キュムラント

一部の著者^{[ 2 ] [ 3 ]}は、キュムラント生成関数を特性関数の自然対数として定義することを好みます。これは、第2特性関数^{[ 4 ]} 、第2特性^{[ 5 ]}、または特性指数^{[ 6 ]}とも呼ばれます。$${\displaystyle H(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots }$$

H ( t )の利点は、ある意味では純虚数引数に対して評価された関数K ( t )であるが、 E[ e ^itX ]がすべての実数値tに対して適切に定義されない場合でも、 E[ e ^tX ]がすべての実数値tに対して適切に定義される点である。これは、 X の絶対値が大きい確率が「高すぎる」場合に起こり得る。関数H ( t )は適切に定義されるが、マクローリン級数の長さに関してはK ( t )に似ており、引数tに関して線形次数を超える（あるいはまれに線形次数に達する）ことはなく、特に適切に定義されるキュムラントの数は変化しない。しかし、 H ( t )が長いマクローリン級数を持たない場合でも、ランダム変数の解析、特に加算に直接使用できる。コーシー分布（ローレンツ分布とも呼ばれる）と、より一般的には安定分布（レヴィ分布に関連する）は、生成関数のべき級数展開において、明確に定義された項が有限個しかない分布の例である。 

高次のキュムラントはすべて中心モーメントの多項式関数であり、係数は整数ですが、キュムラントが実際に中心モーメントとなるのは次数が2と3の場合のみです。

させて${\textstyle \kappa _{n}(X)}$キュムラントは、${\textstyle m(X):=\operatorname {E} \left[X\right]}$平均値であり、${\textstyle \mu _{n}(X):=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{n}\right]={}}$中心となる瞬間である。そして：

• ${\textstyle \kappa _{1}=m=\operatorname {mean} (X)}$（平均値）
• ${\textstyle \kappa _{2}=\mu _{2}=\operatorname {var} (X)}$（分散、または第2中心モーメント）
• ${\textstyle \kappa _{3}=\mu _{3}}$。
• ${\textstyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3\mu _{2}^{2}}$（これは、キュムラントが単なるモーメントや中心モーメントではない最初のケースである。次数が3を超える中心モーメントは累積性を持たない。）
• ${\textstyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}}$。

正規分布のキュムラントの結果を考慮すると、 低次のキュムラント（3 次からm − 1 次）がゼロでない、あるm > 3に対してκ _m = κ _{m +1} = ⋯ = 0となる分布の族が見つかることが期待されるかもしれない。そのような分布は存在しない。^{[ 8 ]}ここでの根本的な結果は、キュムラント生成関数は 2 次より大きい有限次多項式にはなり得ないということである。 

モーメント母関数は次のように表される。 $${\displaystyle M(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(K(t)).}$$

つまり、キュムラント生成関数はモーメント生成関数の対数である。 $${\displaystyle K(t)=\log M(t).}$$

最初のキュムラントは期待値であり、2番目と3番目のキュムラントはそれぞれ2番目と3番目の中心モーメント（2番目の中心モーメントは分散）ですが、それ以上のキュムラントはモーメントでも中心モーメントでもなく、モーメントのより複雑な多項式関数です。

モーメントは、n階微分を評価することによってキュムラントの観点から復元できます。${\textstyle \exp(K(t))}$で​${\displaystyle t=0}$⁠、 $${\displaystyle \mu '_{n}=M^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\exp(K(t))}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$$

同様に、キュムラントは、n階微分を評価することによってモーメントの観点から復元できます。${\textstyle \log M(t)}$で​${\displaystyle t=0}$⁠、 $${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\log M(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$$

合成関数の高階導関数に関するファア・ディ・ブルーノの公式を用いることで、 n次モーメントを最初のn個のキュムラントで表す明示的な式、およびその逆の式を得ることができる。一般に、次のようになる。 $${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-k+1})}$$$${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}),}$$ どこ${\textstyle B_{n,k}}$不完全（または部分的）ベル多項式です。

同様に、平均が次のように与えられる場合${\textstyle \mu }$中心モーメント生成関数は次のように与えられる。 $${\displaystyle C(t)=\operatorname {E} [e^{t(x-\mu )}]=e^{-\mu t}M(t)=\exp(K(t)-\mu t),}$$ そして、n次中心モーメントはキュムラントを用いて次のように表される。 $${\displaystyle \mu _{n}=C^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\exp(K(t)-\mu t)\right|_{t=0}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0,\kappa _{2},\ldots ,\kappa _{n-k+1}).}$$

また、n > 1の場合、中心モーメントによる n番目のキュムラントは次のようになります。$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{n}&=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}(\log C(t)+\mu t)\right|_{t=0}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(0,\mu _{2},\ldots ,\mu _{n-k+1}).\end{aligned}}}$$

n次モーメントμ′nは_、最初のn個のキュムラントに関するn次多項式です。最初のいくつかの式は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[5pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\\[5pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\\[5pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\\[5pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\\[5pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\end{aligned}}}$$

「プライム」記号は、モーメントμ ′ _nと中心モーメントμ _nを区別します。中心モーメントをキュムラントの関数として表現するには、これらの多項式からκ _{1 が}因数として現れるすべての項を削除するだけです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0\\[4pt]\mu _{2}&=\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{3}&=\kappa _{3}\\[4pt]\mu _{4}&=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\\[4pt]\mu _{5}&=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{6}&=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\end{aligned}}}$$

同様に、n次キュムラントκn_は、最初のn個の非中心モーメント に関するn次多項式です。最初のいくつかの式は次のとおりです。$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}={}&\mu '_{1}\\[4pt]\kappa _{2}={}&\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\\[4pt]\kappa _{3}={}&\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\\[4pt]\kappa _{4}={}&\mu '_{4}-4\mu '_{3}\mu '_{1}-3{\mu '_{2}}^{2}+12\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{2}-6{\mu '_{1}}^{4}\\[4pt]\kappa _{5}={}&\mu '_{5}-5\mu '_{4}\mu '_{1}-10\mu '_{3}\mu '_{2}+20\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{2}+30{\mu '_{2}}^{2}\mu '_{1}-60\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{3}+24{\mu '_{1}}^{5}\\[4pt]\kappa _{6}={}&\mu '_{6}-6\mu '_{5}\mu '_{1}-15\mu '_{4}\mu '_{2}+30\mu '_{4}{\mu '_{1}}^{2}-10{\mu '_{3}}^{2}+120\mu '_{3}\mu '_{2}\mu '_{1}\\&{}-120\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{3}+30{\mu '_{2}}^{3}-270{\mu '_{2}}^{2}{\mu '_{1}}^{2}+360\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{4}-120{\mu '_{1}}^{6}\,.\end{aligned}}}$$

一般に、^{[ 9 ]}キュムラントは行列の 行列式である。$${\displaystyle \kappa _{l}=(-1)^{l+1}\left|{\begin{array}{cccccccc}\mu '_{1}&1&0&0&0&0&\ldots &0\\\mu '_{2}&\mu '_{1}&1&0&0&0&\ldots &0\\\mu '_{3}&\mu '_{2}&{\binom {2}{1}}\mu '_{1}&1&0&0&\ldots &0\\\mu '_{4}&\mu '_{3}&{\binom {3}{1}}\mu '_{2}&{\binom {3}{2}}\mu '_{1}&1&0&\ldots &0\\\mu '_{5}&\mu '_{4}&{\binom {4}{1}}\mu '_{3}&{\binom {4}{2}}\mu '_{2}&{\binom {4}{3}}\mu '_{1}&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\mu '_{l-1}&\mu '_{l-2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ddots &1\\\mu '_{l}&\mu '_{l-1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &{\binom {l-1}{l-2}}\mu '_{1}\end{array}}\right|}$$

n > 1のキュムラントκ _{n を}中心モーメントの関数として表現するには、これらの多項式から μ' _{1 が}因数として現れるすべての項を削除します。 $${\displaystyle \kappa _{2}=\mu _{2}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3{\mu _{2}}^{2}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{6}=\mu _{6}-15\mu _{4}\mu _{2}-10{\mu _{3}}^{2}+30{\mu _{2}}^{3}\,.}$$

キュムラントは、関係式K ( t ) = log M ( t )をtに関して微分することによりモーメントと関連付けることができ、M′ ( t ) = K′ ( t ) M ( t )が得られます。これは都合よく指数関数や対数を含んでいません。左辺と右辺のt ^{n −1} / ( n −1)!の係数を等しくし、 μ′ ₀ = 1を使用すると、 n ≥ 1に対して次の式が得られます。^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[1pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{1}\mu '_{1}+\kappa _{2}\\[1pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{1}\mu '_{2}+2\kappa _{2}\mu '_{1}+\kappa _{3}\\[1pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{1}\mu '_{3}+3\kappa _{2}\mu '_{2}+3\kappa _{3}\mu '_{1}+\kappa _{4}\\[1pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{1}\mu '_{4}+4\kappa _{2}\mu '_{3}+6\kappa _{3}\mu '_{2}+4\kappa _{4}\mu '_{1}+\kappa _{5}\\[1pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{1}\mu '_{5}+5\kappa _{2}\mu '_{4}+10\kappa _{3}\mu '_{3}+10\kappa _{4}\mu '_{2}+5\kappa _{5}\mu '_{1}+\kappa _{6}\\[1pt]\mu '_{n}={}&\sum _{m=1}^{n-1}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu '_{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}}$$ これらは以下を可能にする${\textstyle \kappa _{n}}$または${\textstyle \mu '_{n}}$低次のキュムラントとモーメントの知識を用いて、他の値から計算される。中心モーメントの対応する式は以下のとおりである。${\textstyle \mu _{n}}$のために${\textstyle n\geq 2}$これらの式から設定することで形成されます${\textstyle \mu '_{1}=\kappa _{1}=0}$それぞれの${\textstyle \mu '_{n}}$と${\textstyle \mu _{n}}$のために${\textstyle n\geq 2}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{2}={}&\kappa _{2}\\[1pt]\mu _{3}={}&\kappa _{3}\\[1pt]\mu _{n}={}&\sum _{m=2}^{n-2}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu _{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}}$$

これらの多項式は、注目すべき組み合わせ論的解釈を持ちます。係数は、集合の特定の分割を数えます。これらの多項式の一般形は次のとおりです。 $${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{\pi \,\in \,\Pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa _{|B|}}$$ どこ

• π は、サイズnの集合のすべての分割のリストを走査します。
• 「B ∈ π」とは、 Bが集合を分割する「ブロック」の 1 つであることを意味します。
• | B |は集合Bのサイズです。

したがって、各単項式は定数と、添え字の合計がnであるキュムラントの積の積の積で表されます(例えば、項κ ₃ κ ₂ ² κ ₁では、添え字の合計は 3 + 2 + 2 + 1 = 8 です。これは、8 次モーメントを最初の 8 つのキュムラントの関数として表す多項式に現れます)。各項は、整数nの分割 に対応します。各項の係数は、 n個の要素からなる集合の要素が区別できなくなったときに、その整数nの分割に縮退する集合の分割の数です。

キュムラントと組み合わせ論のさらなる関連性は、ジャン＝カルロ・ロータの研究に見出すことができ、そこではアンブラル計算を介して不変理論、対称関数、二項数列との関連性が研究されている。^{[ 11 ]}

注目してください ${\textstyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$次のように書くこともできます $${\displaystyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k_{1}}}{\mathrm {d} t_{1,1}\cdots \mathrm {d} t_{1,k_{1}}}}\cdots {\frac {\mathrm {d} ^{k_{n}}}{\mathrm {d} t_{n,1}\cdots \mathrm {d} t_{n,k_{n}}}}G\left(\sum _{j=1}^{k_{1}}t_{1,j},\dots ,\sum _{j=1}^{k_{n}}t_{n,j}\right)\right|_{t_{i,j}=0},}$$ そこから我々は次の結論に至る。 $${\displaystyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\kappa _{1,\ldots ,1}(\underbrace {X_{1},\dots ,X_{1}} _{k_{1}},\ldots ,\underbrace {X_{n},\dots ,X_{n}} _{k_{n}}).}$$ 例えば $${\displaystyle \kappa _{2,0,1}(X,Y,Z)=\kappa (X,X,Z),\,}$$ そして $${\displaystyle \kappa _{0,0,n,0}(X,Y,Z,T)=\kappa _{n}(Z)=\kappa (\underbrace {Z,\dots ,Z} _{n}).\,}$$ 特に、最後の等式は、単一の確率変数のキュムラントが、その確率変数の複数のコピーの同時キュムラントであることを示している。

確率変数の同時キュムラントは、それらの混合モーメントの積の交互和として表現できます。 ^{[ 12 ]}の式(3.2.7)を参照してください。$${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }(|\pi |-1)!(-1)^{|\pi |-1}\prod _{B\in \pi }E\left(\prod _{i\in B}X_{i}\right)}$$ ここで、π は{1, ..., n }のすべての分割のリストを走査し、B は分割πのすべてのブロックのリストを走査し、| π |は分割内の部分の数です。    

例えば、 $${\displaystyle \kappa (X)=\operatorname {E} (X),}$$ は期待値です${\textstyle X}$、 $${\displaystyle \kappa (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y),}$$ は共分散 です${\textstyle X}$そして${\textstyle Y}$、 そして $${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (Z)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (Y)-\operatorname {E} (YZ)\operatorname {E} (X)+2\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\operatorname {E} (Z).\,}$$

平均値がゼロの確率変数の場合${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$、次の形式の混合モーメント${\textstyle \prod _{B\in \pi }E\left(\prod _{i\in B}X_{i}\right)}$消える場合${\textstyle \pi }$は分割です${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$シングルトンを含む${\textstyle B=\{k\}}$したがって、それらの同時キュムラントを混合モーメントで表すと、簡略化されます。たとえば、X、Y、Z、Wが平均ゼロの確率変数である場合、次のようになります。 $${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ).\,}$$$${\displaystyle \kappa (X,Y,Z,W)=\operatorname {E} (XYZW)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (ZW)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (YW)-\operatorname {E} (XW)\operatorname {E} (YZ).\,}$$

より一般的には、マクローリン級数の任意の係数も混合モーメントで表現できますが、簡潔な公式はありません。実際、前述のように、適切な確率変数を繰り返すことで同時キュムラントとして記述し、上記の公式を適用して混合モーメントで表現することができます。例えば $${\displaystyle \kappa _{201}(X,Y,Z)=\kappa (X,X,Z)=\operatorname {E} (X^{2}Z)-2\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Z)+2\operatorname {E} (X)^{2}\operatorname {E} (Z).\,}$$

確率変数の一部が他のすべての確率変数から独立している場合、2つ（またはそれ以上）の独立した確率変数を含むキュムラントはゼロになります。

混合モーメントをキュムラントで表した表現の組み合わせ論的な意味は、混合モーメントで表したキュムラントの意味よりも理解しやすい。式(3.2.6)を参照のこと。^{[ 12 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\kappa (X_{i}:i\in B).}$$

例えば： $${\displaystyle \operatorname {E} (XYZ)=\kappa (X,Y,Z)+\kappa (X,Y)\kappa (Z)+\kappa (X,Z)\kappa (Y)+\kappa (Y,Z)\kappa (X)+\kappa (X)\kappa (Y)\kappa (Z).\,}$$

結合キュムラントのもう一つの重要な特性は多重線形性である。 $${\displaystyle \kappa (X+Y,Z_{1},Z_{2},\dots )=\kappa (X,Z_{1},Z_{2},\ldots )+\kappa (Y,Z_{1},Z_{2},\ldots ).\,}$$

2番目のキュムラントが分散であるのと同様に、2つの確率変数の同時キュムラントは共分散である。おなじみの恒等式 $${\displaystyle \operatorname {var} (X+Y)=\operatorname {var} (X)+2\operatorname {cov} (X,Y)+\operatorname {var} (Y)\,}$$ キュムラントにも一般化できる。 $${\displaystyle \kappa _{n}(X+Y)=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}\kappa (\,\underbrace {X,\dots ,X} _{j},\underbrace {Y,\dots ,Y} _{n-j}\,).\,}$$

全期待値の法則と全分散の法則は、条件付きキュムラントに自然に一般化される。n = 3の場合、キュムラントではなく （中心）モーメントの言葉で表現すると、次のようになる。$${\displaystyle \mu _{3}(X)=\operatorname {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatorname {E} (X\mid Y))+3\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Y),\operatorname {var} (X\mid Y)).}$$

一般的に、^{[ 13 ]}$${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }\kappa (\kappa (X_{\pi _{1}}\mid Y),\dots ,\kappa (X_{\pi _{b}}\mid Y))}$$ どこ

• 合計はインデックスの集合{1, ..., n }のすべての分割πについてであり、 
• π ₁、 ...、π _bは分割πのすべての「ブロック」です。式κ ( X _{π m} )は、その分割ブロックにインデックスがある確率変数の同時キュムラントを示します。 

特定の設定では、条件付きキュムラントと条件付き期待値の間に導関数の恒等式を確立できます。たとえば、Y = X + Zであり、 Z はXとは独立した標準正規分布であると仮定すると、任意のXに対して次の関係が成り立ちます^{[ 14 ]}$${\displaystyle \kappa _{n+1}(X\mid Y=y)={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} y^{n}}}\operatorname {E} (X\mid Y=y),\,n\in \mathbb {N} ,\,y\in \mathbb {R} .}$$ この結果は指数型分布族にも拡張できる。^{[ 15 ]}

より一般的には、数列{ m _n  : n = 1, 2, 3, ... }のキュムラントは、必ずしも任意の確率分布のモーメントではありませんが、定義により、 $${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right),}$$ここで、 n = 1, 2, 3, ...のκ _n の値は、級数が収束するかどうかの問題を考慮せずに、形式的に、つまり代数のみによって求められます。形式的に扱う場合、「キュムラントの問題」のあらゆる困難はなくなります。最も簡単な例は、確率分布の第 2 キュムラントは常に非負でなければならず、すべての高次のキュムラントがゼロの場合にのみゼロになるというものです。形式的なキュムラントには、このような制約はありません。

組み合わせ論において、n番目のベル数は、サイズnの集合の分割数です。ベル数列のキュムラントはすべて1 に等しくなります。ベル数は、期待値が 1 のポアソン分布のモーメントです。

標数ゼロの体におけるスカラーの任意の数列{ κ _n  : n = 1, 2, 3, ... }を形式的キュムラントとみなすと、対応する形式的モーメントの数列{ μ ′ : n = 1, 2, 3, ... }が存在し、これは上記の多項式で与えられます。これらの多項式に対して、次の方法で多項式列を構成します。  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{6}=\kappa _{6}&+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}\\[4pt]&{}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}\end{aligned}}}$$ これらの変数に加えて、もう1つの変数xを含む新しい多項式を作成します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{6}(x)=\kappa _{6}\,x{}&+\left(6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}\right)x^{2}+\left(15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+15\kappa _{2}^{3}\right)x^{3}\\&{}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}\,x^{4}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}\,x^{5}+\kappa _{1}^{6}\,x^{6},\end{aligned}}}$$ そして、そのパターンを一般化する。そのパターンとは、前述の分割におけるブロックの数がxの指数であるということである。各係数はキュムラントの多項式であり、これらはエリック・テンプル・ベルにちなんで名付けられたベル多項式である。