少であると仮定する。

この分布は二変量の場合にも拡張されている。^{[ 44 ]}この分布の 母関数は$${\displaystyle g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]}$$ と $${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0}$$

周辺分布はポアソン分布( θ ₁ )とポアソン分布( θ ₂ )であり、相関係数は範囲に制限される。 $${\displaystyle 0\leq \rho \leq \min \left\{{\sqrt {\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}},{\sqrt {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}\right\}}$$

二変量ポアソン分布を生成する簡単な方法${\displaystyle X_{1},X_{2}}$3つの独立したポアソン分布を取る${\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$手段${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$そして設定する${\displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}.}$二変量ポアソン分布の確率関数は $${\displaystyle \Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}}$$

ジャンプサイズを持つ自由ポアソン分布^{[ 45 ]}${\displaystyle \alpha }$そして評価する${\displaystyle \lambda }$自由確率論において、繰り返し自由畳み込みの極限として現れる。$${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}$$N → ∞ の とき。

言い換えれば、${\displaystyle X_{N}}$は確率変数であるため、${\displaystyle X_{N}}$価値がある${\displaystyle \alpha }$確率で${\textstyle {\frac {\lambda }{N}}}$そして 残りの確率で値0になる。また、家族は${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$は完全に独立している。すると極限は${\displaystyle N\to \infty }$の法律の${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}}$パラメータを持つ自由ポアソン法則によって与えられる${\displaystyle \lambda ,\alpha .}$

この定義は、古典的なポアソン過程から古典的なポアソン分布が得られる方法の一つに類似している。

自由ポアソン法則に関連する尺度は^{[ 46 ]で与えられる。}$${\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}}$$ どこ $${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt}$$ そして支持を得ている${\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}].}$

この法則はランダム行列理論においてもマルチェンコ・パスツール法則として現れる。その自由キュムラントは${\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}.}$

n個の測定値のサンプルが与えられた場合${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,\dots \},}$i = 1, ..., nの場合、サンプルが抽出されたポアソン母集団のパラメータλの値を推定したい。最尤推定値は^{[ 48 ]である。}

$${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .}$$

各観測値には期待値λがあるため、標本平均にも期待値λがあります。したがって、最尤推定値はλの不偏推定量です。また、その分散がクラメール・ラオ下限（CRLB）を達成するため、効率的な推定量でもあります。^{[ 49 ]}したがって、最小分散不偏推定量です。さらに、合計（そして、合計の1対1関数である標本平均）はλの完全かつ十分な統計量であることが証明できます。

十分性を証明するために因数分解定理を用いることができます。標本の同時ポアソン分布の確率質量関数を2つの部分に分割することを考えます。1つは標本のみに依存する部分です。${\displaystyle \mathbf {x} }$と呼ばれる${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$、そしてパラメータに依存するもの${\displaystyle \lambda }$そしてサンプル${\displaystyle \mathbf {x} }$機能を通じてのみ${\displaystyle T(\mathbf {x} ).}$それから${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$は十分な統計量である${\displaystyle \lambda .}$

$${\displaystyle P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }}$$

最初の学期${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$のみに依存する${\displaystyle \mathbf {x} }$2番目の項${\displaystyle g(T(\mathbf {x} )|\lambda )}$サンプルのみに依存します${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$したがって、${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$で十分です。

ポアソン分布の確率関数を最大化するパラメータλを求めるには、尤度関数の対数を用いることができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}$$

の導関数を取る${\displaystyle \ell }$λに関して、それをゼロと比較する。

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}$$

λについて解くと、停留点が得られる。

$${\displaystyle \lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}}$$

つまり、λはk _iの値の平均値です。停留点におけるLの2階微分の符号を求めることで、λがどのような極値であるかが分かります。

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}}$$

停留点における2階微分を評価すると、次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}$$

これは、 k _iの平均の逆数のn倍の負の値です。この式は、平均が正の場合に負の値になります。これが満たされる場合、停留点は確率関数を最大化します。

完全性を保つために、分布の族は、次の場合に限り完全であると言われます。${\displaystyle E(g(T))=0}$意味するところは${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1}$すべての人々のために${\displaystyle \lambda .}$個人が${\displaystyle X_{i}}$独立同分布である${\displaystyle \mathrm {Po} (\lambda ),}$それから${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda ).}$調査したい分布が分かっていれば、統計量が完全であることは容易に分かる。

$${\displaystyle E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0}$$

この等式が成立するためには、${\displaystyle g(t)}$は 0でなければならない。これは、他のどの項も0 にならないという事実から導かれる。 ${\displaystyle t}$合計において、またすべての可能な値に対して${\displaystyle \lambda .}$したがって、${\displaystyle E(g(T))=0}$すべての人々のために${\displaystyle \lambda }$意味するところは${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1,}$そして、その統計は完全であることが証明されている。

ポアソン分布の平均の信頼区間は、ポアソン分布とカイ二乗分布の累積分布関数の関係を用いて表すことができます。カイ二乗分布自体はガンマ分布と密接に関連しており、これにより別の表現が得られます。平均μのポアソン分布からの観測値kが与えられた場合、信頼水準1- αでのμの信頼区間は次のようになります。

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),}$$

または同等に、

$${\displaystyle F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),}$$

どこ${\displaystyle \chi ^{2}(p;n)}$は、 n の自由度を持つカイ二乗分布の分位関数(下側裾面積pに対応)であり、${\displaystyle F^{-1}(p;n,1)}$は、形状パラメータ n と尺度パラメータ1を持つガンマ分布の分位関数です。^{[ 8 ] : 176-178 [ 50 ]}この区間は、その包含確率が名目1 – αより小さくなることがないという意味で「正確」です。 

ガンマ分布の分位数が利用できない場合、この正確な区間の正確な近似が提案されている（ウィルソン・ヒルファーティ変換に基づく）：^{[ 51 ]}$${\displaystyle k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},}$$ どこ${\displaystyle z_{\alpha /2}}$は、上側裾面積がα / 2 の標準正規偏差を表します。

上記と同じ文脈でこれらの式を適用する場合（ n個の測定値k _iのサンプルがそれぞれ平均λのポアソン分布から抽出された場合）、次のように設定します。

$${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$$μ = nλ の区間を計算し、次にλの区間を導出します。

ベイズ推論では、ポアソン分布のレートパラメータλの共役事前分布はガンマ分布である。^{[ 52 ]}

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )}$$

λは、形状パラメータαと逆スケールパラメータβでパラメータ化されたガンマ密度gに従って分布することを示す。

$${\displaystyle g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.}$$

次に、以前と同じn個の測定値k _iのサンプルと、ガンマ分布Gamma( α , β )の事前分布が与えられた場合、事後分布は次のようになります。

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} {\left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right)}.}$$

事後平均は線形であり、次式で表されることに注意してください。 $${\displaystyle E[\lambda \mid k_{1},\ldots ,k_{n}]={\frac {\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{\beta +n}}.}$$ ガンマ分布は条件付き平均の線形性を誘導する唯一の事前分布であることが示せる。さらに、条件付き平均が線形関数に近い場合、${\displaystyle L_{2}}$λの事前分布との距離は、レヴィ距離においてガンマ分布に近いものでなければならない。^{[ 53 ]}

事後平均E[ λ ]は最尤推定値に近づく${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }}$極限では${\displaystyle \alpha \to 0,\beta \to 0,}$これは、ガンマ分布の平均の一般式から直ちに導かれる。

1つの追加観測に対する事後予測分布は負の二項分布であり、^{[ 54 ] : 53}ガンマ-ポアソン分布と呼ばれることもある。

仮定する${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}}$は、一連の独立したランダム変数のセットです。${\displaystyle p}$ポアソン分布、それぞれにパラメータがある${\displaystyle \lambda _{i},}$${\displaystyle i=1,\dots ,p,}$そして、これらのパラメータを推定したい。次に、クレベンソンとジデクは、正規化された二乗誤差損失の下で${\textstyle L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2},}$いつ${\displaystyle p>1,}$そして、スタインの正規平均の例と同様に、MLE推定量は${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}}$認められない。^{[ 55 ]}

この場合、任意の値に対してミニマックス推定量の族が与えられる。${\displaystyle 0<c\leq 2(p-1)}$そして${\displaystyle b\geq (p-2+p^{-1})}$[ ^{56 ]​}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.}$$

事象の発生率は、ある小さな区間（時間、空間、またはその他の要素）内で事象が発生する確率と関連しています。ポアソン分布の場合、事象が2回発生する確率が「無視できるほど小さい」ほど小さな区間が存在すると仮定します。この仮定を用いることで、区間全体における事象の総数の期待値のみから、二項分布からポアソン分布を導出することができます。

全区間におけるイベントの総数をで表す。${\displaystyle \lambda .}$区間全体を分割して${\displaystyle n}$部分区間${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$同じ大きさで、${\displaystyle n>\lambda }$（我々は区間のごく小さな部分のみに関心があるため、この仮定は意味がある）。これは、n 個のサブ区間のそれぞれにおけるイベントの期待数が次のようになることを意味する。${\displaystyle \lambda /n.}$

ここで、全区間におけるイベントの発生は、n 回のベルヌーイ試行のシーケンスとして見なすことができると仮定します。${\displaystyle i}$第 1 番目のベルヌーイ試行は、サブ区間で事象が発生するかどうかを調べることに相当する。${\displaystyle I_{i}}$確率で${\displaystyle \lambda /n.}$予想されるイベントの総数は${\displaystyle n}$このような試験は${\displaystyle \lambda ,}$区間全体におけるイベントの総数の期待値。したがって、区間の各分割において、イベントの発生を次の形式のベルヌーイ過程として近似しました。${\displaystyle {\textrm {B}}(n,\lambda /n).}$先に述べたように、非常に小さな部分区間のみを考慮したい。したがって、極限を次のように取る。${\displaystyle n}$無限大に及ぶ。

この場合、二項分布はポアソン極限定理により、ポアソン分布として知られる分布に収束します。

上記の例のいくつか（例えば、特定のDNA配列における突然変異の数）では、カウントされる事象は実際には離散的な試行の結果であり、二項分布を使用してより正確にモデル化されます。 $${\displaystyle X\sim {\textrm {B}}(n,p).}$$

このような場合、 nは非常に大きく、pは非常に小さい（したがって、期待値npは中間的な大きさになる）。この場合、分布はより扱いやすいポアソン分布で近似できる。 $${\displaystyle X\sim {\textrm {Pois}}(np).}$$

この近似は、n個の個々のベルヌーイ事象のそれぞれがまれにしか発生しないため、まれな事象の法則として知られています^{[ 72 ] : 5 。}

「稀な事象の法則」という名称は誤解を招く可能性がある。なぜなら、ポアソン過程における成功事象の総数は、パラメータnpが小さくない場合、必ずしも稀であるとは限らないからである。例えば、混雑した交換台への1時間の電話件数はポアソン分布に従う。交換手にとっては頻繁に発生する事象に見えるが、一般の人々にとっては稀な事象である。なぜなら、一般の人々はその1時間にその交換台に電話をかける可能性が非常に低いからである。

二項分布の分散はポアソン分布の分散の1 − p倍なので、 pが非常に小さい場合はほぼ等しくなります。

「法則」という言葉は、確率分布の同義語として使われることがあり、法則の収束は分布の収束を意味します。したがって、ポアソン分布は、まれにしか起こらないが、起こる機会が非常に多い事象の発生回数の確率分布であるため、「少数の法則」と呼ばれることがあります。「少数の法則」は、ラディスラウス・ボルトキエヴィッチによるポアソン分布に関する本で、 1898 年に出版されました。 ^{[ 12 ] [ 73 ]}

ポアソン分布は、ある有限領域内に存在するポアソン点過程の点の数として現れます。より具体的には、 Dが何らかの領域空間、例えばユークリッド空間R ^dであり、| D |、つまり領域の面積、体積、あるいはより一般的にはルベーグ測度が有限である場合、そしてN ( D ) がD内の点の数を表す場合、

$${\displaystyle P(N(D)=k)={\frac {(\lambda |D|)^{k}e^{-\lambda |D|}}{k!}}.}$$

ポアソン回帰と負の二項回帰は、従属変数（応答変数）が一定期間内のイベントまたは発生回数（0、1、2、...）である分析に役立ちます。

ルリア＝デルブリュック実験は、ポアソン分布をもたらすはずのラマルク進化論の仮説に反する検証を行った。

カッツとミレディは、アセチルコリン（ACh）の有無による膜電位を測定した。^{[ 74 ]} AChが存在する場合、膜上のイオンチャネルはごくわずかな時間だけランダムに開く。多数のイオンチャネルがそれぞれごくわずかな時間だけ開いているため、任意の瞬間に開いているイオンチャネルの総数はポアソン分布に従う。AChが存在しない場合、実質的にイオンチャネルは開いていない。膜電位は${\displaystyle V=N_{\text{open}}V_{\text{ion}}+V_{0}+V_{\text{noise}}}$ノイズの影響を差し引くと、カッツとミレディは膜電位の平均と分散が次のようになることを発見した。${\displaystyle 8.5\times 10^{-3}\;\mathrm {V} }$そして${\displaystyle (29.2\times 10^{-6}\;\mathrm {V} )^{2}}$それぞれ、${\displaystyle V_{\text{ion}}=10^{-7}\;\mathrm {V} }$（ 94-95ページ^{[ 75 ]}）

細胞複製イベントごとに、突然変異の数はほぼポアソン分布に従います。^{[ 76 ]}例えば、HIVウイルスは 10,000塩基対を持ち、突然変異率は約30,000塩基 対あたり1である ため、複製イベントあたりの突然変異の数は次のように分布します。${\displaystyle \mathrm {Pois} (1/3)}$（ 64ページ^{［ 75ページ］}）

ポアソン過程では、観測された事象の数は、その平均値λを中心に標準偏差λで変動する。${\displaystyle \sigma _{k}={\sqrt {\lambda }}.}$これらの変動はポアソンノイズ、または（特に電子機器においては）ショットノイズと呼ばれます。

独立した離散的な事象を数える際の平均値と標準偏差の相関は、科学的に有用である。変動が平均信号とどのように変化するかを監視することで、直接検出するには小さすぎる場合でも、単一の事象の寄与を推定することができる。例えば、電子の電荷e は、電流の大きさとショットノイズを相関させることで推定できる。ある時間tの間に平均してN 個の電子が一点を通過する場合、平均電流は${\displaystyle I=eN/t}$電流変動はオーダーであるべきなので${\displaystyle \sigma _{I}=e{\sqrt {N}}/t}$（すなわち、ポアソン過程の標準偏差）、電荷${\displaystyle e}$比率から推定できる${\displaystyle t\sigma _{I}^{2}/I.}$

身近な例としては、写真を拡大した際に現れる粒状感が挙げられます。この粒状感は、還元された銀粒子の数のポアソン変動によるものであり、個々の粒子そのものに起因するものではありません。粒状感と拡大率を相関させることで、個々の粒子（肉眼では小さすぎて見えない粒子）の寄与を推定することができます。

因果集合理論では、時空の離散要素は体積内でポアソン分布に従う。

ポアソン分布は量子力学、特に量子光学にも現れる。具体的には、コヒーレント状態にある量子調和振動子系において、特定のエネルギー準位を測定する確率はポアソン分布に従う。

コンピューティング${\displaystyle P(k;\lambda )}$与えられた${\displaystyle k}$そして${\displaystyle \lambda }$これは、標準的な定義を使用することで達成できる些細な作業です。${\displaystyle P(k;\lambda )}$指数関数、べき関数、階乗関数の観点から。しかし、ポアソン分布の従来の定義には、コンピュータ上で容易にオーバーフローする可能性のある 2 つの項、λ ^kとk !が含まれています。λ ^kとk !の比率は、 e ^{− λ}と比較して非常に大きな丸め誤差を生じさせ、誤った結果をもたらす可能性もあります。数値安定性のために、ポアソン確率質量関数は次のように評価する必要があります。 $${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\exp \left[k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)\right],}$$これは数学的には同等ですが、数値的に安定しています。ガンマ関数 の自然対数は、C標準ライブラリ（C99バージョン）またはRlgammaの関数、MATLABまたはSciPyの関数、あるいはFortran 2008以降の関数を使用して取得できます。gammalnlog_gamma 

一部のプログラミング言語には、ポアソン分布を評価するための組み込み関数が用意されています。

• R : 関数dpois(x, lambda);
• Excel : 関数POISSON( x, mean, cumulative)、累積分布を指定するフラグ付き。
• Mathematica : 単変量ポアソン分布として, ^{[ 77 ]}二変量ポアソン分布として,. ^{[ 78 ]}PoissonDistribution[${\displaystyle \lambda }$]MultivariatePoissonDistribution[${\displaystyle \theta _{12},}${ ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{12},}$${\displaystyle \theta _{2}-\theta _{12}}$}]

より複雑な課題は、与えられた条件を満たすポアソン分布から整数乱数を抽出することである。${\displaystyle \lambda .}$

解決策は以下によって提供されます：

• R : 関数rpois(n, lambda);
• GNU Scientific Library (GSL): 関数gsl_ran_poisson

ポアソン分布に従う乱数を生成する単純なアルゴリズム（擬似乱数サンプリング）は、 Knuthによって提示されている：^{[ 79 ]： 137-138}

ポアソン乱数アルゴリズム（クヌース） ： 初期化： L ← e − λ、k ← 0、p ← 1と する。実行： k ← k + 1。 [0,1] の範囲で一様乱数 u を生成し、p ← p × u とする。p > L の間、 k − 1を返す。

計算量は、平均でλとなる戻り値kに対して線形である。これを改善するアルゴリズムは他にも多数存在する。いくつかはAhrens & Dieterの論文に記載されている（下記の§参考文献を参照）。 

λの値が大きい場合、 L = e ^{− λ}の値は非常に小さくなり、表現が困難になることがあります。これは、 e ^{− STEP}がアンダーフローしないように、追加のパラメータSTEPを使用するようにアルゴリズムを変更することで解決できます。

ポアソン乱数アルゴリズム（Junhao、Knuthに基づく） ： 初期化： λLeft ← λ、k←0、p←1と する。実行： k ← k + 1。 (0,1) の範囲で一様乱数 u を生成し、p ← p × u とする。p < 1 かつλ Left > 0 の間: λ Left > STEPの場合: p ← p × e STEP λ左 ← λ左 − STEP それ以外の場合： p ← p × e λ Left λ Left ← 0 while p > 1. return k − 1.

STEP の選択は、オーバーフローのしきい値に依存します。倍精度浮動小数点形式の場合、しきい値はe ⁷⁰⁰付近なので、 500 は安全なSTEP 値です。

λの値が大きい場合の他の解決策としては、棄却サンプリングやガウス近似を用いる方法などがある。

逆変換サンプリングは、 λの値が小さい場合に単純かつ効率的であり、サンプルごとに1つの均一乱数uのみを必要とします。累積確率は、1つがuを超えるまで順番に調べられます。

アルゴリズム逐次探索による反転に基づくポアソン生成器: [ 80 ] : 505 init : x ← 0、p ← e − λ、s ← p とします。 [0,1]の範囲で一様乱数uを生成します。 while u > s do : x ← x + 1。 p ← p × λ / x。 s ← s + p。 xを返す。